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经济数学模型 教学参考书 3 经济数学模型洪毅等华南理工出版社 1 数学模型 第四版 姜启源谢金星叶俊高等教育出版社 2 经济应用模型张从军等复旦大学出版社 数学模型及经济数学模型 数学建模的方法与步骤 数学模型的分类 数学建模示例 前言 玩具 楼房 飞机 火箭模型 实物模型 地图 电路图 股票走势图 符号模型 模型是为了一定目的 对客观事物的一部分进行简缩 抽象 提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 一 数学模型及经济数学模型 对于人们关心的现实对象 原型 为了特定目的 根据其内在规律 作出必要的简化假设 运用适当的数学工具得到的数学结构 建立数学模型的全过程 包括表述 求解 解释 检验等 数学模型 数学建模 以经济问题为研究对象 以社会经济活动为内容 以数学方法为工具 把各经济因素间的数量关系抽象为数学表达式 以再现所研究的经济现象 这样的模型就是经济数学模型 经济数学模型 数学以空前的广度和深度向经济管理领域渗透 计算机的出现及飞速发展 更使数学在经济管理领域中大有用武之地 金融工程 经济理论 规划与管理 预测与决策 例如 利率模型 生产函数模型 最优投资模型投入产出模型 资源最优利用模型等 数学建模的基本方法 机理分析 测试分析 根据对客观事物特性的认识 找出反映内部机理的数量规律 将对象看作 黑箱 通过对量测数据的统计分析 找出与数据拟合最好的模型 二者结合 用机理分析建立模型结构 用测试分析确定模型参数 二 数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤 模型准备 了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征 形成一个比较清晰的 问题 模型假设 针对问题特点和建模目的 作出合理的 简化的假设 在合理与简化之间作出折中 模型构成 用数学的语言 符号描述问题 尽量采用简单的数学工具 模型求解 各种数学方法 软件和计算机技术 结果的误差分析 统计分析 模型对数据的稳定性分析 模型分析 模型检验 与实际现象 数据比较 检验模型的合理性 适用性 模型应用 三 数学模型的分类 应用领域 人口 交通 经济 生态 数学方法 初等数学 微分学 规划 随机 表现特性 优化 预报 决策 建模目的 了解程度 白箱 灰箱 黑箱 确定和随机 静态和动态 线性和非线性 离散和连续 用x表示船速 y表示水速 列出方程 答 船速每小时20千米 小时 1 航行问题 甲乙两地相距750千米 船从甲到乙顺水航行需30小时 从乙到甲逆水航行需50小时 问船的速度是多少 x 20y 5 四 数学建模示例 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设 船速 水速为常数 用符号表示有关量 x y表示船速和水速 用物理定律 匀速运动的距离等于速度乘以时间 列出数学式子 二元一次方程 求解得到数学解答 x 20 y 5 回答原问题 船速每小时20千米 小时 2 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 模型假设 通常 三只脚着地 放稳 四只脚着地 四条腿一样长 椅脚与地面点接触 四脚连线呈正方形 地面高度连续变化 可视为数学上的连续曲面 地面相对平坦 使椅子在任意位置至少三只脚同时着地 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置 利用正方形 椅脚连线 的对称性 用 对角线与x轴的夹角 表示椅子位置 四只脚着地 距离是 的函数 四个距离 四只脚 A C两脚与地面距离之和 f B D两脚与地面距离之和 g 两个距离 椅脚与地面距离为零 正方形ABCD绕O点旋转 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f g 是连续函数 对任意 f g 至少一个为0 数学问题 已知 f g 是连续函数 对任意 f g 0 且g 0 0 f 0 0 证明 存在 0 使f 0 g 0 0 模型构成 地面为连续曲面 椅子在任意位置至少三只脚着地 模型求解 给出一种简单的证明方法令h f g 将椅子旋转900 对角线AC和BD互换 由g 0 0 f 0 0 知f 2 0 g 2 0 则h 0 0和h 2 0 由f g的连续性知h为连续函数 据连续函数的基本性质 必存在 0 使h 0 0 即f 0 g 0 因为f g 0 所以f 0 g 0 0 评注和思考 建模的关键 和f g 的确定 3SARS病毒建模和预测 SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病 SARS从2002年11月份开始在我国和世界范围内流行 到2003年6月23日为止 世界卫生组织报道的SARS患者已经达到了8459人 其中802人死亡 中国是SARS流行的重灾区 到6月23日为止的SARS患者为5326人 其中347人死亡 给人民生活和国民经济发展带来了巨大的影响 SARS是传染性很强的传染病 它主要通过近距离空气飞沫以及接触病人呼吸道分泌物和密切接触进行传播 也可能通过病人飞沫污染物传播 潜伏期一般为2 11天 在潜伏期无感染 主要症状有 发热 体温38 以上 为首发症状 多为高热 并可持续1 2周以上 可伴有寒战或其他症状 包括头痛 全身酸痛和不适 乏力 部分病人在早期也会有轻度的呼吸道症状 如咳嗽 咽痛等 治愈后不会再被感染 1 单位时间感染的人数与现有的感染者成比例 2 单位时间内治愈的人数与现有的感染者成比例 3 单位时间内死亡的感染者人数与现有的感染者成比例 4 SARS患者治愈恢复后不再被感染 5 各类人口的自然死亡可以忽略 6 忽略迁移的影响 假设 令I t 是第t天时感染者的数量 则 模型 I t 1 I t b t I t d t c t I t b t 为感染率 d t 为死亡率 c t 为治愈率 模型简化为 I t 1 I t r t I t 只要知道开始时的感染人数和r t 就可以利用该模型进行预测 r t 的估计 r t I t I t 1 I t 1 利用实际数据计算 再进行曲线拟合 4 建立某商品价格与年需求量之间数学模型 做市场调查 任取九个家庭抽样统计 得到九组数据 做散点图观察x与y的关系 结论 近似是直线关系 设价格与年需求量的数学模型为 观测值的模型yi a bxi i i 1 n y a bx 其中 是随机变量 求解模型 利用数据估计模型的参数 称 i为残差 对 i基本假设是 1 2 cov i j 0 即残差项之间在统计意义上是相互独立的 即残差具有零均值 具有常数方差 且对于所有x值是有限的 3 残差项与变量x无关 对观测值模型两端取均值Eyi a bxii 1 n 称Ey a bx为经验公式 并仍记为y a bx 用最小二乘法求参数a和b 使得误差平方和最小 拟合总误差为Q i2 yi a bxi 2 令 得方程组 解出a b 代入本例数据得 数学模型是y 6 45 1 58x 称这样的a b为最小二乘估计量 通常称这个模型为经验公式 5 最优连续投资问题 某人在五年内拥有10万的资金使用权 经调研 有四个项目可供投资 已知各项目投资收益和投资回收期 如何投资 才能使第五年末本利和最大 项目A 第一年到第四年每年初投资 次年末回收 收益率为15 项目C 第二年初投资 第五年末回收 收益率40 但最大投资额为三万 项目D 第一年到第五年每年初投资 当年末回收 收益率为6 项目B 第三年初投资 第五年末回收 收益率25 但最大投资额为四万 设xik i 1 2 3 4 5 k A B C D 表示第i年初投资第k项目的资金数 数学模型 xik i 1 2 5 k A B C D 为第i年初投k项目的资金数 则 maxZ 1 15x4A 1 40 x2C 1 25x3B 1 06x5D s t 由此求出第五年末所拥有的资金的本利总额为 143750元 即部门赢利43 75 用matlab求解得 血液在动物血管中一刻不停地流动 为了维持血液的循环 动物肌体要向血管提供能量 其中一部分用于供给血管壁以营养 另一部分用来克服血液流动受到的阻力 消耗的总量显然与血管系统的几何形状有关 科学家们发现 在长期进化中高级动物血管的几何形状已经达到消耗能量最小的状态 例6 血管分支 问题 研究血管分支处粗细血管半径的比例和分岔的角度 在能量消耗最小原则下应取什么样的数值 背景 模型假设 q 2q1 r r1 考察血管AC与CB CB 1 粗血管一分为二 分叉点附近三条血管在同一平面上 且有一条对称轴 几何上的假设 2 血液流动受到的阻力 近似粘性流体在刚性管道中的流动 物理上的假设 3 对血管壁提供能量随管壁内表面积与管壁的体积的增加而增加 管壁所占体积又取决于管壁厚度 厚度近似与血管半径成正比 生理上的假设 提供营养消耗能量 管壁内表面积S 2 rl 管壁厚度为d 管壁体积V d2 2rd l 管壁厚度d与r成正比 模型假设 由流体力学关于粘性流体在刚性管道中的流动时所受阻力的定律 其阻力与流量q的平方成正比 与半径r的4次方成反比 克服阻力的能量 综合考虑管壁内表面积S与管壁体积V对能量的消耗的影响 可假设单位长度血管消耗营养为 模型建立 克服阻力消耗能量 提供营养消耗能量 机体为血流提供能量 模型求解 模型解释 生物学