《一阶动态电路分析》PPT课件.ppt

第五章一阶动态电路分析 学习目标 进一步理解动态元件L C的特性 并能熟练应用于电路分析 深刻理解零输入响应 零状态响应 全响应的含义 并掌握它们的分析计算方法 弄懂动态电路方程的建立及解法 熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素分析法 一阶电路及其特征 若电路中仅包含 或者能等效为仅含 一个动态元件 则电路必为一阶电路 若电路中仅含有一种动态元件 电容或者电感 但数量在两个以上 则要根据连接关系确定动态电路是否是一阶电路 只含一种动态元件 且连接方式为简单的串联或者并联关系 则对应的电路输入方程 输出方程必为一阶线性微分方程 当外加激励为零 仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压 称为动态电路的零输入响应 图5 1 1RC电路的零输入 uR 5 1零输入响应 图5 1 1 a 所示的电路中 在t0后 电路中无电源作用 电路的响应均是由电容的初始储能而产生 故属于零输入响应 5 1 1RC电路的零输入响应 uR uc 0 而uR iR 代入上式可得 上式是一阶常系数齐次微分方程 其通解形式为uc Aeptt 0 式式中A为待定的积分常数 可由初始条件确定 p为 式对应的特征方程的根 将 式代入 式可得特征方程为RCP 1 0 式 换路后由图 b 可知 根据KVL有 从而解出特征根为 则通解 式 将初始条件uc 0 R0IS代入3式 求出积分常数A为 将代入 式 得到满足初始值的微分方程的通解为 式 放电电流为 t 0 t 0 式 令 RC 它具有时间的量纲 即 故称 为时间常数 这样 两式可分别写为 t 0 t 0 由于 为负 故uc和i均按指数规律衰减 它们的最大值分别为初始值uc 0 R0IS及 当t 时 uc和i衰减到零 图RC电路零输入响应电压电流波形图 画出uc及i的波形如下图所示 由此可见 时间常数 是表示放电快慢的物理量 时间常数越大 放电速度越慢 反之 则放电越快 定性地看 时间常数 与电阻R和电容C的取值呈正比 当R增大时 放电电流减小 电容放电时间增长 当C增大时 电容电压相同的情况下存储的电荷量增大 放电时间增长 5 1 2RL电路的零输入响应 一阶RL电路如图5 1 2 a 所示 t 0 时开关S闭合 电路已达稳态 电感L相当于短路 流过L的电流为I0 即iL 0 I0 故电感储存了磁能 在t 0时开关S打开 所以在t 0时 电感L储存的磁能将通过电阻R放电 在电路中产生电流和电压 如图5 1 2 b 所示 由于t 0后 放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的 所以为零输入响应 图5 1 2RL电路的零输入响应 由图 b 根据KVL有uL uR 0 将 代入上式得 1式 iL Aeptt 0 上式为一阶常系数齐次微分方程 其通解形式为 2式 将2式代入1式 得特征方程为LP R 0 故特征根为 则通解为 若令 是RL电路的时间常数 仍具有时间量纲 上式可写为 t 0 t 0 3式 将初始条件iL 0 iL 0 I0代入3式 求出积分常数A为iL 0 A I0这样得到满足初始条件的微分方程的通解为 t 0 4式 电阻及电感的电压分别是 t 0 t 0 分别作出iL uR和 uL的波形如图5 3 a b 所示 图5 3RL电路零输入响应iL uR和uL的波形 由图5 3可知 iL uR及uL的初始值 亦是最大值 分别为iL 0 I0 uR 0 RI0 uL 0 RI0 它们都是从各自的初始值开始 然后按同一指数规律逐渐衰减到零 衰减的快慢取决于时间常数 这与一阶RC零输入电路情况相同 从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步分析可知 对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路 不仅电容电压 电感电流 而且所有电压 电流的零输入响应 都是从它的初始值按指数规律衰减到零的 且同一电路中 所有的电压 电流的时间常数相同 若用f t 表示零输入响应 用f 0 表示其初始值 则零输入响应可用以下通式表示为 t 0 应该注意的是 RC电路与RL电路的时间常数是不同的 前者 RC 后者 L R 一阶电路零输入响应的简化分析方法 简单RC和RL电路零输入相应归纳 RC电路 RC t 0 LG t 0 RL电路 零输入相应 初始值 求解零输入响应的一般步骤 1 根据电路模型 元件属性和原始状态确定待求电路变量的初始值 2 根据换路后的电路模型确定电路的时间常数 3 写出零输入响应 零输入相应 初始值 例1 如图5 1 a 所示电路 t 0 时电路已处于稳态 t 0时开关S打开 求t 0时的电压uc uR和电流ic 解由于在t 0 时电路已处于稳态 在直流电源作用下 电容相当于开路 图5 1例1图 所以 由换路定律 得 作出t 0 等效电路如图 b 所示 电容用4V电压源代替 由图 b 可知 换路后从电容两端看进去的等效电阻如图 C 所示 为 时间常数为 A V t 0 t 0 也可以由 求出iC 0 8e tAt 0 V t 0 计算零输入响应 得 5 2零状态响应 在激励作用之前 电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应 5 2 1RC电路的零状态响应图5 2 1所示一阶RC电路 电容先未充电 t 0时开关闭合 电路与激励US接通 试确定k闭合后电路中的响应 图5 2 1 a RC电路的零状态响应 在k闭合瞬间 电容电压不会跃变 由换路定律uc 0 uc 0 0 t 0 时电容相当于短路 uR 0 US 故电容开始充电 随着时间的推移 uC将逐渐升高 uR则逐渐降低 iR 等于ic 逐渐减小 当t 时 电路达到稳态 这时电容相当于开路 充电电流ic 0 uR 0 uc Us 由kVLuR uc US 而uR RiR RiC 代入上式可得到以uc为变量的微分方程t 0初始条件为uC 0 0 1式 1式为一阶常系数非齐次微分方程 其解由两部分组成 一部分是它相应的齐次微分方程的通解uCh 也称为齐次解 另一部分是该非齐次微分方程的特解uCP 即uc uch ucp 将初始条件uc 0 0代入上式 得出积分常数A US 故 由于1式相应的齐次微分方程与RC零输入响应式完全相同 因此其通解应为 式中A为积分常数 特解ucp取决于激励函数 当激励为常量时特解也为一常量 可设ucp k 代入1式得 1式的解 完全解 为 ucp k US 由于稳态值uc US 故上式可写成t 02式由2式可知 当t 0时 uc 0 0 当t 时 uc US 1 e 1 63 2 US 即在零状态响应中 电容电压上升到稳态值uc US的63 2 所需的时间是 而当t 4 5 时 uc上升到其稳态值US的98 17 99 3 一般认为充电过程即告结束 电路中其他响应分别为 t 0 t 0 t 0 根据uc ic iR及uR的表达式 画出它们的波形如5 2 1 b c 所示 其变化规律与前面叙述的物理过程一致 图5 2 1 b C RC电路零状态响应uc ic iR及uR波形图 5 2 2RL电路的零状态响应 图5 2 2 a 一阶RL电路的零状态响应 对于图5 2 2 a 所示的一阶RL电路 US为直流电压源 t 0时 电感L中的电流为零 t 0时开关s闭合 电路与激励US接通 在s闭合瞬间 电感电流不会跃变 即有iL 0 iL 0 0 选择iL为首先求解的变量 由KVL有 uL uR US 将 uR RiL 代入上式 可得初始条件为iL 0 0 1式 1式也是一阶常系数非齐次微分方程 其解同样由齐次方程的通解iLh和非齐次方程的特解iLP两部分组成 即iL iLh iLp其齐次方程的通解也应为 式中时间常数 L R 与电路激励无关 非齐次方程的特解与激励的形式有关 由于激励为直流电压源 故特解iLP为常量 令iLP K 代入1式得 因此完全解为 代入t 0时的初始条件iL 0 0得 于是由于iL的稳态值 故上式可写成 t 0电路中的其他响应分别为t 0 它们的波形如图5 2 2 b c 所示 t 0 t 0 图5 2 2 b C 一阶RL电路的零状态响应波形图 其物理过程是 S闭合后 iL 即iR 从初始值零逐渐上升 uL从初始值uL 0 US逐渐下降 而uR从uR 0 0逐渐上升 当t 电路达到稳态 这时L相当于短路 iL US R uL 0 uR US 从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律 RC电路零状态响应 RL电路零状态响应 一阶电路零状态响应的简化分析 5 3全响应由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应 叫全响应 如图5 3所示 设uC uC 0 U0 S在t 0时闭合 显然电路中的响应属于全响应 图5 3RC电路的全响应 对t 0的电路 以uC为求解变量可列出描述电路的微分方程为 1式与描述零状态电路的微分方程式比较 仅只有初始条件不同 因此 其解答必具有类似的形式 即 代入初始条件uC 0 U0得K U0 US 1式 从而得到 通过对1式分析可知 当US 0时 即为RC零输入电路的微分方程 而当U0 0时 即为RC零状态电路的微分方程 这一结果表明 零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况 上式的全响应公式可以有以下两种分解方式 1 全响应分解为暂态响应和稳态响应之和 如2式中第一项为齐次微分方程的通解 是按指数规律衰减的 称暂态响应或称自由分量 固有分量 2式中第二项US uC 受输入的制约 它是非齐次方程的特解 其解的形式一般与输入信号形式相同 称稳态响应或强制分量 这样有全响应 暂态响应 稳态响应 2式 2 全响应分解为零输入响应和零状态响应之和 将2式改写后可得 3式等号右边第一项为零输入响应 第二项为零状态响应 因为电路的激励有两种 一是外加的输入信号 一是储能元件的初始储能 根据线性电路的叠加性 电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加 即全响应 零输入响应 零状态响应 3式 5 4求解一阶电路三要素法 如用f t 表示电路的响应 f 0 表示该电压或电流的初始值 f 表示响应的稳定值 表示电路的时间常数 则电路的响应可表示为 上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压 电流响应的三要素公式 式中f 0 f 和称为三要素 把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法 由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况 因此 三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应 具有普遍适用性 用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应 其求解步骤如下 一 确定初始值f 0 初始值f 0 是指任一响应在换路后瞬间t 0 时的数值 与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的 先作t 0 电路 确定换路前电路的状态uC 0 或iL 0 这个状态即为t 0阶段的稳定状态 因此 此时电路中电容C视为开路 电感L用短路线代替 作t 0 电路 这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值 若uC 0 uC 0 U0 iL 0 iL 0 I0 在此电路中C用电压源U0代替 图3 16电容 电感元件在t 0时的电路模型 L用电流源I0代替 若uC 0 uC 0 0或iL 0 iL 0 0 则C用短路线代替 L视为开路 可用图3 16说明 作t 0 电路后 即可按一般电阻性电路来求解各变量的u 0 i 0 二 确定稳态值f 作t 电路 瞬态过程结束后 电路进入了新的稳态 用此时的电路确定各变量稳态值u i 在此电路中 电容C视为开路 电感L用短路线代替 可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值 三 求时间常数 RC电路中 RC RL电路中 L R 其中 R是将电路中所有独立源置零后 从C或L两端看进去的等效电阻 即戴维南等效源中的R0 例2图5 4 a 所示电路中 t 0时将S合上 求t 0时的i1 iL uL 图5 4例2图 解 1 先求iL 0 作t 0 电路 见图 b 电感用短路线代替 则 2 求f 0 作t 0 电路 见图 C 图中电感用4 3A的电流源代替 流向与图 b 中iL 0 一致 因为题意要求i1 iL uL 所以相应地需先求i1 0 和uL 0 椐KVL 图 C 左边回路中有3i1 0 6 i1 0 iL 0 12 得 图 C 右边回路中有 3 求f 作t 电路如图 d 电感用短路线代替 则 uL 0 4 求 从动态元件L两