高中数学选修1-1知识点总结

数学选修 1 1 知识点总结 导数及其应用 一 导数概念的引入 1 导数的物理意义 瞬时速率 一般的 函数在处的瞬时变化率是 yf x 0 xx 00 0 lim x f xxf x x 我们称它为函数在处的导数 记作或 即 yf x 0 xx 0 fx 0 x xy 0 fx 00 0 lim x f xxf x x 例 1 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度 h 单位 m 与起跳后的时间 t 单 位 s 存在函数关系 2 4 96 510h ttt 运动员在 t 2s 时的瞬时速度是多少 解 根据定义 0 2 2 2 lim13 1 x hxh vh x 即该运动员在 t 2s 是 13 1m s 符号说明方向向下 2 导数的几何意义 曲线的切线 通过图像 我们可以看出当点趋近于时 直线与 n PPPT 曲线相切 容易知道 割线的斜率是 当点趋近于时 n PP 0 0 n n n f xf x k xx n PP 函数在处的导数就是切线 PT 的斜率 k 即 yf x 0 xx 0 0 0 0 lim n x n f xf x kfx xx 3 导函数 当 x 变化时 便是 x 的一个函数 我们称它为的导函数 fx f x 的导函数有时也记作 即 yf x y 0 lim x f xxf x fx x 二 导数的计算 基本初等函数的导数公式 1 若 c 为常数 则 f xc 0fx 2 若 则 f xx 1 fxx 3 若 则 sinf xx cosfxx 4 若 则 cosf xx sinfxx 5 若 则 x f xa ln x fxaa 6 若 则 x f xe x fxe 7 若 则 logx a f x 1 ln fx xa 8 若 则 lnf xx 1 fx x 导数的运算法则 1 f xg xfxg x 2 f xg xfxg xf xg x 3 2 f xfxg xf xg x g xg x 考点 导数的求导及运算考点 导数的求导及运算 1 已知 则 2 2sinf xxx 0f 2 若 则 sin x f xex fx 3 ax3 3x2 2 则 a xf4 1 f 3 19 3 16 3 13 3 10 DCBA 4 过抛物线 y x2上的点 M的切线的倾斜角是 4 1 2 1 A 30 B 45 C 60 D 90 5 如果曲线与在处的切线互相垂直 则 2 9 3 2 yx 3 2yx 0 xx 0 x 三 导数在研究函数中的应用 1 函数单调性 函数单调性的判定方法 设函数 xfy 在某个区间内可导 如果 xf 0 则 xfy 为增函数 如果 xf 0 则 xfy 为减函数 求单调性的步骤 确定函数的定义域定义域 不可或缺 否则易致错 不可或缺 否则易致错 xfy 解不等式 0 0fxfx 或 确定并指出函数的单调区间 区间形式区间形式 不要写范围形式 区间之间用 隔开 不能用 连结 常数的判定方法 如果函数 xfy 在区间I内恒有 xf 0 则 xfy 为常数 2 极值的判别方法 极值是在 0 x附近所有的点 都有 xf 0 xf 则 0 xf是函数 xf的极大值 极小值同理 当函数 xf在点 0 x处连续时 如果在 0 x附近的左侧 xf 0 右侧 xf 0 那么 0 xf是极大值 如果在 0 x附近的左侧 xf 0 右侧 xf 0 那么 0 xf是极小值 注 若点 0 x是可导函数 xf的极值点 则 xf 0 但反过来不一定成立 对于可导函 数 其一点 0 x是极值点的必要条件是若函数在该点可导 则导数值为零 例如 函数 3 xxfy 0 x使 xf 0 但0 x不是极值点 例如 函数 xxfy 在点0 x处不可导 但点0 x是函数的极小值点 对于可导函数 在处取得极值 则 f xxa 0fa 若在开区间有唯一的极值点 则是最值点 f x a b 求极值步骤 确定函数的定义域定义域 不可或缺 否则易致错 不可或缺 否则易致错 xfy 解不等式 0fx 检验的根的两侧的符号 一般通过列表一般通过列表 判断极大值 极小值 0fx fx 还是非极值点 4 函数的最大 小 值与导数 函数极大值与最大值之间的关系 求函数在上的最大值与最小值的步骤 yf x a b 1 求函数在内的极值 yf x a b 2 将函数的各极值与端点处的函数值 比较 其中最大的是一 yf x f a f b 个最大值 最小的是最小值 恒成立问题 和 注意参数的取 max f xaf xa min f xaf xa 值中 能否取到 一 题型一 导数在切线方程中的运用 1 曲线在 P 点处的切线斜率为 k 若 k 3 则 P 点为 3 xy A 2 8 B 1 1 或 1 1 C 2 8 D 2 1 8 1 2 曲线 过其上横坐标为 1 的点作曲线的切线 则切线的倾斜角为 5 3 1 23 xxy A B C D 6 4 3 4 3 二 题型二 导数在单调性中的运用 1 05 广东卷 函数是减函数的区间为 32 31f xxx A B C D 2 2 0 0 2 2 关于函数 下列说法不正确的是 762 23 xxxf A 在区间 0 内 为增函数 B 在区间 0 2 内 为减函数 xf xf C 在区间 2 内 为增函数 D 在区间 0 内 xf 2 为增函数 xf 三 导数在最值 极值中的运用 1 05 全国卷 函数 已知在时取得极值 93 23 xaxxxf xf 3 x 则 a A 2B 3C 4D 5 2 函数在 0 3 上的最大值与最小值分别是 51232 23 xxx