集合、不等式选讲、统计案例

集合集合 知识清单知识清单 1 集合的有关概念 2 元素与集合 集合与集合之间的关系 1 元素与集合 或 2 集合与集合之间的关系 包含关系 相等 关系 3 集合的运算 1 交集 由所有属于集合A且属于集合B的 元素所组成的集合 叫做集合A与B的交集 记 为A B 即A B x x A且x B 2 并集 由所有属于集合A或属于集合B的 元素所组成的集合 叫做集合A与集合B的并集 记为A B 即A B x x A或x B 3 补集 一般地 设S是一个集合 A是S的 一个子集 即AS 由S中所有不属于A的元 素组成的集合 叫做子集A在全集S中的补集 或 余集 记为 S A 即S A x x S且x A 典型例题典型例题 例 1 2004 年北京 8 函数f x 其中P M为实数集 R R 的两个 Mxx Pxx 非空子集 又规定f P y y f x x P f M y y f x x M 给出下列四个判断 其中正确判断有 若P M 则f P f M 若P M 则f P f M 若P M R R 则f P f M R R 若P M R R 则f P f M R R A 1 个 B 2 个C 3 个 D 4 个 剖析 由题意知函数f P f M 的图象如下 图所示 fM fP x y O 设P x2 M x1 x2 x1 f P f x2 f M f x1 则P M fM fP x y fx 1 fx 2 x1x2 O 而f P f M f x1 故 错误 同理可知 正确 设P x1 M x2 x2 x1 则P M R R f P f x1 f M f x2 f P f M f x1 R R 故 错 误 同理可知 正确 答案 B 例 2 已知A x x3 3x2 2x 0 B x x2 ax b 0 且A B x 0 x 2 A B x x 2 求a b的值 解 A x 2 x 1 或x 0 设B x1 x2 由A B 0 2 知x2 2 且 1 x1 0 由A B 2 知 2 x1 1 由 知x1 1 x2 2 a x1 x2 1 b x1x2 2 评述 本题应熟悉集合的交与并的涵义 熟练掌 握在数轴上表示区间 集合 的交与并的方法 演练提升演练提升 一 选择题 1 如果集合 8 7 6 5 4 3 2 1 U 那么 8 5 2 A 7 5 3 1 BA U 等于 B A B 5 8 7 6 5 4 3 1 C D 8 2 7 3 1 2 如果 U 是全集 M P S 是 U 的三个子集 则阴影部分所表示的集合 为 A M P S B M P S C M P CUS D M P CUS 3 已知集合 4 Nx yxy 那么集合为 2 Mx yxy MN A B 3 1xy 3 1 C D 3 1 3 1 4 B 且 2 4 21 Aaa 5 1 9 aa 则的值是 9 AB a A B 3a 3a C D 3a 53aa 或 5 若集合 中只有一 2 440 Ax kxxxR 个元素 则实数的值为 k A 0 B 1 C 0 或 1 D 1k 6 集合的真子 2 4 Ay yxxN yN 集的个数为 A 9 B 8 C 7 D 6 7 符号的集合 P 的个数 a Pa b c 是 A 2 B 3 C 4 D 5 8 已知 则2 1 1 My yxxRPx xaaR 集合 M 与 P 的关系是 A M P B PR C P D P M M 9 设 P Q 为两个非空实数集合 定义集合 P Q 5 2 0 PQbPaba若 则 P Q 中元素的个数是 6 2 1 Q A 9 B 8 C 7 D 6 10 设全集集合 Ix y x yR 那么 3 1 1 2 y Mx yNx y yx x 等于 II C MC N A B 2 3 C 2 3 D 1 x y yx 11 设 U 为全集 集合 A B C 满足条件 那么下列各式中一定成立的是ABAC A B ABAC BC UU CAC BAC C UU C ABC AC 且 2 12 60 10 Ax xxBx mx 则 m 的取值范围是 ABA A B 11 32 11 0 32 C D 11 0 32 1 1 3 2 二 选择题 13 设集合小于 5 的质数 则的 M M 真子集的个数为 14 设 1 2 3 4 5 6 7 8 U 3 4 5 4 7 8 AB 则 UU C AC B UU C AC B 15 已知 15 4 Ax xxBx axa 或 若B 则实数的取值范围 A a 16 已知集合 有22 31 31 Px xmmTx xnn 下列判断 5 4 PTy y 5 4 PTy y PT PT 其中正确的是 三 解答题 17 已知含有三个元素的集合 求的值 2 1 0 b aaab a 20082007 ba 18 若集合 10 的正整数小于 SSBSA 且 8 6 4 2 9 1 BCACBABAC SSS 求 A 和 B 19 设 A x x2 px q 0 M 1 3 5 7 9 N 1 4 7 10 若 A M A N A 求 p q 的值 20 设集合 A x y y ax 1 B x y y x 若 A B 是单元素集合 求 a 取值范围 21 已知由实数组成的集合 A 满足 若 则xA 1 1 A x 1 设 A 中含有 3 个元素 且求 A 2 A 2 A 能否是仅含一个元素的单元素集 试说明理 由 22 设 01 1 2 04 222 axaxxBxxxA 若 求 a 的值BBA 不等式选讲不等式选讲 知识清单知识清单 1 绝对值的几何意义 是指数轴上点到原点 xx 的距离 是指数轴上两点间的距离 12 xx 12 x x 0 0 aa aa aRa则设 2 绝对值的运算性质 注意不等式成立的条件 bababa 1 注意不等式成立的条件 bababa 2 baba 3 b a b a 4 3 解绝对值不等式的基本思想 去绝对值符号 具体方 法有 则设Rxa 01xaaxa xaxaxa 或 f xg xg xf xg x xgxfxgxfxgxf 或 22 2 0 f xg xfxgx f xg xf xg x 3 分段去绝对值 找出零点 分段求解 4 数形结合 4 基本不等式 1 定理定理 1 如果 那么 当且Rba abba2 22 仅当时取 ba 2 定理定理 2 如果是正数 那么 当ba ab ba 2 且仅当时取 ba 3 定理定理 3 如果 那么 Rcba 当且仅当时取 abccba3 333 cba 推论推论 如果 那么 Rcba 3 3 abc cba 当且仅当时取 cba 4 算术算术 几何平均不等式几何平均不等式 如果 则 NnnRaaa n 且1 21 叫做这 n 个正数的算术平均数 n aaa n 21 叫做这 n 个正数的几何平均数 n n aaa 21 基本不等 Z 式 12 12 n n n aaa a aa n niRaNn i 1 5 不等式的证明方法 不等式的证明方法 1 反证法 正难则反 否定结论 导出矛盾 证实结 论的否定是错误的 从而肯定原结论正确 2 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小 利用不 等式的传递性证 明不等式 常用的放缩手法有 添加或舍去一些项 如 aa 1 2 nnn 1 将分子或分母放大 或缩小 利用基本不等式 绝对值不等式 a2 0 等 若 a b 0 m 0 则 bbm aam 典型例题典型例题 例 已知 a b R 且 a b 1 求证 2 25 22 22 ba 证法一 比较法 作差消 b 化为 a 的二次函数 也可用分析法 综合法 反证法 实质与比较法相同 证法二 放缩法 左边 1ab 2 22 22 222 2 ab ab 右边 2125 4 22 ab 证法三 均值换元法 所以可设1ab ta 2 1 tb 2 1 左边 22 22 11 22 2 2 22 abtt 右边 22 2 552525 2 2222 ttt 当且仅当 t 0 时 等号成立 演练提升演练提升 一 选择题 1 下列各式中 最小值等于的是 2 A B x y y x 4 5 2 2 x x C D 1 tan tan 22 xx 2 若且满足 则 x yR 32xy 的最小值是 3271 xy A B 3 3 912 2 C D 67 3 设 则 0 0 1 xy xyA xy 11 xy B xy 的大小关系是 A B A B AB AB C D AB AB 4 若 且恒成立 x y aR yxayx 则的最小值是 a A B C D 2 2 21 1 2 5 函数的最小值为 46yxx A B C D 2246 6 不等式的解集为 3529x A B 2 1 4 7 2 1 4 7 C D 2 1 4 7 2 1 4 7 7 设 且恒成立 abc nN ca n cbba 11 则的最大值是 n A B C D 2346 8 若 则函数有 1 x 2 22 22 xx y x A 最小值 B 最大值 11 C 最大值 D 最小值 1 1 9 设 则 2P 73Q 62R 的大小顺序是 P Q R A B PQR PRQ C D QPR QRP 10 设不等的两个正数满足 a b 3322 abab 则的取值范围是 ab A B 1 4 1 3 C D 4 1 3 0 1 11 设 且 若 a b cR 1abc 则必有 111 1 1 1 M abc A B 1 0 8 M 1 1 8 M C D 18M 8M 12 若 且 a bR ab ab M ba 则与的大小关系是 Nab MN A B MN MN C D MN MN 二 填空题 13 不等式 1 2 的解集是 2 1 x 14 设 则函数的最大值0 x 1 33yx x 是 15 记 S 则 S 12 1 22 1 12 1 2 1 11101010 与 1 的大小关系是 16 已知 a b c a b c R 给出下列不等 式 a b c a b c a b c a b c a b c 其中一定成立的不等式 是 把成立的不等式的序号都填 上 三 解答题 17 解不等式 x2 3 x 3 1 18 如果关于的不等式x 的解集不是空集 求参34xxa 数的取值范围 a 19 已知 求证 1abc 222 1 3 abc 20 设计一幅宣传画 要求画面面积为 4840cm2 画面的宽与高的比为 1 画面 的上 下各留 8cm 的空白 左 右各留 5cm 的空 白 怎样确定画面的高与宽尺才 能使宣传画所 用纸张面积最小 21 记关于的不等式的解集为 x 0 1 xa x P 不等式的解集为 11x Q 1 若 求 3a P 2 若 求正数的取值范围 QP a 22 证明 111 2 1 1 1 2 23 nn n 统计案例统计案例 知识清单知识清单 1 回归直线方程过点 点 yabx x y 又叫样本点的中心 x y 2 样本相关系数的计算公式为rr 1 2 2 11 n ii i nn ii ii xxyy xxyy 当时表明两个变量正相关 当时 0r 0r 表明两个变量负相关 的绝对值越接近于 1 r 表明两个变量线性相关性越强 的绝对值越接r 近于 0 说明两个变量几乎不存在线性相关关系 通常在大于时 认为两个变量有很强的r0 75 线性相关关系 3 相关性检验的一般步骤 1 做统计假设 2 求出的值 3 作统计推断 4 求r 回归直线方程 5 作残差分析 4 掌握建立回归模型的一般步骤 对某些特 殊的非线性关系 可以通过变量转换 把非线性 回归转化为线性回归 然后利用线性回归的方法 进行研究 5 独立性检验的一般步骤 1 根据样本数 据制成列联表 2 根据公式2 2 计算的值 3 2 2 n adbc K abcdacbd 2 K 比较与临界值的大小关系作统计推断 2 K 7 统计方法是可能犯错误的 不管是回归分析 还是独立性检验 得到的结论都可能犯错误 好 的统计方法就是要尽量降低犯错误的概率 比如 在推断吸烟与患肺癌是否有关时 通过收集数据 整理分析数据得出的结论是 吸烟与肺癌有关 而且这个结论犯错误的概率在 0 01 以下 实际 上 这是统计思维与确定性思维差异的反映 这 是数学问题 不一定在实际中得到验证 典型例题典型例题 为了了解某地母亲身高 x 与女儿身高 y 的相关关 系 现随机测得 10 对母女的身高 所得数据如 下表所示 母亲身 高 cx m 159160160163159154159158159157 女儿身 高 cy m 158159160161161155162157162156 试对 x 与 y 进行回归分析 并预报当母亲身高为 161cm 时 女儿的身高为多少 解析 作线性相关性检验 158 8159 1xy 2 22222 10 159160157 10 158 847 6 i xx 1037 2 ii x yxy 2 2 1056 9 i yy 因此 0 71r 表明 x 与 y 有线性相关关系 因而求回归直线方 程有必要 0 78b 159 10 78 158 835 2a 由此可得回归直线方程 为 斜率的估计值反映出 0 7835 2yx 0 78b 当母亲身高每增加 1cm 时 女儿身高平均增加 0 78cm 可以理解为女儿身高中不受母 35 2a 亲身高影响的部分 当母亲身高为cm 时 161x 预报女儿身高为 cm 这就是说当母 0 78 16135 2160 78161y 亲身高为 161cm 时 女儿身高大致也为 161cm 演练提升演练提升 一一 选择题选择题 1 下列变量之间 人的身高与年龄 产品的 成本与生产数量 商品的销售额与广告费 家庭的支出与收入 其中不是函数关系的有 0 个 1 个 2 个 3 个 2 当时 认为事件与事件 2 3 841K AB 有的把握有关95 有的把握有关99 没有理由说它们有关 不确定 3 已知回归直线方程 其中 ybxa 且样本点中心为 则回归直线方程3a 12 为 3yx 23yx 3yx 3yx 4 为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程 之间的关系 在某校中学生中随机抽取了 300 名 学生 得到如下列联表 喜欢数学不喜欢数学合计 男3785122 女35143178 合计72228300 你认为性别与是否喜欢数学课程之间有关系的把 握有 0 95 99 100 5 某种产品的广告费支出与销售额 单位 百 万元 之间有如下对应数据 广告费24568 销售额3040605070 则广告费与销售额间的相关系数为 0 819 0 919 0 923 0 95 6 在回归直线方程中 回归系数 yabx 表示 b 当时 的平均值0 x y x 变动一个单位时 y 的实际变动量 y 变动一个单位时 x 的平均变动量 x 变动一个单位时 y 的平均变动量 7 对于回归分析 下列说法错误的是 在回归分析中 变量间的关系若是非确定关 系 那么因变量不能由自变量唯一确定 线性相关系数可以是正的 也可以是负的 回归分析中 如果 说明 x 与 y 之间 2 1r 完全相关 样本相关系数 11 r 8 部分国家 13 岁学生数学测验平均分数为 中 国 韩 国 瑞 士 俄 罗 斯 法 国 以 色 列 加 拿 大 英 国 美 国 约 旦 授 课 天 251222207210174215188192180191 数 分 数 80737170646362615546 对于授课天数与分数是否存在回归直线 下列说 法正确的是 一定存在 可能存在也可能不存在 一定不存在 以上都不正确 9 下列关于残差图的描述错误的是 残差图的横坐标可以是编号 残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量 残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小 残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 10 某化工厂为预测某产品的回收率 y 需要研 究它和原料有效成份含量之间的相关关系 现取 了 8 对观测值 计算得 8 1 52 i i x 8 1 228 i i y 则与的回归直 8 2 1 478 i i x 8 1 1849 ii i x y yx 线方程是 11 472 62yx 11 472 62yx 2 6211 47yxx 11 472 62yx 11 已知回归直线的斜率的估计值是 1 23 样本 点的中心为 4 5 则回归直线的方程是 A 1 23x 4 B 1 23x 5 y y C 1 23x 0 08 D 0 08x 1 23 y y 12 已知 x 与 y 之间的一组数据 x0123 y1357 则 y 与 x 的线性回归方程为 y bx a 必过 A 2 2 点 B 1 5 0 点 C 1 2 点 D 1 5 4 点 二二 填空题填空题 13 有下列关系 1 人的年龄与他 她 拥有的财富之间的关系 2 曲线上的点与该 点的坐标之间的关系 3 苹果的产量与气候 之间的关系 4 森林中的同一种树木 其断 面直径与高度之间的关系 5 学生与他 她 的学号之间的关系 其中有相关关系的是 14 归直线方程为 y 0 5x 0 81 则 x 25 时 y 的估计值为 15 在两个变量的回归分析中 作散点图的目的 是 16 许多因素都会影响贫穷 教育也许是其中之 一 在研究这两个因素的关系时收集了美国 50 个州的成年人受过 9 年或更少教育的百分比 x 和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数 的百分比 的数据 建立的回归直线方程如y 下 斜率的估计等于 0 8 说明 0 84 6yx 成年人受过 9 年或更少教育的百分比 和收x 入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比 之间的相关系数 填充 大y 于 0 或 小于 0 三三 解答题解答题 17 在回归分析中 通过模型由解释变量计算预 报变量时 应注意什么问题 18 对某校小学生进行心理障碍测试得如下列联 表 其中焦虑 说谎 懒惰都是心理障碍 焦虑说谎懒惰总计 女生5101530 男生20105080 总计252065110 试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最 大 19 一机器可以按各种不同的速度运转 其生产 物件有一些会有缺点 每小时生产有缺点物件的 多少随机器运转速度而变化 用 x 表示转速 单 位 转 秒 用 y 表示每小时生产的有缺点物件 个数 现观测得到的 4 组观测值为 xy 8 5 12 8 14 9 16 11 1 假定 y 与 x 之间有线性相关关系 求 y 对 x 的回归直线方程 2 若实际生产中所容许的每小时最大有缺点 物件数为 10 则机器的速度不得超过多少转 秒 精确到 1 转 秒 20 某个服装店经营某种服装 在某周内获纯利 y 元 与该周每天销售这种服装件数 x 之间的 一组数据关系见表 x 3456789 y 66697381899091 已知 7 2 1 280 i i x 7 2 1 45309 i i y 7 1 3487 ii i x y 1 求 x y 2 画出散点图 3 判断纯利 y 与每天销售件数 x 之间是否线 性相关 如果线性相关 求出回归方程 集合集合 题题 号号 123456789101 1 12 答