金融工程学-第五讲-期权定价原则ppt课件.ppt

1 金融工程学 课程第五讲 期权定价原则本章内容请参考JohnC Hull Options FuturesandOtherDerivatives 2 引言 我们的目标是在期权合约到期之前 能够确定其真实的价格 首先了解各种影响期权价值的因素其次了解期权价值结构及取值的合理范围欧式看涨期权和欧式看跌期权的关系美式看涨期权和美式看跌期权的关系欧式期权和美式期权差异的真正原因 3 教学内容 影响期权价值的决定因素期权的内在价值和时间价值期权价值的上下界期权平价关系美式期权的特征 4 回顾 期权的风险特征 期权式单边风险工具 它只保护价格向一个方向变化在期权到期日 买权多头的损益 买权空头的损益 卖权多头的损益 卖权空头的损益 5 期权的风险特征 续 6 期权的风险特征 续 7 第一节 影响期权价值的六个决定因素 影响期权价值的因素股票的价格执行价格距离到期的时间股票价格的波动率无风险利率股票红利以下假设投资者为多头的情况 当考虑每一个因素的影响时 假定其它因素不变 8 例美国在线公司期权合约数据 交易日5月14日 CalloptionPutoption 9 1 期权价值的变化的特征 10 2 直观解释 股票价格和执行价 距离到期的时间红利 在除息日 红利将减少股票的价格波动率 用来度量股票未来价格不确定变化程度的指标 波动率越大 标的股票潜在的上涨很高和下跌很低的概率也就越大 波动率对股票持有者应该没有影响 但由于期权对股价向不利方向变动进行保险 因此 随着波动率增加 期权的价值也会增加 即波动率增加对期权的影响总是有利的 11 2 直观解释 无风险利率 无风险利率对期权价值的影响是比较复杂的 影响来自两个方面 一方面 股票价格的预期增长率随着利率的上升而上升 另一方面 利率上升将提高贴现率 减少了期权多头收到的未来现金流的现值 对于卖权来说 这两种作用都是不利的 因此 利率越高 卖权的价值越低 对于买权来说 前一种作用是有利的 后一种作用是不利的 可以证明 前一种作用相对于后一种作用占优 因此 利率越高 买权的价值越高 12 第二节期权价值结构 13 实值 平价与虚值期权 从图中可以看出 如果不考虑时间因素 期权在到期日的价值 即损益 取决于标的资产的市价与协议价格的差距 对于看涨期权来说 为了区别标的资产市价 S 与协议价格 X 的关系 我们以下将 S X时的看涨期权称为实值看涨期权 IntheMoney 如果期权立即执行 将具有正收益特征S X时的看涨期权称为平价 两平 看涨期权 AttheMoney 如果期权立即执行 将具有零收益特征S X时的看涨期权称为虚值看涨期权 OutoftheMoney 深度实值看涨期权 深度虚值看涨期权对于看跌期权来说 类似可以定义其状态 14 期权的内在价值 期权的内在价值 IntrinsicValue 是指期权多头行使期权时可以获得的收益 一般只有美式期权可以马上看到 美式看涨期权的内在价值为max S X 0 美式看跌涨期权的内在价值为max X S 0 例如 S 83 X 80 S 78 X 80 15 内在价值原理 内在价值原理 期权的价格决不会低于其内在价值为什么 例S 83 X 80 如果c 2 期权交易商将进行怎样的套利交易行为 一般来说 内在价值的概念只能适用于美式期权 16 期权的时间价值 期权价格与其内在价值之间的差额称为期权的时间价值 tamevalue 或投机价值 期权的时间价值反映了交易商愿意为标的资产价格波动的不确定性所支付的代价 显然 标的资产价格的波动率越高 期权的时间价值就越大时间价值随着到期期间的增长而增加例S 83 X 80 c 5 17 期权的时间价值什么时候最高 当股价接近执行价格时 不确定性是最大的 时间价值最高 假如你正在欣赏一场重要的篮球比赛 比分为多少 你的观赏最有趣 而对于深度实值看涨期权与深度虚值看涨期权来说 相应的其时间价值极低 18 欧式看涨期权在到期日的内在价值为无收益资产的欧式看涨期权的在t时刻的内在价值等于有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于其中D为标的资产在期权持有期内红利收益现金流在t时刻的现值 欧式看涨期权的内在价值 19 欧式看跌期权的内在价值 同样道理 无收益资产欧式看跌期权在t时刻的内在价值为Xe r T t S有收益资产欧式看跌期权的内在价值为Xe r T t D S当然 当标的资产市价低于协议价格时 期权多方是不会行使期权的 因此期权的内在价值应大于等于0 20 欧式期权的时间价值 欧式期权在t时刻的时间价值时间价值S图无收益资产看涨期权时间价值与 S Xe r T t 的关系 Xe r T t 21 期权的时间价值的变化特征 期权的时间价值还受期权内在价值的影响 以无收益资产看涨期权为例 当S Xe r T t 时 期权的时间价值最大 当S Xe r T t 的绝对值增大时 期权的时间价值是递减的 如图所示 同样的 有收益资产看涨期权的时间价值在S D Xe r T t 点最大 而无收益资产欧式看跌期权的时间价值在S Xe r T t 点最大 有收益资产欧式看跌期权的时间价值在S Xe r T t D点最大 无收益资产美式看跌期权的时间价值在S X点最大 有收益资产美式看跌期权的时间价值在S X D点最大 22 第三节期权价格的上 下限 一 期权价格的上限1 看涨期权价格的上限对于美式和欧式看涨期权来说 标的资产价格就是看涨期权价格的上限 其中 c代表欧式看涨期权价格 C代表美式看涨期权价格 S代表标的资产价格 如果 套利策略是什么 23 2 看跌期权价格的上限美式看跌期权价格 P 的上限为X 欧式看跌期权的上限为 其中 r代表T时刻到期的无风险利率 t代表现在时刻 如果上述关系式不成立 套利策略是什么 24 二 期权价格的下限 1 欧式看涨期权价格的下限 1 无收益资产欧式看涨期权价格的下限我们考虑如下两个组合 组合A 一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B 一单位标的资产 25 在T时刻 组合A的价值为 在T时刻 组合B的价值为ST 由于因此 在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B 即 由于期权的价值一定为正 因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为 26 无收益资产美式看涨期权价格的下限 由于可得无收益资产美式看涨期权在t时刻的价格下限 27 2 有收益资产欧式看涨期权价格的下限 我们只要将上述组合A的现金改为其中D为期权有效期内资产收益的现值 并经过类似的推导 就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为 28 2 欧式看跌期权价格的下限 1 无收益资产欧式看跌期权价格的下限考虑以下两种组合 组合C 一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D 金额为的现金在T时刻 组合C的价值为 max ST X 组合D的价值为X 29 由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D 因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D 即 由于期权价值一定为正 因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为 30 我们只要将上述组合D的现金改为就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为 从以上分析可以看出 欧式期权的下限实际上就是其内在价值 2 有收益资产欧式看跌期权价格的下限 31 期权价格曲线的形状 一 看涨期权价格曲线 32 看涨期权价格曲线的特征 对无收益资产的情况 看涨期权价格的上限为S 下限为max期权价格下限就是期权的内在价值 当内在价值等于零时 期权价格就等于时间价值 时间价值在S Xe r T t 时最大 33 此外 r越高 期权期限越长 标的资产价格波动率越大 则期权价格曲线以0点为中心 越往右上方旋转 但基本形状不变 而且不会超过上限当S趋于0和 时 时间价值也趋于0 此时看涨期权价值分别趋于0和S Xe r T t 特别 当S 0时 C c 0 34 二 看跌期权价格曲线 1 欧式看跌期权价格曲线我们先看无收益资产看跌期权的情形 欧式看跌期权的上限为下限为当时 它就是欧式看跌期权的内在价值 也是其价格下限 当时 欧式看跌期权内在价值为0 其期权价格等于时间价值 当S 时 时间价值最大 当S趋于0和 时 期权价格分别趋于和0 特别地 当S 0时 35 r越低 期权期限越长 标的资产价格波动率越高 看跌期权价值以0为中心越往右上方旋转 但不能超过上限 如下图所示 看跌期权价格Xe r T t 上限欧式看跌期权价格下限 内在价值时间价值0Xe r T t S 36 执行价格与期权价值 性质1 如果其他条件不变 欧式看涨期权的价格是其执行价格的减函数 性质2 如果其他条件不变 欧式看跌期权的价格是其执行价格的增函数 性质3 两种其他条件相同的欧式看涨期权 或欧式看跌期权 的价格差的绝对值不会超过它们执行价格的差异现值的绝对值 37 货币性差异交易 组合A 一份执行价格为X1的看涨期权多头和一份执行价格为X2的看涨期权空头组合B 无风险债券价值为对于美式看涨期权 则需要加强为 38 例 S 50 T 三个月 d 0 95 三个月贴现利率 执行价格为X 40 50的两个看涨期权期权价格分别为c 20 5 二者差异值 15 10 0 95 9 5 违反性质3套利策略是什么 39 命题 对一个欧式看涨期权 若有L在到期日T时满足 则有对一个欧式看跌期权 若有U在到期日T时满足 则有 40 第四节提前执行美式期权是否合理 一 提前执行无收益资产美式期权的合理性1 看涨期权由于现金会产生收益 而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益 再加上美式期权的时间价值总是为正的 因此我们可以直观地判断提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的 你订阅过杂志吗 是不是在订阅后的很短时间内 会收到续订通知 承诺很诱人的订费 此时的策略是持有期权到期或出售 41 考虑如下两个组合 组合A 一份美式看涨期权加上金额为的现金组合B 一单位标的资产在T时刻 组合A的现金变为X 组合A的价值为max ST X 而组合B的价值为ST 可见 组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B 这意味着 如果不提前执行 组合A的价值一定大于等于组合B 42 若在时刻提前执行 则提前执行看涨期权所得盈利等于S X 其中S表示时刻标的资产的市价 而此时现金金额变为 其中表示T 时段的远期利率 因此 若提前执行的话 在时刻组合A的价值为 而组合B的价值为 由于 表明 若提前执行美式期权的话 组合A的价值将小于组合B 若在时刻出售期权 其下限为多少 43 比较两种情况我们可以得出结论 提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的 因此 同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的 即 C c进而我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限 看涨期权的保险作用和货币的时间价值 44 2 美式看跌期权 我们考察如下两种组合 组合A 一份美式看跌期权加上一单位标的资产组合B 金额为的现金若不提前执行 则到T时刻 组合A的价值为max X ST 组合B的价值为X 因此组合A的价值大于等于组合B 45 若在时刻提前执行 则组合A的价值为X 组合B的价值为 因此组合A的价值也高于组合B 比较这两种结果我们可以得出结论 是否提前执行无收益资产的美式看跌期权 主要取决于期权的实内在价值额 X S 无风险利率水平等因素 一般来说 只有当S相对于X来说较低 或者r较高时 提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的 美式期权的下限为 46 美式看跌期权价格曲线 对于无收益标的资产来说 美式看跌期权上限为X 下限为X S 但当标的资产价格足够低时 提前执行是明智的 此时期权的价值为X S 因此当S较小时 看跌期权的曲线与其下限或者说内在价值X S是重合的 当S X时 期权时间价值最大 其它情况与欧式看跌期权类似 如下图所示 47 美式看跌期权价格曲线x上限美式看跌期权价格下限 内在价值时间价值0 xs 48 欧式卖权与美式卖权的价值比较 价值Xexp rT XS 0 49 二 提前执行有收益资产美式期权的合理性 1 看涨期权由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产 从而获得现金收益 而现金收益可以派生利息 因此在一定条件下 提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的 我们假设在期权到期前 标的资产有n个除权日 t1 t2 tn为除权前的瞬时时刻 在这些时刻之后的收益分别为D1 D2 Dn 在这些时刻的标的资产价格分别为S1 S2 Sn 50 由于在无收益的情况下 不应提前执行美式看涨期权 我们可以据此得到一个推论 在有收益情况下 只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的 因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性 我们先来考察在最后一个除权日 tn 提前执行的条件 如果在tn时刻提前执行期权 则期权多方获得Sn X的收益 若不提前执行 则标的资产价格将由于除权降到Sn Dn 51 在tn时刻期权的价值 Cn 因此 如果 即 则在tn提前执行是不明智的 相反 如果 则在tn提前执行有可能是合理的 实际上 只有当tn时刻标的资产价格足够大时 提前执行美式看涨期权才是合理的 52 同样 对于任意在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权充分条件是 由于存在提前执行更有利的可能性 有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权 其下限为 53 一个例子 54 美式期权和欧式期权的区别 我们看到 只有红利足以大到可以抵补因提前支付执行价格而导致利息亏损的程度 期权合约才提前执行 提前执行期权的权利价值正是美式期权和欧式期权的区别所在 只有股票附有红利时 该权利才会凸显价值 55 2 看跌期权 由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权 因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小 但还不能排除提前执行的可能性 通过同样的分析 我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的充分条件是 由于美式看跌期权有提前执行的可能性 因此其下限为 56 第五节看涨期权与看跌期权之间的平价关系 1 无收益资产的欧式期权假设标的资产不分红 那么 要证明这个关系 考虑下面两个投资组合 组合A 一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B 一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产 57 在期权到期时 两个组合的价值均为max ST X 由于欧式期权不能提前执行 因此两组合在时刻t必须具有相等的价值 即 这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系 call putparity 意义 只须研究欧式看涨期权的价值如果上式不成立 则存在无风险套利机会 58 套利策略 如果相对组合A来说 组合C被高估了 套利策略 买入组合A的证券 卖空组合C的证券 例如 假定股票价格为31 X 30 r 0 1 T t 1 4 c 3 p 2 25 净利31 02 30 1 02 59 2 有收益资产欧式期权 在标的资产有收益的情况下 我们只要把前面的组合A中的现金改为 我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系 60 3 美式看涨期权和看跌期权之间的关系 无收益资产美式期权由于P p 从式 1 中我们可得 对于无收益资产看涨期权来说 由于c C 因此 即进一步还有 61 无收益资产美式期权 考虑以下两个组合 组合A 一份欧式看涨期权加上金额为X的现金组合B 一份美式看跌期权加上一单位标的资产在这两个组合中 期权的执行价格和到期日相同 62 1 如果美式期权没有提前执行 则在T时刻组合B的价值为max ST X 而此时组合A的价值为因此组合A的价值大于组合B 2 如果美式期权在时刻提前执行 则在该时刻 组合B的价值为X 而此时组合A的价值大于等于因此组合A的价值也大于组合B 63 因此 又由于c C 我们有 即我们可得 这就是美式看涨期权和看跌期权的平价关系 运用套利如何证明 64 例 65 有收益资产美式期权 同样 我们只要把组合A的现金改为D X 就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式 S D X C P S Xe r T t 继续学习的内容 平价关系在外汇期权 债券期权 期货期权的表现形式 66 总结 期权的上下界 67 价值Xexp rT XS 0 欧式买权的价值及其下界 68 价值Xexp rT XS 0 欧式卖权的价值及其下界 69 标的资产不分红的美式买权的执行时机 如果标的资产不分红 投资者不应该在到期之前执行美式买权进一步 如果标的资产不分红 由于美式买权持有者的理性策略是在期权到期之前不执行 因此美式买权的价值等于欧式买权的价值 70 标的资产不分红的美式卖权的执行时机 极端情形 标的资产的价格等于零 投资者的最优执行策略是立即执行如图所示 当标的资产价格相对于执行价格非常低时 美式卖权的价值曲线与执行价值曲线重合在一起 即美式卖权的价值等于执行价值 此时执行美式卖权是最优方案 71 期权平价关系 假设标的资产不分红 那么 如果标的资产分红 则 72 美式买权与卖权的价格关系 如果标的资产