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高考复习数学指导 函数专题 主讲人 中国人民大学焦文龙 距离高考还有69天 Wakeup Everyminuteisgold Inacrisis beawareofthedanger Butrecognizetheopportunity 蛇打七寸 如果上天再给我一次机会 我要对你说 好好复习函数 那是高中数学的核心 学好函数 才能成就高考 函数的重大意义 算术 代数 函数静止的 孤立的分析 运动的 联系的 心中的痛 反函数 值域 单调性 奇偶性 求解析式 分段函数 根的分布 函数与方程思想方法 函数图象等 难点之一反函数 已知函数存在反函数 求 的取值 1 2 难点之二 周期性 循环 定义在R上的奇函数有最小正周期2 且 0 1 时 f x 求f x 在 1 1 上的解析式证明f x 在 0 1 上为减函数当m取何值时 方程f x m在 1 1 是有解 解析 解 令x 1 0 则 x 0 1 f x f x 又f 0 f 0 f 0 0又f 1 f 1 2 f 1 f 1 f 1 f 1 0 这里应用周期性 证明 设 则f x1 f x2 f x 在 0 1 上为减函数 由 知f x 在 1 0 也为减函数 当x 0 1 j时 f x 2 5 1 2 当x 1 0 时 f x 1 2 2 5 当x 1 0时 f x 0 当m 1 2 2 5 2 5 1 2 0 时 f x m在 1 1 上有解 设曲线C的方程为将C沿x轴 y轴正方向分别平移t s单位后得曲线C1 写出C1的方程 证明C与C1关于A t 2 s 2 对称 如果曲线C与C1有仅有一个公共点 证明且t 0 难点之三 奇偶性 对称性 C1的方程为 设曲线C上任取一点B1 x1 y1 设B2为B1关于点A的对称点 则有即代入C可得可知点B2也在曲线C1上 同理可证在曲线C1上的点关于A的对称的点在曲线C上 C1与C关于点A对称 由有仅有一解 消去y并整理可得有仅有一个根 t 0且 0 由 0可得 且t 0 难点之四 定义域 值域 所涉及的问题及解决的方法主要有 1 求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法 分离变量法 单调性法 图象法 换元法 不等式法等 无论用什么方法求函数的值域 都必须考虑函数的定义域 2 函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域 单调性 奇偶性 反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点 并可以逐渐加强 3 运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题 从而利用所学知识去解决 此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 已知函数f x x 1 1 当a 时 求函数f x 的最小值 2 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 命题意图 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题 着重于学生的综合分析能力以及运算能力 知识依托 本题主要通过求f x 的最值问题来求a的取值范围 体现了转化的思想与分类讨论的思想 错解分析 考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决 技巧与方法 解法一运用转化思想把f x 0转化为关于x的二次不等式 解法二运用分类讨论思想解得 难点之五 单调性 已知函数f x 在 1 1 上有定义 f 1 当且仅当0 x 1时f x 0 且对任意x y 1 1 都有f x f y f 试证明 1 f x 为奇函数 2 f x 在 1 1 上单调递减 命题意图 本题主要考查函数的奇偶性 单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力 知识依托 奇偶性及单调性定义及判定 赋值法及转化思想 错解分析 本题对思维能力要求较高 如果 赋值 不够准确 运算技能不过关 结果很难获得 技巧与方法 对于 1 获得f 0 的值进而取x y是解题关键 对于 2 判定的范围是焦点 本难点所涉及的问题及解决方法主要有 1 判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数 严格按照定义判断 注意变换中的等价性 若为抽象函数 在依托定义的基础上 用好赋值法 注意赋值的科学性 合理性 同时 注意判断与证明 讨论三者的区别 针对所列的 磁场 及 训练 认真体会 用好数与形的统一 复合函数的奇偶性 单调性 问题的解决关键在于 既把握复合过程 又掌握基本函数 2 加强逆向思维 数形统一 正反结合解决基本应用题目 下一节我们将展开研究奇偶性 单调性的应用 数列中的单调性利用 结论 与自然数有关的 和式 采用求差确定数列的单调性 与自然有关的 积式 采用求求商确定数列的单调性 求证 对于n 2时 难点之六 解析式 已知f 2 cosx cos2x cosx 求f x 1 解法一 换元法 f 2 cosx cos2x cosx 2cos2x cosx 1令u 2 cosx 1 u 3 则cosx 2 u f 2 cosx f u 2 2 u 2 2 u 1 2u2 7u 5 1 u 3 f x 1 2 x 1 2 7 x 1 5 2x2 11x 4 2 x 4 解法二 配凑法 f 2 cosx 2cos2x cosx 1 2 2 cosx 2 7 2 cosx 5 f x 2x2 7x 5 1 x 3 即f x 1 2 x 1 2 7 x 1 5 2x2 11x 14 2 x 4 所涉及的问题及解决方法主要有 1 待定系数法 如果已知函数解析式的构造时 用待定系数法 2 换元法或配凑法 已知复合函数f g x 的表达式可用换元法 当表达式较简单时也可用配凑法 3 消参法 若已知抽象的函数表达式 则用解方程组消参的方法求解f x 另外 在解题过程中经常用到分类讨论 等价转化等数学思想方法 专题总结之一 函数图象 图象是函数的灵魂 高考中的很多题目都可借助图象来解决 因为图象直观 基本图象变换表 常用几条定理 若函数y f x 满足f a x f b x 则函数y f x 的图象关于对称 若函数y f x 满足f a x f a x 则函数y f x 的图象关于x a对称 若函数y f x 满足f x f x 则函数y f x 的图象关于x 0对称 若函数y f x 满足f a x f a x 2b 则函数y f x 的图象关于 a b 对称 若函数y f x 满足f a x f a x 0 则函数y f x 的图象关于 a 0 对称 若函数y f x 满足f x f x 0 则函数y f x 的图象关于 0 0 对称 专题总结之二 二次函数区间最值 二次函数y f x ax 2 bx c a 0 在区间 m n 上的最值如下图 专题总结之三 二次方程实根分布问题 二次方程的实根分布常被应用于求解一些综合性问题 二次方程ax 2 bx c 0 a 0 的实根分布问题 实质上是函数f x ax 2 bx c a 0 的零点分布位置问题 即函数f x 的图象与x轴交点的位置问题 结合二次函数的图象 我们不难将二次方程f x 0的实根分布情况归结如下 其中x1 x2 x1 x2 为f x 0的两根 k k1 k2为常数 k1 k2 6 x1 x2仅有一个在 k1 k2