这道中考题的解法真多

这道中考题的解法真多这道中考题的解法真多 湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 赵国瑞 2010 年湖北省武汉市中考题第 24 题 已知 线段 OA OB 点 C 为 OB 中点 D 为线段 OA 上一点 连结 AC BD 交于点 P 1 如图 1 当 OA OB 且 D 为 OA 中点时 求的值 2 如图 2 当 OA OB 且时 求 tan BPC 的值 3 如图 3 当 AD AO OB 1 n 时 直接写出 tan BPC 的值 图 1 图 2 图 3 分析 分析 1 要求的值 联想到平行线分线段成比例定理或平行于三角形一边的直 线和其他两边 或两边的延长线 所构成的三角形与原三角形相似 当然 由于已知条件中 有中点这个条件 还可以联想到三角形中位线定理 或者三角形的面积 因此应设法构造 平行线 图 4 图 5 图 6 图 7 图 8 图 9 图 10 图 11 图 12 图 13 思路一 构造中位线思路一 构造中位线 解法解法 1 连结 AB CD 如图 4 则 CD 是 AOB 的中位线 CD AB 且 CD AB CPD APB 2 思路二 构造平行线思路二 构造平行线 解法解法 2 过点 C 作 CM BD 交 AO 于 M 如图 5 C 为 OB 中点 由平行线分线段成比例定理 得 DM MO D 为 OA 中点 且 DM MO AD 2DM 即 2 解法解法 3 过点 C 作 CM AO 交 BD 于 M 如图 6 解法解法 4 过点 D 作 DM BO 交 AC 于 M 如图 7 解法解法 5 过点 D 作 DM AC 交 BO 于 M 如图 8 解法解法 6 过点 O 作 OM BD 交 AC 的延长线于 M 如图 9 解法解法 7 过点 O 作 OM AC 交 BD 的延长线于 M 如图 10 解法解法 8 过点 A 作 AM BO 交 BD 的延长线于 M 如图 11 解法解法 9 过点 B 作 BM AO 交 AC 的延长线于 M 如图 12 解法 3 至解法 9 的过程留给同学们自己完成 思路三 利用面积思路三 利用面积 解法解法 10 连结 OP 如图 13 点 C 为 OB 中点 D 为 OA 中点 S BCP S OCP S ADP S ODP OA OB OA OB S AOC S BOD S AOC S四边形 ODPC S BOD S四边形 ODPC 即 S BCP S ADP S BCP S OCP S ADP S ODP 2 2 要求 tan BPC 的值 注意到 BPC 及其对顶角所在的三角形不是直角三角形 且 在两个直角三角形中也无法找到与 BPC 相等的角 因此需要以 BPC 为内角构造直角三 角形 另外 为了找出所构造的直角三角形中两直角边的关系 仍然需要作出问题 1 中的 辅助线 解法解法 1 过点 C 作 CE BD 于 E 过点 D 作 DM BO 交 AC 于 M 如图 14 则 设 AD k k 0 则 AO 4k OB DO AO AD 4k k 3k C 为 OB 中点 BC CO 2k 在 Rt BOD 中 由勾股定理 得 BD 5k DM BO BP 4k 易证 BEC BOD 即 图 14 CE 1 2k BE 1 6k EP BP BE 4k 1 6k 2 4k tan BPC 事实上 过点 C 作 CE BD 于 E 后 再作一条与图 5 图 12 中的任何一个图形一样 的辅助线 都可以得到一种解法 这样我们就可以得到 8 种解法 而且在解题过程中 我 们又发现了一种比较简捷的方法 如解法 1 中 由 BD 5k 得 PD k 而 AD k 于是 PD AD BPC APD A 从而 tan BPC tanA 这是我们在按照常规方法 解题的过程中 由于发现线段的相等关系而得到的简捷求法 这是意外的收获 因此我们也可以只作一条辅助线 辅助线的作法同图 5 图 12 中的任何一个图形的辅 助线作法一样 于是我们又得到问题 2 的 8 种求法 3 当 AD AO OB 1 n 时 在 tan BPC 的值时 我们仍然可以像解决问题 2 那样 通过作辅助线求出 tan BPC 的值 但由于已知线段间的数量关系以字母比值的 形式给出 这给问题的求解带来极大的不便 而且题目要求直接写出 tan BPC 的值 问 题 2 也已经求出了 tan BPC 的值 因此我们应该设法将问题 3 与问题 2 联系在一 起 问题 2 中的 tan BPC 值是在 OA OB 且 这个条件下得到的 要想求出 当 AD AO OB 1 n 时 tan BPC 的值 就要设法将条件 OA OB 且 与与 OA OB 且 发生联系 通过观察不难发现 当 n 4 时 4 此时 AD AO OB 1 4 4 正好满足 OA OB 且 因此当 n 4 时 必然有 tan BPC 而 tan BPC 且当 n 4 时 2 因此我们有理由猜测 当 AD AO OB 1 n 时 tan BPC 评注 评注 本题是一道考查平行线分线段成比例 三角形相似 勾股定理及三角函数的综 合题 由三个小题组成 这三个小题的难度呈梯度上升 是一道典型的 递进型 中考 题 其中问题 1 中的解法 1 是根据已知条件中有两个中点 从而想到三角形的中位线定理 而作的辅助线 是问题 1 的最简捷解法 解法 10 也是根据中点想到的辅助线作法 而解 法 2 至解法 9 是为了利用平行线分线段成比例或构造相似三角形而作的辅助线 其中图 5 图 6 图 7 和图 8 所作的辅助线没有与已知线段的延长线相交 解答问题 1 常见的辅助 线作法 在解答问题 2 时 因为 BPC 及其对顶角所在的三角形都是非直角三角形 而且从 已知条件中我们无法再找出与 BPC 相等的角 为了求出 tan BPC 的值 我们应该首当 其充地构造 BPC 所在的直角三角形 于是过点 C 作 CE BD 于 E 至于过其它点作另一 条辅助线 一是为了求出线段 PD BP 的比值 从而顺利找出所构造的直角三角形中两直 角边的关系 另外这也是由 递进型 中考题的特点 下一题要充分用到上一题的结论或解 题思路 决定的 在求解过程中 我们发现 PD AD 于是 BPC APD A 而 A 在直 角三角形中 且正切值容易求出 于是把求 tan BPC 转化为 tanA 因此解答问题 2 只需 作出与问题 1 类似的辅助线 而