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1 4最大公因式 一 定义 定义1设若满足 1 即是与 的一个公因式 2 若且 则 则称为的一个最大公因式 例1求与的最大公因式 是与的 一个最大公因式 2 与的最大公因式 任意非零常数d都是与的一个最大公因式 3 与0的最大公因式 是与的一个最大公因式 特别地 0是0与0的最大公因式 注 设是与的最大公因式 存在 使得 根据定义有且 因此 最大公因式在相伴意义下是唯一的 最大公因式不是唯一的 与的首项系数为1的最大公因式 是唯一确定的 记作 二 最大公因式的存在性及表示法 引理1若等式成立 则与有相同的公因式 与有相同最大公因式 因此 定理1对任意则在 中存在与的一个最大公因式 且可表成的一个组合 即 存在使得 若有一为0 如 则 考虑一般情形 用除得 其中或 若 用除 得 证 就是的一个最大公因式 且 其中或 若 用除 得 如此辗转下去 显然 所得余式的次数不断降低 因此 有限次后 必然有余式为0 设 即 于是我们有一串等式 从而有 再由上面倒数第二个式子开始往回迭代 逐个消去 再并项就得到 说明 定理1中用来求最大公因式的方法 通常称为 辗转相除法 辗转相除法 对作辗转相除时 最 后一个不等0的余式是的一个最大 公因式 定理1中最大公因式 中的不唯一 设若满足 则未必是的最大公因式 如 但0不是的最大公因式 命题1是的最大公因式 使得 例2 求 并求使 解 且由 得 最大公因式与数域扩大的关系 命题2最大公因式与数域扩大无关 即 设是数域且 则在中的首1最大公因式与 在中的首1最大公因式一致 原因 辗转相除法的本质是带余除法 而带余除法与数域扩大无关 三 互素 1 定义 定义2若则称是 互素的 互素 除去零次多项式外无 说明 由定义 其它公因式 2 互素的判定与性质 定理2设则互素 存在使得 定理3若且则 四 多个多项式的最大公因式 若满足 定义3设 i 则称为的一个 ii 若 则 最大公因式 注 表示首1最大公因式 使 的最大公因式一定存在 互素使 附 最小公倍式 设 若
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