金融数学-第-(5)节期权定价的离散模型-二叉树ppt课件.ppt

第五章 期权定价的离散模型二叉树模型 1 CRR模型 Cox Ross Rubinstein 风险中性概率 同S0无关 V0 e rT qU 1 q D 看涨期权执行价为K 假设Sd K Su U Su K uS0 KD 0 C0 e rT quS0 Kq 如果KSu 看跌期权执行价为K 假设Sd K Su U 0D K Su K dS0 P0 e rT K 1 q 1 q dS0 因此C0 P0 S0 Ke rT qu 1 q d erT 2 看涨看跌期权平价公式 看涨看跌期权平价公式 call putparity Ct Ke r T t Pt St 证明 在t 0建立两个投资组合F1 C0 Ke rTF2 P0 S0 这代表什么意思 对欧式期权都满足 在到期t T如果S T KF1 T S T K K S T F2 T 0 S T S T 如果S T KF1 T 0 K KF2 T K S T S T K 因此F1 T F2 T 所以F1 t F2 t 如果Ct Ke r T t Pt St怎样套利 如果Ct Ke r T t Pt St怎样套利 3 后向推导法 股票价格二叉树模型 这里p是实际股票上升的概率 因此 q 1 p E S1 puS0 qdS0 pu qd S0 多时期 概率 因此 一般 简化股票二叉树 p3 3p2q 3pq2 q3 概率 n期价格是ukdn kS0的概率 Cnkpkqn k 欧式看涨期权的二叉树定价 假设S0 10K 10 5u 1 1d 0 9r 0 05 期权在t 3年到期 10 0 11 0 13 31 10 89 8 91 7 29 8 1 9 9 12 1 9 0 u 1 1 d 0 9 股票价格二叉树 t 1 t 2 t 3 在一个典型的分叉 q 1 q 我们有 风险中性概率 q 0 7564 2 81 0 39 0 0 0 2 112 0 281 1 585 0 202 1 187 期权价格二叉树 另一种计算方法 期望值E VT 1 37914 V0 e rTE VT 1 1869 r 0 05 T 3 美式看跌期权的二叉树定价 假设S0 10K 10u 1 1d 0 9r 0 05 期权在t 3年到期 股票数据同上例一样风险中性概率q 0 7564 10 0 11 0 13 31 10 89 8 91 7 29 8 1 9 9 12 1 9 0 u 1 1 d 0 9 股票价格二叉树 t 1 t 2 t 3 期权价格二叉树 0 0 1 09 10 8 91 2 71 10 7 29 q 1 q 在一个典型的分叉 q 0 7564 1 q 0 2436 x e 0 05 0 7564 1 09 0 2436 2 71 1 412 执行期权能得到的收益收益 10 8 1 1 9 期权价格二叉树 0 0 1 09 2 71 x e 0 05 0 7564 0 0 2436 1 09 0 253 提前执行 10 9 9 0 1 x e 0 05 0 7564 0 0 2436 0 0 提前执行 0 期权价格二叉树 0 0 1 09 2 71 q 1 q 0 253 0 x e 0 05 0 7564 0 0 2436 0 253 0 059 提前执行 0 x e 0 05 0 7564 0 253 0 2436 1 9 0 622 提前执行 1 期权价格二叉树 0 0 1 09 2 71 回望期权的二叉树定价回望期权 到期日可以得到整个时期最高的股票价格 假设S0 10u 1 2d 0 9r 0 05 期权在t 3月到期 风险中性概率 q e0 05 12 0 9 1 2 0 9 0 34725 10 12 17 28 12 96 9 72 7 29 8 1 10 8 14 4 9 uuu17 28 股票价格二叉树 10 12 17 28 12 96 9 72 7 29 8 1 10 8 14 4 9 uuu17 28 uud14 4 股票价格二叉树 10 12 17 28 12 96 9 72 7 29 8 1 10 8 14 4 9 uuu17 28 uud14 4 udu12 96 股票价格二叉树 10 12 17 28 12 96 9 72 7 29 8 1 10 8 14 4 9 uuu17 28 uud14 4 udu12 96 duu12 96 股票价格二叉树 10 12 17 28 12 96 9 72 7 29 8 1 10 8 14 4 9 uuu17 28 uud14 4 udu12 96 duu12 96 udd12 0 股票价格二叉树 10 12 17 28 12 96 9 72 72 9 8 1 10 8 14 4 9 uuu17 28 uud14 4 udu12 96 duu12 96 udd12 0 dud10 8 股票价格二叉树 10 12 17 28 12 96 9 72 7 29 8 1 10 8 14 4 9 uuu17 28 uud14 4 udu12 96 duu12 96 udd12 0 dud10 8 ddu10 0 股票价格二叉树 10 12 17 28 12 96 9 72 7 29 8 1 10 8 14 4 9 uuu17 28 uud14 4 udu12 96 duu12 96 udd12 0 dud10 8 ddu10 0 ddd10 0 股票价格二叉树 回望期权在t 3时的期望值E V3 11 53 因此V0 e 0 05 3 12 11 53 11 39 这种计算有什么不足 当n很大时 需要计算2n条路径 怎样从股票实际数据中得到二叉树的信息 股票价格是一个随机变量 在时间段 t内 股票的相对收益率 S S0 S0 股票的漂移系数m m t E S S0 1 因此1 m t E S S0 波动率系数s s2 t D S S0 1 D S S0 因此E S S0 pu 1 p dD S S0 p 1 p u d 2所以1 mDt pu 1 p ds2Dt p 1 p u d 2 Hull White算法1 从实际股票的m和s计算u d p 取p 所以因此 2 从实际股票价格估计m和s 如果每隔时间段Dt的股票价格分别为S0 S1 Sn则Xk Sk Sk 1 k 1 n是S S0在时间段Dt的独立样本 因此 均值 方差 例 某股票五月的价格 如果二叉树时间段Dt 1天 那么 从现在股票价格S0 27 25就可以构建股票二叉树 因为时间段Dt 1天 所以m 0 992 1 0 008 s 0 033 如果二叉树时间段Dt 7天 则 如果二叉树时间段是两周 一个月 CIR算法 计算m和s mDt E ln S S0 s2Dt D ln S S0 取上涨与下跌比例分别为 讨论问题要求制作PPT讲解选择一段时间实际股票价格计算m和sHull White CIR选择期权的到期时间 对应的利率选择阶段数 用二叉树计算各种期权价格欧式 美式 看涨 看跌分析结果是否合理 至少三个月 一个月