高中数学抽象函数专题打印

1 抽象函数抽象函数 特殊模型抽象函数 正比例函数 f x kx k 0 f x y f x f y 幂函数 f x xn f xy f x f y 或 y f x f y x f 指数函数 f x ax a 0 且 a 1 f x y f x f y y f x f yx f 或 对数函数 f x logax a 0 且 a 1 f xy f x f y y f x f y x f 或 正 余弦函数 f x sinx f x cosx f x T f x 正切函数 f x tanx y f x f1 y f x f yx f 余切函数 f x cotx y f x f y f x f1 yx f 一一 定义域问题定义域问题 多为简单函数与复合函数的定义域互求 多为简单函数与复合函数的定义域互求 例例 1 1 若函数 y f x 的定义域是 2 2 则函数 y f x 1 f x 1 的定义域为 练习 练习 已知函数 f x 的定义域是 求函数 的定义域 2 1 xf3log 2 1 例例 2 2 已知函数的定义域为 3 11 求函数 f x 的定义域 xf 3 log 练习 练习 定义在上的函数 f x 的值域为 若它的反函数为 f 1 x 则 y f 1 2 3x 的 8 3 2 2 定义域为 值域为 二 求值问题二 求值问题 抽象函数的性质是用条件恒等式给出的 可通过赋特殊值法使问题得以解抽象函数的性质是用条件恒等式给出的 可通过赋特殊值法使问题得以解 决 决 例例 3 3 对任意实数 x y 均满足 f x y2 f x 2 f y 2且 f 1 0 则 f 2001 R 上的奇函数 y f x 有反函数 y f 1 x 由 y f x 1 与 y f 1 x 2 互为反函数 则 f 2009 例例 4 4 已知 f x 是定义在 R 上的函数 f 1 1 且对任意 x R 都有 f x 5 f x 5 f x 1 f x 1 若 g x f x 1 x 则 g 2002 练习 练习 1 f x 的定义域为 对任意正实数 x y 都有 f xy f x f y 且 f 4 2 则 0 2 2 f 的值是则且如果 2001 f 2000 f 5 f 6 f 3 f 4 f 1 f 2 f 2 1 f y f x f yx f 2 1 2 1 ff f 222 2 4 3 6 4 8 3 5 7 ffffff fff 2 3 对任意整数函数满足 若 则 yx xfy 1 xyyfxfyxf1 1 f 8 f A 1 B 1 C 19 D 43 4 函数 f x 为 R 上的偶函数 对都有成立 若 则 xR 6 3 f xf xf 1 2f 2005 f A 2005 B 2 C 1 D 0 5 定义在 R 上的函数 Y f x 有反函数 Y f 1 x 又 Y f x 过点 2 1 Y f 2x 的反函数为 Y f 1 2x 则 Y f 1 16 为 A B C 8 D 16 1 8 1 16 的值求的值求 均有 对所有上的函数 满足 是定义在为实数 且 已知 7 1 2 1 1 2 1 1 0 0 10 106 fa yafxfa yx f yxff xfaa 三 值域问题三 值域问题 例例 4 4 设函数 f x 定义于实数集上 对于任意实数 x y f x y f x f y 总成立 且存在 使得 求函数 f x 的值域 21 xx 21 xfxf 四 求解析式问题 四 求解析式问题 换元法 换元法 解方程组 解方程组 待定系数法 递推法 区间转移法 待定系数法 递推法 区间转移法 例例 5 5 已知 f 1 sinx 2 sinx cos2x 求 f x 3 例例 6 6 设对满足 x 0 x 1 的所有实数 x 函数 f x 满足 求 f x 的解析 x x x fxf 1 1 式 例例 7 7 已知 f x 是多项式函数 且 f x 1 f x 1 2x2 4x 求 f x 例例 8 8 是否存在这样的函数 f x 使下列三个条件 f n 0 n N f n1 n2 f n1 f n2 n1 n2 N f 2 4 同时成立 若存在 求出函数 f x 的解析式 若不存在 说明理由 例例9 9 已知是定义在R上的偶函数 且恒成立 当时 xf 2 1 2 3 xfxf 3 2 x 则时 函数的解析式为 xxf 0 2 x xf A B C D 2 x4 x12 x13 x 练习 练习 1 2 3 2 x f x x 1 f2 x f x f x x fy 求证且为实数即是实数函数设 2 重庆 已知定义域为 R 的函数 f x 满足f f x x2 x f x x2 x 若f 2 3 求f 1 又若f 0 a 求f a 设有且仅有一个实数x0 使得f x0 x0 求函数f x 的解析表达式 4 3 函数f x 对一切实数x y 均有f x y f y x 2y 1 x成立 且f 1 0 1 求 的值 0 f 2 对任意的 都有f x1 20 时 f x 0 时 f x 1 且对于任意实数 x y 有 f x y f x f y 求证 f x 在 R 上为增函数 例例 1111 已知偶函数f x 的定义域是x 0 的一切实数 对定义域内的任意x1 x2都有 且当时 1 f x 在 0 上是增函数 1212 f xxf xf x 1x 0 2 1f xf 2 解不等式 2 21 2fx 5 293 3 xxx f 练习 练习 已知函数f x 的定义域为 R 且对m n R 恒有f m n f m f n 1 且f 0 2 1 当x 时 f x 0 求证 f x 是单调递增函数 2 1 例例 1212 定义在 R 上的函数 f x 满足 对任意实数 m f xm mf x f 2 1 1 求证 f xy f x f y 对任意正数 x y 都成立 2 证明 f x 是 R 上的单调增函数 3 若 f x f x 3 2 求 x 的取值范围 223 3 2 1 2 2 1 1 2 2 0 0 0 1 bxfff ba fbfafbabamnfnfmf nmnmxf 求证 解不等式若求 满足 且 满足 任意的上的单调增函数 对于是定义在已知 练习 练习练习 2 2 定义在 R 上的函数y f x f 0 0 当x 0 时 f x 1 且对任意的 a b R 有f a b f a f b 1 求证 f 0 1 2 求证 对任意的x R 恒有f x 0 3 求证 f x 是 R 上的增函数 4 若f x f 2x x2 1 求x的取值范围 练习练习 3 3 设 f x 是定义在 R 上的奇函数 且对任意 a b 当 a b 0 都有 0 ba bfaf 1 若 a b 试比较 f a 与 f b 的大小 2 若 f k 0 对 x 1 1 恒成立 求实数 k 的取 值范围 练习练习 4 4 已知函数 f x 对任何正数 x y 都有 f xy f x f y 且 f x 0 当 x 1 时 f x un n N 2 2 定义域为R的函数f x 满足 对于任意的实数x y都有f x y f x f y 成立 且当x 0时 f x 0恒成立 1 判断函数f x 的奇偶性 并证明你的结论 2 证明f x 为减函数 若函数f x 在 3 3 上总有f x 6成立 试确定f 1 应满足的条件 0a n a f xa f n 1 x f ax f n 1 x 3 22 是一个给定的自然数的不等式解关于 3 3 已知f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且f 1 1 若a b 1 1 a b 0 时 有 0 ba bfaf 1 判断函数f x 在 1 1 上是增函数 还是减函数 并证明你的结论 2 解不等式 f x f 2 1 1 1 x 3 若f x m2 2pm 1 对所有x 1 1 p 1 1 p是常数 恒成立 求实数m 的取值范围 七 周期性与对称性问题 由恒等式简单判断 同号看周期 异号看对称 七 周期性与对称性问题 由恒等式简单判断 同号看周期 异号看对称 编 号周 期 性对 称 性 1 T 2 axfaxf a 对称轴 是偶函 axfaxf ax yf x a 数 对称中心 a 0 axfaxf 是奇函数 yf x a 2 T xbfxaf ab 对称轴 xbfxaf 2 ba x 对称中心 xbfxaf 0 2 ba 3 f x f x a T 2a f x f x a 对称中心 0 2 a 4 T 2 xbfxaf ab 对称中心 xbfxaf 0 2 ba 8 5 f x T 2 xf 1 af x b f x a 对称中心 2 2 ba 6 f x 1 T 3 0 1 xf axf a 结论 结论 1 1 函数图象关于两条直线函数图象关于两条直线 x ax a x bx b 对称 则函数对称 则函数 y f x y f x 是周期函数 且是周期函数 且 T 2 a T 2 a b b 2 2 函数图象关于点函数图象关于点 M a 0 M a 0 和点和点 N b 0 N b 0 对称 则函数对称 则函数 y f x y f x 是周期函数 且是周期函数 且 T 2 a T 2 a b b 3 3 函数图象关于直线函数图象关于直线 x ax a 及点 及点 M b 0 M b 0 对称 则函数对称 则函数 y f x y f x 是周期函数 且是周期函数 且 T 4 a b T 4 a b 4 4 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别 y f a x y f a x 与与 y f b x y f b x 关于关于对称 对称 y f a x y f a x 与与 y f b x y f b x 关于点关于点对称对称 2 ab x 0 2 ab 可以简单的认为 一个函数的恒等式 对应法则下的两式相加和的一半为对称轴 两个 同法则不同表达式的函数 对应法则下的两式相减等于 0 解得的 x 为对称轴 例例 1717 已知定义在 R 上的奇函数f x 满足f x 2 f x 则f 6 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 函数 f x 对于任意的实数 x 都有 f 1 2x f 1 2x 则 f 2x 的图像关于 对称 重庆 重庆 已知函数 f x满足 1 1 4 f 4 f x f yf xyf xyx yR 则 2010f 例例 18 18 已知函数 y f x 满足 求的值 2002 xfxf xfxf 2002 11 例例 19 19 奇函数f x 定义在 R 上 且对常数T 0 恒有f x T f x 则在区间 0 2T 上 方程f x 0 根的个数最小值为 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 例例 2020 f x 满足 f x f 6 x f x f 2 x 若 f a f 2000 a 5 9 且 f x 在 5 9 上单调 求 a 的值 设 y f x 是定义在 1 1 上的偶函数 函数 y f x 的图象与 y g x 的图象关于直线 x 1 对 称 且当 x 2 3 时 g x 2a x 2 4 x 2 3 a 为常数且 a R 1 求 f x 2 是 否存在 a 2 6 或 a 6 使函数 f x 的图象的最高点位于直线 y 12 上 若存在 求 出 a 的值 若不存在 说明理由 练习练习 1 1 函数是偶函数 则的图象关于 对称 1 xfy xfy 2 2 函数满足 且 则 xfy 1 3 xf xf 1 3 f 2010 f 3 3 函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 且 则 11 22 fxfx 1 2 3 4 5 fffff 4 4 已知函数是定义在 R 上的奇函数 函数是的反函数 若则 21 yfx yg x yf x 12 0 xx 9 12 g xg x A 2 B 0 C 1 D 2 5 5 设f x 是R的奇函数 f x 2 f x 当 0 x 1 时 f x x 则 f 7 5 6 6 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 3 则 f 1 x f 1 3 x 7 7 f x 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数 且f 2 0 则方程f x 0 在区间 0 6 内解的个数的最小值是 A 4 B 5 C 6 D 7 8 8 设函数 f x 的定义域为 1 3 且函数 f x 的图象关于点 2 0 成中心对称 已知当 x 2 3 时 f x 2x 求当 x 1 2 时 f x 的解析式 9 9 山东 已知定义在 R 上的奇函数 满足 且在区间 0 2 上是增函数 若 xf 4 f xf x 方程 f x m m 0 在区间上有四个不同的根 则 8 8 8 1234 x x x x 1234 xxxx 八 综合问题八 综合问题 例例 21 21 定义在 R 上的函数 f x 满足 对任意实数m n 总有 且 当 x 0 时 0 f x 0 时 f x 1 且对任意 x y R 有 f x y f x f y f 1 2 1 2 f 3x f 2 1 x f 2 4 xx3 f 1 22 解方程解不等式 例 23 xy1 yx f y f x f 1 1 y x 1 x f 1 1 都有对任意满足上的函数定义在 2 当 x 1 0 时 有 f x 0 求证 f x 是奇函数 3 1 f 5n5n 1 f 19 1 f 11 1 f 2 函数综合 1 1 奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致 在整个定义域内未必单调 奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致 在整个定义域内未必单调 推广 函数在其 推广 函数在其 对称中心两侧单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反 推广 函数在其对称对称中心两侧单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反 推广 函数在其对称 轴两侧的单调性相反 此时函数值的大小取决于离对称轴的远近 解轴两侧的单调性相反 此时函数值的大小取决于离对称轴的远近 解 抽象不等式 即函数不抽象不等式 即函数不 等式 等式 多用函数的单调性 但必须注意定义域 关注具体函数多用函数的单调性 但必须注意定义域 关注具体函数 抽象化抽象化 举例举例 1 1 设偶函数f x loga x b 在 0 上递增 则f a 1 与f b 2 的大小关系是 A f a 1 f b 2 B f a 1 f b 2 C f a 1 f b 2 D 不确定 解析 函数f x loga x b 为偶函数 则 b 0 f x loga x 令 g x x 函数 g x 图象为 V 字形 在 0 递减 而函数f x logag x 在 0 上递增 0 a 1 1 a 1f b 2 故选 B 举例举例 2 2 设函数xxxf 3 若0 2 时 sin 1 0f mfm 恒成立 则实数m的 取值范围是 解析 此题不宜将 msin 及 1 m 代入函数xxxf 3 的表达式 得到一个 庞大 的不等式 因为运算量过大 恐怕很难进行到底 注意到 函数 f x 为奇函数 原不等式等价于 10 1 sin mfmf 又函数 f x 递增 msin m 1 对0 2 恒成立 分离参变量 m 这是求参变量取值范围的通法 得 m sin1 1 0 1 sin 1 事实上当 sin 1 时不 等式恒成立 即对 m 没有限制 所以无需研究 记 g sin1 1 则 m g min 又 0 1 sin 1 g min 1 当且仅当 0 时等号成立 m0