选修4-4 第2讲 参数方程

第 2 讲 参数方程 一 填空题 1 直线 x y 1 0 与参数方程的曲线的交点个数 x 4 5cos t y 3 5sin t 解析 x 4 2 y 3 2 25 x 4 5cos t y 3 5sin t 则圆心 4 3 到直线 x y 1 0 的距离 d 3 5 来源 Zxxk Com 4 3 1 22 直线与圆相交 故交点个数是 2 个 答案 2 2 参数方程 为参数 化成普通方程为 x cos y 1 sin 解析 为参数 x cos y 1 sin 为参数 来源 Zxxk Com x cos y 1 sin 2 2得 x2 y 1 2 1 此即为所求普通方程 答案 x2 y 1 2 1 3 直线 3x 4y 7 0 截曲线Error 为参数 的弦长为 解析 曲线可化为 x2 y 1 2 1 圆心到直线的距离 d 则弦 0 4 7 9 16 3 5 长 l 2 r2 d2 8 5 答案 8 5 4 已知直线 l1 Error t 为参数 l2 Error s 为参数 若 l1 l2 则 k 若 l1 l2 则 k 解析 将 l1 l2的方程化为直角坐标方程得 l1 kx 2y 4 k 0 l2 2x y 1 0 由 l1 l2 得 k 4 由 l1 l2 k 2 2 1 4 k 1 得 2k 2 0 k 1 答案 4 1 5 曲线 t 为参数 与 x 轴交点的坐标是 x 1 t2 y 4t 3 解析 令 y 0 得 t 代入 x 1 t2 得 x 交点为 0 3 4 25 16 25 16 答案 25 16 0 6 直线 t 为参数 的倾斜角为 x 3 tsin 40 y 1 tcos 40 解析 将参数方程化为得直线的倾斜角为 50 x 3 tcos 50 y 1 tsin 50 答案 50 7 已知在平面直角坐标系 xOy 中 经过点 0 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 2 C Error 是参数 有两个不同的交点 P 和 Q 则 k 的取值范围为 解析 曲线 C 的参数方程 Error 是参数 化为普通方程 y2 1 故曲线 x2 2 C 是一个椭圆 由题意 利用点斜式可得直线 l 的方程为 y kx 将其代入 2 椭圆的方程得 kx 2 1 整理得x2 2kx 1 0 因为直线 l x2 22 1 2 k2 2 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 所以 8k2 4 4k2 2 0 解得 1 2 k2 k 或 k 即 k 的取值范围为 2 2 2 2 2 2 2 2 答案 2 2 2 2 8 如果曲线 C Error 为参数 上有且仅有两个点到原点的距离为 2 则实数 a 的取值范围是 解析 将曲线的参数方程转化为普通方程 即 x a 2 y a 2 4 由题意可 知 以原点为圆心 以 2 为半径的圆与圆 C 总相交 根据两圆相交的充要条件 得 0 4 2a2 0 a2 8 解得 0 a 2或 2 a 0 22 答案 2 0 0 2 22 二 解答题 9 已知曲线 C1的参数方程是Error 为参数 以坐标原点为极点 x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程是 2 正方形 ABCD 的顶 点都在 C2上 且 A B C D 依逆时针次序排列 点 A 的极坐标为 2 3 1 求点 A B C D 的直角坐标 2 设 P 为 C1上任意一点 求 PA 2 PB 2 PC 2 PD 2的取值范围 解 1 由已知可得 A 2cos 3 2sin 3 B 2cos 3 2 2sin 3 2 C 2cos 3 2sin 3 D 2cos 3 3 2 2sin 3 3 2 即 A 1 B 1 C 1 D 1 3333 2 设 P 2cos 3sin 令 S PA 2 PB 2 PC 2 PD 2 则 S 16cos2 36sin2 16 32 20sin2 因为 0 sin2 1 所以 S 的取值范围是 32 52 10 在平面直角坐标系中 以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系 已知直线 l 上两点 M N 的极坐标分别为 2 0 圆 C 的参数 2 3 3 2 方程为Error 为参数 1 设 P 为线段 MN 的中点 求直线 OP 的平面直角坐标方程 2 判断直线 l 与圆 C 的位置关系 解 1 由题意知 M N 的平面直角坐标分别为 2 0 又 P 为线段 MN 的中点 0 2 3 3 从而点 P 的平面直角坐标为 1 3 3 故直线 OP 的直角坐标方程为 y x 3 3 2 因为直线 l 上两点 M N 的平面直角坐标分别为 2 0 0 2 3 3