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第四节广义积分初步 定积分存在的两个必要条件 1 积分区间有限 积分区间无限被积函数有界 积分区间有限但被积函数无界 广义积分 无穷积分 瑕积分 2 被积函数有界 一 无穷积分 一 无穷积分 1 定义 设 在 上连续 取 存在 如果极限 则称此极限值为函数 在 上的无穷积分 记作 此时也称无穷积分收敛 否则称无穷 积分发散 即 注 1 无穷积分的几何意义 当 时 表示由曲线 与直线 和 轴所围成的向右无限延伸的 平面图形的面积 2 的敛散 性与 无关 2 定义 设 在 上连续 取 存在 如果极限 则称此极限值为函数 在 上的无穷积分 记作 此时也称无穷积分收敛 否则称无穷 积分发散 即 3 定义 设 在 上连续 同时收敛 如果 则称它们的和为函数 在 上的无穷积分 记作 此时也称无穷积分收敛 否则称无穷 积分发散 和 某个实数 为某个实数 即 例1 讨论广义积分 的敛散性 解 即广义积分收敛 值为 例2 讨论广义积分 的敛散性 解 故广义积分 时收敛 时发散 例3 讨论广义积分 的敛散性 解 而 即 发散 故 发散 例已知 求常数 的值 1993年考研真题8分 解 由 得 二 瑕积分 二 瑕积分 1 定义 设 在 上连续 且 存在 如果极限 则称此极限值为函数 在 上的瑕积分 记作 此时也称瑕积分收敛 否则称瑕积分 发散 即 2 定义 设 在 上连续 且 存在 如果极限 则称此极限值为函数 在 上的瑕积分 记作 此时也称瑕积分收敛 否则称瑕积分 发散 即 3 定义 设 在 上连续 并且 如果 同时收敛 则称它们的和为函数 在 上的瑕积分 记作 此时也称瑕积分收敛 否则称瑕积分 发散 和 即 例4 讨论广义积分 的敛散性 解 因 故 是瑕点 即广义积分收敛 值为 例5 讨论广义积分 的敛散性 解 因 故 是瑕点 故广义积分 时收敛 时发散 例6 讨论广义积分 的敛散性 解 因 而 发散 故 发散 例7 判定 的敛散性 解 因 故 是瑕点 即瑕积分发散 瑕积分 时收敛 时发散 无穷积分 时收敛 时发散 总结 三 函数 定义广义积分 是 的函数 称为 函数 性质1 函数是收敛的 性质2 证 性质3 证 性质4 性质5 证 性质6 其中 例7求 解 例8求 解 四 函数 定义广义积分 是
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