列一元二次方程解应用题经典题型详解

列一元二次方程解应用题经典题型剖析列一元二次方程解应用题经典题型剖析 学习了一元二次方程的解法以后 就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的 应用问题 即列一元二次方程解应用题 不少同学遇到这类问题总是左右为难 难以下笔 事实上 同学们只要能认真地阅读题目 分析题意 并能学会分解题目 各个击破 从而 找到已知的条件和未知问题 必要时可以通过画图 列表等方法来帮助我们理顺已知与未 知之间的关系 找到一个或几个相等的式子 从而列出方程求解 同时还要及时地检验答 案的正确性并作答 现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目 举例说明 一 增长率问题一 增长率问题 例 1 恒利商厦九月份的销售额为 200 万元 十月份的销售额下降了 20 商厦从十 一月份起加强管理 改善经营 使销售额稳步上升 十二月份的销售额达到了 193 6 万元 求这两个月的平均增长率 解 设这两个月的平均增长率是 x 则根据题意 得 200 1 20 1 x 2 193 6 即 1 x 2 1 21 解这个方程 得 x1 0 1 x2 2 1 舍去 答 这两个月的平均增长率是 10 说明 这是一道正增长率问题 对于正的增长率问题 在弄清楚增长的次数和问题中 每一个数据的意义 即可利用公式 m 1 x 2 n 求解 其中 m n 对于负的增长率问题 若 经过两次相等下降后 则有公式 m 1 x 2 n 即可求解 其中 m n 二 商品定价二 商品定价 例 2 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品 该商品可以自行定价 若每件商 品售价 a 元 则可卖出 350 10a 件 但物价局限定每件商品的利润不得超过 20 商 店计划要盈利 400 元 需要进货多少件 每件商品应定价多少 解 根据题意 得 a 21 350 10a 400 整理 得 a2 56a 775 0 解这个方程 得 a1 25 a2 31 因为 21 1 20 25 2 所以 a2 31 不合题意 舍去 所以 350 10a 350 10 25 100 件 答 需要进货 100 件 每件商品应定价 25 元 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题 也是各种考试的热点 三 储蓄问题三 储蓄问题 例 3 王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入 少儿银行 到期后 将本金和利息取出 并将其中的 500 元捐给 希望工程 剩余的又全部按一年定期存入 这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90 这样到期后 可得本金和利息共 530 元 求第一次存款时的年利率 假设不计利息税 解 设第一次存款时的年利率为 x 则根据题意 得 1000 1 x 500 1 0 9x 530 整理 得 90 x2 145x 3 0 解这个方程 得 x1 0 0204 2 04 x2 1 63 由于存款利率不能为负数 所以将 x2 1 63 舍去 答 第一次存款的年利率约是 2 04 说明 这里是按教育储蓄求解的 应注意不计利息税 四 趣味问题四 趣味问题 例 4 一个醉汉拿着一根竹竿进城 横着怎么也拿不进去 量竹竿长比城门宽 4 米 旁边一个醉汉嘲笑他 你没看城门高吗 竖着拿就可以进去啦 结果竖着比城门高 2 米 二人没办法 只好请教聪明人 聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿 二人一试 不多 不少刚好进城 你知道竹竿有多长吗 解 设渠道的深度为 xm 那么渠底宽为 x 0 1 m 上口宽为 x 0 1 1 4 m 则根据题意 得 x 0 1 x 1 4 0 1 x 1 8 整理 得 x2 0 8x 1 8 0 1 2 解这个方程 得 x1 1 8 舍去 x2 1 所以 x 1 4 0 1 1 1 4 0 1 2 5 答 渠道的上口宽 2 5m 渠深 1m 说明 求解本题开始时好象无从下笔 但只要能仔细地阅读和口味 就能从中找到等 量关系 列出方程求解 五 古诗问题五 古诗问题 例 5 读诗词解题 通过列方程式 算出周瑜去世时的年龄 大江东去浪淘尽 千古风流数人物 而立之年督东吴 早逝英年两位数 十位恰小个位三 个位平方与寿符 哪位学子算得快 多少年华属周瑜 解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x 则十位数字为 x 3 则根据题意 得 x2 10 x 3 x 即 x2 11x 30 0 解这个方程 得 x 5 或 x 6 当 x 5 时 周瑜的年龄 25 岁 非而立之年 不合题意 舍去 当 x 6 时 周瑜年龄为 36 岁 完全符合题意 答 周瑜去世的年龄为 36 岁 说明 本题虽然是一道古诗问题 但它涉及到数字和年龄问题 通过求解同学们应从 中认真口味 六 象棋比赛六 象棋比赛 例 6 象棋比赛中 每个选手都与其他选手恰好比赛一局 每局赢者记 2 分 输者记 0 分 如果平局 两个选手各记 1 分 领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数 分别 是 1979 1980 1984 1985 经核实 有一位同学统计无误 试计算这次比赛共有多少个选 手参加 解 设共有 n 个选手参加比赛 每个选手都要与 n 1 个选手比赛一局 共计 n n 1 局 但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次 因此实际比赛总局数应为 n n 1 局 由于每局共计 2 分 所以全部选手得分总共为 n n 1 分 显然 n 1 与 n 为相 1 2 邻的自然数 容易验证 相邻两自然数乘积的末位数字只能是 0 2 6 故总分不可能是 1979 1984 1985 因此总分只能是 1980 于是由 n n 1 1980 得 n2 n 1980 0 解得 n1 45 n2 44 舍去 答 参加比赛的选手共有 45 人 说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题 都可以仿照些 方法求解 七 情景对话七 情景对话 例 7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游 推出了如图 1 对话中收费标 准 某单位组织员工去天水湾风景区旅游 共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元 请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游 解 设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游 因为 1000 25 25000 27000 所以员工人数一定超过 25 人 则根据题意 得 1000 20 x 25 x 27000 整理 得 x2 75x 1350 0 解这个方程 得 x1 45 x2 30 当 x 45 时 1000 20 x 25 600 700 故舍去 x1 当 x2 30 时 1000 20 x 25 900 700 符合题意 答 该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游 说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系 求得的解还要注意分类讨论 从中 找出符合题意的结论 八 等积变形八 等积变形 例 8 将一块长 18 米 宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园 阴影部分 所占的面积 为原来荒地面积的三分之二 精确到 0 1m 1 设计方案 1 如图 2 花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路 2 设计方案 2 如图 3 花园中每个角的扇形都相同 以上两种方案是否都能符合条件 若能 请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半 径 若不能符合条件 请说明理由 解 都能 1 设小路宽为 x 则 18x 16x x2 18 15 即 x2 34x 180 0 2 3 解这个方程 得 x 即 x 6 6 34436 2 2 设扇形半径为 r 则 3 14r2 18 15 即 r2 57 32 所以 r 7 6 2 3 说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积 面积公式 其原则是形变积不变 或形变积也变 但重量不变 等等 图 1 如果人数超过 25 人 每增加 1 人 人均旅游费用降低 20 元 但人均旅游费用不得低于 700 元 如果人数不超过 25 人 人 均旅游费用为 1000 元 图 2 Q P C B A 图 4 图 3 九 动态几何问题九 动态几何问题 例 9 如图 4 所示 在 ABC 中 C 90 AC 6cm BC 8cm 点 P 从点 A 出发 沿边 AC 向点 C 以 1cm s 的速度移动 点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 2cm s 的速度移 动 1 如果 P Q 同时出发 几秒钟后 可使 PCQ 的面积为 8 平方厘米 2 点 P Q 在移动过程中 是否存在某一时刻 使得 PCQ 的面积等于 ABC 的 面积的一半 若存在 求出运动的时间 若不存在 说明理由 解 因为 C 90 所以 AB 10 cm 22 ACBC 22 68 1 设 xs 后 可使 PCQ 的面积为 8cm2 所以 AP xcm PC 6 x cm CQ 2xcm 则根据题意 得 6 x 2x 8 整理 得 x2 6x 8 0 解这个方程 得 x1 2 x2 4 1 2 所以 P Q 同时出发 2s 或 4s 后可使 PCQ 的面积为 8cm2 2 设点 P 出发 x 秒后 PCQ 的面积等于 ABC 面积的一半 则根据题意 得 6 x 2x 6 8 整理 得 x2 6x 12 0 1 2 1 2 1 2 由于此方程没有实数根 所以不存在使 PCQ 的面积等于 ABC 面积一半的时刻 说明 本题虽然是一道动态型应用题 但它又要运用到行程的知识 求解时必须依据 路程 速度 时间 十 梯子问题十 梯子问题 例 10 一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上 梯子的底端距墙角 6m 1 若梯子的顶端下滑 1m 求梯子的底端水平滑动多少米 2 若梯子的底端水平向外滑动 1m 梯子的顶端滑动多少米 3 如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离 那么滑动的距离是多少 米 解 依题意 梯子的顶端距墙角 8 m 22 106 1 若梯子顶端下滑 1m 则顶端距地面 7m 设梯子底端滑动 xm 则根据勾股定理 列方程 72 6 x 2 102 整理 得 x2 12x 15 0 解这个方程 得 x1 1 14 x2 13 14 舍去 所以梯子顶端下滑 1m 底端水平滑动约 1 14m 2 当梯子底端水平向外滑动 1m 时 设梯子顶端向下滑动 xm 则根据勾股定理 列方程 8 x 2 6 1 2 100 整理 得 x2 16x 13 0 解这个方程 得 x1 0 86 x2 15 14 舍去 所以若梯子底端水平向外滑动 1m 则顶端下滑约 0 86m 3 设梯子顶端向下滑动 xm 时 底端向外也滑动 xm 则根据勾股定理 列方程 8 x 2 6 x 2 102 整理 得 2x2 4x 0 解这个方程 得 x1 0 舍去 x2 2 所以梯子顶端向下滑动 2m 时 底端向外也滑动 2m 说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动 梯子始终与墙上 地面构成直角三 角形 十一 航海问题十一 航海问题 例 11 如图 5 所示 我海军基地位于 A 处 在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B 在 B 的正东方向 200 海里处有一 重要目标 C 小岛 D 恰好位于 AC 的中点 岛上有一补给码头 小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向 一艘军舰从 A 出发 经 B 到 C 匀速巡航 一艘补给船同时从 D 出发 沿南 偏西方向匀速直线航行 欲将一批物品送往军舰 1 小岛 D 和小岛 F 相距多少海里 2 已知军舰的速度是补给船的 2 倍 军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处 那么相遇时补给船航行了多少海里 精确到 0 1 海里 解 1 F 位于 D 的正南方向 则 DF BC 因为 AB BC D 为 AC 的中点 所以 DF AB 100 海里 所以 小岛 D 与小岛 F 相距 100 海里 1 2 2 设相遇时补给船航行了 x 海里 那么 DE x 海里 AB BE 2x 海里 EF AB BC AB BE CF 300 2x 海里 在 Rt DEF 中 根据勾股定理可得方程 x2 1002 300 2x 2 整理 得 3x2 1200 x 100000 0 解这个方程 得 x1 200 118 4 x2 200 不合题意 舍去 100 6 3 100 6 3 所以 相遇时补给船大约航行了 118 4 海里 F E D C B A 图 5 说明 求解本题时 一定要认真地分析题意 及时发现题目中的等量关系 并能从图 形中寻找直角三角形 以便正确运用勾股定理布列一元二次方程 十二 图表信息十二 图表信息 例 12 如图 6 所示 正方形 ABCD 的边长为 12 划分成 12 12 个小正方形格 将边 长为 n n 为整数 且 2 n 11 的黑白两色正方形纸片按图中的方式 黑白相间地摆放 第一张 n n 的纸片正好盖住正方形 ABCD 左上角的 n n 个小正方形格 第二张纸片盖住第 一张纸片的部分恰好为 n 1 n 1 个小正方形 如此摆放下去 直到纸片盖住正方形 ABCD 的右下角为止 请你认真观察思考后回答下列问题 1 由于正方形纸片边长 n 的取值不同 完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不 同 请填写下表 纸片的边长 n23456 使用的纸片张数 2 设正方形 ABCD 被纸片盖住的面积 重合部分只计一次 为 S1 未被盖住的面 积为 S2 当 n 2 时 求 S1 S2的值 是否存在使得 S1 S2的 n 值 若存在 请求出来 若不存在 请说明理由 解 1 依题意可依次填表为 11 10 9 8 7 2 S1 n2 12 n n2 n 1 2 n2 25n 12 当 n 2 时 S1 22 25 2 12 34 S2 12 12 34 110 所以 S1 S2 34 110 17 55 若 S1 S2 则有 n2 25n 12 122 即 n2 25n 84 0 1 2 解这个方程 得 n1 4 n2 21 舍去 所以当 n 4 时 S1 S2 所以这样的 n 值是存在的 说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表 及时挖掘其中的隐含条件 对 于求解第 3 小题 可以先假定问题的存在 进而构造一元二次方程 看得到的一元二次 方程是否有实数根来加以判断 十三 探索在在问题十三 探索在在问题 例 13 将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正 图 6 方形 1 要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2 那么这段铁丝剪成两段后的长度分别 是多少 2 两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗 若能 求出两段铁丝的长度 若不能 请说明理由 解 1 设剪成两段后其中一段为 xcm 则另一段为 20 x cm 则根据题意 得 17 解得 x1 16 x2 4 2 4 x 2 20 4 x 当 x 16 时 20 x 4 当 x 4 时 20 x 16 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是 4cm 和 16cm 2 不能 理由是 不妨设剪成两段后其中一段为 ycm 则另一段为 20 y cm 则 由题意得 12 整理 得 y2 20y 104 0 移项并配方 得 y 10 2 4 y 2 20 4 y 2 4 0 所以此方程无解 即不能剪成两段使得面积和为 12cm2 说明 本题的第 2 小问也可以运用求根公式中的 b2 4ac 来判定 若 b2 4ac 0 方程有两个实数根 若 b2 4ac 0 方程没有实数根 本题中的 b2 4ac 16 0 即无解 十四 平分几何图形的周长与面积问题十四 平分几何图形的周长与面积问题 例 14 如图 7 在等腰梯形 ABCD 中 AB DC 5 AD 4 BC 10 点 E 在下底边 BC 上 点 F 在腰 AB 上 1 若 EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长 设 BE 长为 x 试用含 x 的代数式表示 BEF 的面积 2 是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时平分 若存在 求出此时 BE 的长 若不存在 请说明理由 3 是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 1 2 的两部分 若 存在 求此时 BE 的长 若不存在 请说明理由 解 1 由已知条件得 梯形周长为 12 高 4 面积为 28 过点 F 作 FG BC 于 G 过点 A 作 AK BC 于 K 则可得 FG 4 12 5 x F E D CB A 图 7 KG 所以 S BEF BE FG x2 x 7 x 10 1 2 2 5 24 5 2 存在 由 1 得 x2 x 14 解这个方程 得 x1 7 x2 5 不合题意 2 5 24 5 舍去 所以存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长与面积同时平分 此时 BE 7 3 不存在 假设存在 显然有 S BEF S多边形 AFECD 1 2 即 BE BF AF AD DC 1 2 则有 x2 x 2 5 16 5 28 3 整理 得 3x2 24x 70 0 此时的求根公式中的 b2 4ac 576 840 0 所以不存在这样的实数 x 即不存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 1 2 的两部分 说明 求解本题时应注意 一是要能正确确定 x 的取值范围 二是在求得 x2 5 时 并不属于 7 x 10 应及时地舍去 三是处理第 3 个问题时的实质是利用一元二次方 程来探索问题的存在性 十五 利用图形探索规律十五 利用图形探索规律 例 15 在如图 8 中 每个正方形有边长为 1 的小正方形组成 1 观察图形 请填写下列表格 正方形边长1357 n 奇数 黑色小正方形个数 正方形边长2468 n 偶数 黑色小正方形个数 2 在边长为 n n 1 的正方形中 设黑色小正方形的个数为 P1 白色小正方形的 个数为 P2 问是否存在偶数 n 使 P2 5P1 若存在 请写出 n 的值 若不存在 请说明 图 8 理由 解 1 观察分析图案可知正方形的边长为 1 3 5 7 n 时 黑色正方形的个 数为 1 5 9 13 2n 1 奇数 正方形的边长为 2 4 6 8 n 时 黑色正方形 的个数为 4 8 12 16 2n 偶数 2 由 1 可知 n 为偶数时 P1 2n 所以 P2 n2 2n 根据题意 得 n2 2n 5 2n 即 n2 12n 0 解得 n1 12 n2 0 不合题意 舍去 所以存在偶数 n 12 使得 P2 5P1 说明 本题的第 2 小问是属于存在性问题 求解时 可以先假设结论存在 进而从 中找到数量关系 使问题获解 综上所言 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程 二元一次方程组解应用题的 延续和发展 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型 然后通过解方程获得对 实际问题的解决 列一元二次方程解应用题的关键是 找出未知量与已知量之间的联系 从 而将实际问题转化为方程模型 要善于将普通语言转化为代数式 在审题时 要特别注意 关键词语 如 多少 快 慢 和 差 倍 分 超过 剩余 增加 减少 等等 此外 还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系 如特殊图形的面积公式 行程问题 工程问 题 增长率问题中的一些特殊关系等等 列一元二次方程解应用题练习列一元二次方程解应用题练习 一 选择题 1 足球比赛的计分规则为 胜一场得 3 分 负一场得 0 分 平一场得 1 分 一 个队踢了 14 场比赛 负 5 场共得 19 分 那么这个队胜了 3 场 4 场 5 场 6 场 A B C D 2 原价元的某商品经过两次降价后 现售价元 如果每次降价的百分比都ab 为 那么下列各式中正确的是 x bxaA 21 bxaB 2 1 axbC 21 axbD 2 1 3 某厂去年 3 月份的产值为 50 万元 5 月份上升到 72 万元 这两个月平均每 月增长的百分率是多少 若设平均每月增长的百分率是 则列出的方程是 x A B 72150 x 72150150 2 xx C D 722150 x 72150 2 x 4 用一块长 80 宽 60 的矩形薄钢片 在四个角上截去四个相同的边长为 的小正方形 然后做成底面积为 1500 2的没有盖的长方体盒子 为求出 xx 根据题意列方程并整理后得 A B 082570 2 xx082570 2 xx C D 082570 2 xx082570 2 xx 二 填空题 1 两个连续自然数的积是 56 那么这两个自然数的和是 2 直角三角形两条直角边长分别为 斜边长为 那么1 x3 xx2 x 3 2003 年 10 月 15 日 上证指数为 1608 点 到 2003 年 10 月 17 日上升为 1622 点 若平均每日指数增长率为 则可列出方程为x 4 某厂计划在两年内把产量提高 44 如果每年与上一年的增长率相同 那么 这增长率是 5 梯形的下底比上底长 3 高比上底短 1 面积为 26 如果设上底为 那么x 可列出的方程 6 某小组每人给他人送一张照片 全组共送了 90 张 那么这小组共有 人 7 把棱长为 30mm 的正方体钢材锻压成半径为mm 高为 100mm 的圆柱形零件x 毛坯 那么可列出的方程是 8 一个两位数 它的数值等于它的个位上的数字的平方的 3 倍 它的十位上的 数字比个位上的数字大 2 若设个位数字为 列出求这个两位数的方程x 三 简答题 1 有一个两位数 它十位上的数字与个位上的数字的和是 8 如把十位上的数 字和个位上的数字调换后 所得的两位数乘以原来的两位数 就得到 1855 求 原来的两位数 2 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品 该商品可以自行定价 若每 件商品售价 a 元 则可卖出 350 10a 件 但物价局限定每件商品的利润不 得超过 20 商店计划要盈利 400 元 需要进货多少件 每件商品应定价多少 3 王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入 少儿银行 到期 后将本金和利息取出 并将其中的 500 元捐给 希望工程 剩余的又全部按一 年定期存入 这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90 这样到 期后 可得本金和利息共 530 元 求第一次存款时的年利率 假设不计利息税 4 某商厦九月份的销售额为 200 万元 十月份的销售额下降了 20 商厦从十 一月份起加强管理 改善经营 使销售额稳步上升 十二月份的销售额达到了 193 6 万元 求这两个月的平均增长率 5 将一块长 18 米 宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园 阴影部分 所占的面 积为原来荒地面积的三分之二 精确到 0 1m 1 设计方案 1 如图 1 花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路 2 设计方案 2 如图 2 花园中每个角的扇形都相同 以上两种方案是否都能符合条件 若能 请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径 若不能符合条件 请说明理由 能力提升 如图 3 所示 在 ABC 中 C 90 AC 6cm BC 8cm 点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点 C 以 1cm s 的速度移动 点 Q 从 C 点 出发沿 CB 边向点 B 以 2cm s 的速度移动 1 如果 P Q 同时出发 几秒钟后 可使 PCQ 的面积为 8 平方厘米 2 点 P Q 在移动过程中 是否存在某一时刻 使得 PCQ 图 1 图 2 的面积等于 ABC 的面积的一半 若存在 求出运动的时间 若不存 在 说明理由