matlab快速傅立叶变换(FFT)及其应用.ppt

实验三快速傅立叶变换 FFT 及其应用 一 实验目的 了解计算DFT算法存在的问题及改进途径 掌握几种DFT算法 时间抽取算法DIT算法 频率抽取算法DIF算法 线性调频Z变换即CZT法 学习并掌握FFT的应用 二 实验原理 有限长序列通过离散傅里叶变换 DFT 将其频域离散化成有限长序列 但其计算量太大 与N的平方成正比 很难实时地处理问题 因此引出了快速傅里叶变换 FFT FFT并不是一种新的变换形式 它只是DFT的一种快速算法 并且根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法 DFT的快速算法 FFT是数字信号处理的基本方法和基本技术 是必须牢牢掌握的 时间抽选FFT算法的理论推导和流图详见 数字信号处理 教材 该算法遵循两条准则 1 对时间奇偶分 2 对频率前后分 这种算法的流图特点是 1 基本运算单元都是蝶形任何一个长度为N 2M的序列 总可通过M次分解最后成为2点的DFT计算 如图所示 WNk称为旋转因子计算方程如下 Xm 1 p Xm p WNkXm q Xm 1 q Xm p WNkXm q 2 同址 原位 计算这是由蝶形运算带来的好处 每一级蝶形运算的结果Xm 1 p 无须另外存储 只要再存入Xm p 中即可 Xm 1 q 亦然 这样将大大节省存储单元 3 变址计算输入为 混序 码位倒置 排列 输出按自然序排列 因而对输入要进行 变址 计算 即码位倒置计算 变址 实际上是一种 整序 的行为 目的是保证 同址 FFT的应用 凡是利用付里叶变换来进行分析 综合 变换的地方 都可以利用FFT算法来减少其计算量 FFT主要应用在1 快速卷积2 快速相关3 频谱分析 快速傅立叶变换的MATLAB实现 提供fft函数计算DFT格式X fft x X fft x N 如果x的长度小于N 则在其后填零使其成为N点序列 若省略变量N 则DFT的长度即为x的长度 如果N为2的幂 则得到高速的基 2FFT算法 若N不是2的乘方 则为较慢的混合算法 如果x是矩阵 则X是对矩阵的每一列向量作FFT 由题目可得x 0 5 sin 2 pi 15 t 2 sin 2 pi 40 t fs 100N 128 1024 例 已知信号由15Hz幅值0 5的正弦信号和40Hz幅值2的正弦信号组成 数据采样频率为100Hz 试绘制N 128点DFT的幅频图 fs 100 N 128 n 0 N 1 t n fs x 0 5 sin 2 pi 15 t 2 sin 2 pi 40 t y fft x N f 0 length y 1 fs length y mag abs y stem f mag title N 128点 利用FFT进行功率谱的噪声分析 已知带有测量噪声信号其中f1 50Hz f2 120Hz 为均值为零 方差为1的随机信号 采样频率为1000Hz 数据点数N 512 试绘制信号的频谱图和功率谱图 t 0 0 001 0 6 x sin 2 pi 50 t sin 2 pi 120 t y x 2 randn 1 length t Y fft y 512 P Y conj Y 512 求功率f 1000 0 255 512 subplot 2 1 1 plot y subplot 2 1 2 plot f P 1 256 序列长度和FFT的长度对信号频谱的影响 已知信号其中f1 15Hz f2 40Hz 采样频率为100Hz 在下列情况下绘制其幅频谱 Ndata 32 Nfft 32 Ndata 32 Nfft 128 fs 100 Ndata 32 Nfft 32 n 0 Ndata 1 t n fs x 0 5 sin 2 pi 15 t 2 sin 2 pi 40 t y fft x Nfft mag abs y f 0 length y 1 fs length y subplot 2 1 1 plot f 1 Nfft 2 mag 1 Nfft 2 title Ndata 32 Nfft 32 Nfft 128 n 0 Ndata 1 t n fs x 0 5 sin 2 pi 15 t 2 sin 2 pi 40 t y fft x Nfft mag abs y f 0 length y 1 fs length y subplot 2 1 2 plot f 1 Nfft 2 mag 1 Nfft 2 title Ndata 32 Nfft 128 快速傅立叶逆变换 IFFT 函数调用格式y ifft x y ifft x N 当N小于x长度时 对x进行截断 当N大于x长度时 对x进行补零 对信号进行DFT 对其结果进行IDFT 并将IDFT的结果和原信号进行比较 f1 40Hzf2 15HzFs 100Hz fs 100 N 128 n 0 N 1 t n fs x sin 2 pi 40 t sin 2 pi 15 t subplot 2 2 1 plot t x title originalsignal y fft x N mag abs y f 0 length y 1 fs length y subplot 2 2 2 plot f mag title FFTtooriginalsignal xifft ifft y magx real xifft ti 0 length xifft 1 fs subplot 2 2 3 plot ti magx title signalfromIFFT yif fft xifft N mag abs yif subplot 2 2 4 plot f mag title FFTtosignalfromIFFT 线性卷积的FFT算法 在MATLAB实现卷积的函数为CONV 对于N值较小的向量 这是十分有效的 对于N值较大的向量卷积可用FFT加快计算速度 由DFT性质可知 若DFT x1 n X1 k DFT x2 n X2 n 则若DFT和IDFT均采用FFT和IFFT算法 可提高卷积速度 计算x1 n 和x2 n 的线性卷积的FFT算法可由下面步骤实现 计算X1 k FFT x1 n 计算X2 k FFT x2 n 计算Y k X1 k X2 k 计算x1 n x2 n IFFT Y k 用函数conv和FFT计算同一序列的卷积 比较其计算时间 L 5000 N L 2 1 n 1 L x1 0 5 n x2 2 n t0 clock yc conv x1 x2 conv time etime clock t0 t0 clock yf ifft