高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

圆锥曲线圆锥曲线 1 1 圆锥曲线的两定义圆锥曲线的两定义 第一定义第一定义中要重视重视 括号括号 内的限制条件内的限制条件 椭圆中椭圆中 与两个定点 F F 的距离的和等于常数 且此常数常数 12 2a 一定要大于一定要大于 当常数等于时 轨迹是线段 F F 当常数小于时 无轨迹 双曲线中双曲线中 与两定2a 21F F 21F F 1221F F 点 F F 的距离的差的绝对值等于常数 且此常数一定要小于 F F 定义中的 绝对值绝对值 与与 F F F F 12 2a2a 12 2a 12 不可忽视不可忽视 若 F F 则轨迹是以 F F 为端点的两条射线 若 F F 则轨迹不存在 若去掉定义2a 1212 2a 12 中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支 如如方程表示的曲线是 答 双曲线的左支 2222 6 6 8xyxy 2 2 圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程 标准方程是指中心 顶点 在原点 坐标轴为对称轴时的标准位置的方程 1 椭圆椭圆 焦点在轴上时 焦点在轴上时 1 方程x1 2 2 2 2 b y a x 0ab y 2 2 2 2 b x a y 0ab 表示椭圆的充要条件是什么 ABC 0 且 A B C 同号 A B 22 AxByC 若 且 则的最大值是 的最小值是 答 Ryx 623 22 yxyx 22 yx 5 2 2 双曲线双曲线 焦点在轴上 1 焦点在轴上 1 方程x 2 2 2 2 b y a x y 2 2 2 2 b x a y 0 0ab 表示双曲线的充要条件是什么 ABC 0 且 A B 异号 22 AxByC 如如设中心在坐标原点 焦点 在坐标轴上 离心率的双曲线 C 过点 则 C 的方程为O 1 F 2 F2 e 10 4 P 答 22 6xy 3 抛物线抛物线 开口向右时 开口向左时 开口向上时 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 2 2 0 xpy p 开口向下时 2 2 0 xpy p 3 3 圆锥曲线焦点位置的判断圆锥曲线焦点位置的判断 首先化成标准方程 然后再判断 1 椭圆椭圆 由 分母的大小决定 焦点在分母大的坐标轴上 x 2 y 2 如如已知方程表示焦点在 y 轴上的椭圆 则 m 的取值范围是 答 1 21 22 m y m x 2 3 1 1 2 双曲线双曲线 由 项系数的正负决定 焦点在系数为正的坐标轴上 x 2 y 2 3 抛物线抛物线 焦点在一次项的坐标轴上 一次项的符号决定开口方向 提醒提醒 在椭圆中 最大 在双曲线中 最大 a 222 abc c 222 cab 4 4 圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质 1 椭圆椭圆 以 为例 范围范围 焦点焦点 两个焦点 1 2 2 2 2 b y a x 0ab axabyb 0 c 对称性对称性 两条对称轴 一个对称中心 0 0 四个顶点 其中长轴长为 2 短轴长为0 0 xy 0 0 ab a 2 准线准线 两条准线 离心率离心率 椭圆 越小 椭圆越圆 越大 椭圆越扁 b 2 a x c c e a 01e ee 如 如 1 1 若椭圆的离心率 则的值是 答 3 或 1 5 22 m yx 5 10 em 3 25 2 2 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时 则椭圆长轴的最小值为 答 22 2 2 双曲线双曲线 以 为例 范围范围 或 焦点焦点 两个焦点 22 22 1 xy ab 0 0ab xa xa yR 对称性对称性 两条对称轴 一个对称中心 0 0 两个顶点 其中实轴长为 2 虚轴长 0 c 0 0 xy 0 a a 为 2 特别地 当实轴和虚轴的长相等时 称为等轴双曲线 其方程可设为 准线准线 两条准线b 22 0 xyk k 离心率 双曲线 等轴双曲线 越小 开口越小 越大 开口越大 2 a x c c e a 1e 2e ee 两条渐近线两条渐近线 b yx a 3 抛物线抛物线 以为例 范围范围 焦点 一个焦点 其中的几何意义是 2 2 0 ypx p 0 xyR 0 2 p p 焦点到准线的距离 对称性对称性 一条对称轴 没有对称中心 只有一个顶点 0 0 准线准线 一条准线 0y 2 p x 离心率离心率 抛物线 c e a 1e 如如设 则抛物线的焦点坐标为 答 Raa 0 2 4axy 16 1 0 a 5 5 点 点和椭圆和椭圆 的关系 的关系 1 点在椭圆外 2 点 00 P xy1 2 2 2 2 b y a x 0ab 00 P xy 22 00 22 1 xy ab 在椭圆上 1 3 点在椭圆内 00 P xy 2 2 0 2 2 0 b y a x 00 P xy 22 00 22 1 xy ab 6 6 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 1 相交 相交 直线与椭圆相交 直线与双曲线相交 但直线与双曲线相交不一定有 当0 0 0 直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有一个交点 故是直线与双曲线相交的充分条件 但不0 是必要条件 直线与抛物线相交 但直线与抛物线相交不一定有 当直线与抛物线的对称轴平行时 0 0 直线与抛物线相交且只有一个交点 故也仅是直线与抛物线相交的充分条件 但不是必要条件 0 2 相切 相切 直线与椭圆相切 直线与双曲线相切 直线与抛物线相切 0 0 0 3 相离相离 直线与椭圆相离 直线与双曲线相离 直线与抛物线相离 0 0 0 提醒提醒 1 1 直线与双曲线 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形直线与双曲线 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形 相切和相交 如果直线与双曲线 的渐近线平行时 直线与双曲线相交 但只有一个交点 如果直线与抛物线的轴平行时 直线与抛物线相交 也只有一个交 点 2 2 过双曲线 1 外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下 P 点在两条渐近线 2 2 2 2 b y a x 00 P xy 之间且不含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线 共四条 P 点在 两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线 共四条 P 在两条渐近线上但非原点 只有两条 一条是与另一渐近线平行的直线 一条是切线 P 为原点时不存在这样 的直线 3 3 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条平行于对称轴的直线 7 7 焦点三角形 焦点三角形 椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形 问题问题 当即 2 0 tan 2 Sbc y 0 yb 为短轴端点时 的最大值为 bc 对于双曲线 如如 1 1 短轴长为 P max S 2 tan 2 b S 5 8 8 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 1 1 以过焦点的弦为直径的圆和准线相切 2 2 设 AB 为焦点弦 M 为准线与 x 轴的交点 则 AMF BMF 3 3 设 AB 为焦点弦 A B 在准线上的射影分别为 A B 若 P 为 A B 111 的中点 则 PA PB 4 4 若 AO 的延长线交准线于 C 则 BC 平行于 x 轴 反之 若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线 1 于 C 点 则 A O C 三点共线 9 弦长公式弦长公式 若直线与圆锥曲线相交于两点 A B 且分别为 A B 的横坐标 则 ykxb 12 x xAB 若分别为 A B 的纵坐标 则 若弦 AB 所在直线方程设为 2 12 1kxx 12 y yAB 21 2 1 1yy k 则 特别地 焦点弦 过焦点的弦 焦点弦的弦长的计算 一般不用弦长公式xkyb AB 2 12 1kyy 计算 而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后 利用第二定义求解 抛物线 抛物线 1010 圆锥曲线的中点弦问题 圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用 韦达定理韦达定理 或或 点差法点差法 求解 在椭圆中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 1 2 2 2 2 b y a x 00 P xy 0 2 0 2 ya xb 弦所在直线的方程 垂直平分线的方程 在双曲线中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 在抛物线中 以 22 22 1 xy ab 00 P xy 0 2 0 2 ya xb 2 2 0 ypx p 为中点的弦所在直线的斜率 k 00 P xy 0 p y 提醒提醒 因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件 故在求解有关弦长 对称问题时 务必别忘了检验0 0 1111 了解下列结论 了解下列结论 1 双曲线的渐近线方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 2 以为渐近线 即与双曲线共渐近线 的双曲线方程为为参数 0 x a b y 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双曲线方程可设为 22 1mxny 4 椭圆 双曲线的通径 过焦点且垂直于对称轴的弦 为 焦准距 焦点到相应准线的距离 为 2 2b a 2 b c 抛物线的通径为 焦准距为 2pp 5 通径是所有焦点弦 过焦点的弦 中最短的弦 6 若抛物线的焦点弦为 AB 则 2 2 0 ypx p 1122 A x yB xy 12 ABxxp 2 2 1212 4 p x xy yp 7 若 OA OB 是过抛物线顶点 O 的两条互相垂直的弦 则直线 AB 恒经过定点 2 2 0 ypx p 2 0 p 1212 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 1 给出直线的方向向量或 ku 1 nmu 2 给出与相交 等于已知过的中点 OBOA ABOBOA AB 3 给出 等于已知是的中点 0 PNPMPMN 4 给出 等于已知与的中点三点共线 BQBPAQAP QP AB 5 5 给出以下情形之一 存在实数 若存在实数ACAB ABAC 且 等于已知三点共线 1 OCOAOB 且且CBA F A P H B Q 6 给出 等于已知 即是直角 给出 等于已知是钝0 MBMAMBMA AMB 0 mMBMAAMB 角 给出 等于已知是锐角 0 mMBMAAMB 8 给出 等于已知是的平分线 MP MB MB MA MA MPAMB 9 在平行四边形中 给出 等于已知是菱形 ABCD0 ADABADABABCD 10 在平行四边形中 给出 等于已知是矩形 ABCD ABADABAD ABCD 1111 在中 给出 等于已知是的外心 三角形外接圆的圆心 三角形的ABC 222 OCOBOA OABC 外心是三角形三边垂直平分线的交点 1212 在中 给出 等于已知是的重心 三角形的重心是三角形三条中线ABC 0 OCOBOAOABC 的交点 13 在中 给出 等于已知是的垂心 三角形的垂心是三角ABC OAOCOCOBOBOA OABC 形三条高的交点 14 在中 给出等于已知通过的内心 ABC OAOP ABAC ABAC R APABC 15 在中 给出等于已知是的内心 三角形内切圆的圆心 三ABC 0 OCcOBbOAaOABC 角形的内心是三角形三条角平分线的交点 16 在中 给出 等于已知是中边的中线 ABC 1 2 ADABAC ADABC BC 3 已知 A B 为抛物线 x2 2py p 0 上异于原点的两点 点 C 坐标为 0 2p 0OA OB 1 求证 A B C 三点共线 2 若 且试求点 M 的轨迹方程 AMBM R 0OM AB 1 证明 设 由得 22 12 12 22 xx A xB x pp 0OA OB 又 22 2 12 1212 0 4 22 xx x xx xp pp 222 121 121 2 22 xxx ACxpABxx pp 即 A B C 三点共线 222 211 121 2 0 22 xxx xpxx pp ACAB 2 由 1 知直线 AB 过定点 C 又由及 知 OM AB 垂足为 M 所以0OM AB AMBM R 点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆 除去坐标原点 即点 M 的轨迹方程为 x2 y p 2 p2 x 0 y 0 13 圆锥曲线中线段的最值问题 圆锥曲线中线段的最值问题 例例 1 1 抛物线 C y2 4x 上一点 P 到点 A 3 4 与到准线的距离和最小 则点 P 的坐标为 2 2 抛物线 C y2 4x 上一点 Q 到点 B 4 1 与到焦点 F 的距离和最小 则点 Q 的坐标为 分析 分析 1 A 在抛物线外 如图 连 PF 则 因而易发PFPH 现 当 A P F 三点共线时 距离和最小 2 B 在抛物线内 如图 作 QR l 交于 R 则当 B Q R 三点共线时 距离和最 小 解 1 2 2 21 4 1 1 已知椭圆C1的方程为 双曲线C2的左 右焦点分别为C1的左 右顶点 而C2的左 右顶点分别是1 4 2 2 y x C1的左 右焦点 1 求双曲线C2的方程 2 若直线l 与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点 且l与C2的两个交点A和B满足2 kxy 其中O为原点 求k的取值范围 6 OBOA 解 设双曲线 C2的方程为 则 1 2 2 2 2 b y a x 1 314 22222 bcbaa得再由 故 C2的方程为 II 将 2 2 1 3 x y 0 428 41 1 4 2 222 2 kxxky x kxy得代入 由直线l与椭圆 C1恒有两个不同的交点得 即 0 14 16 41 16 28 2222 1 kkk 2 1 4 k 由直线l与双曲线 C2恒有两个不同的交点0926 31 1 3 2 222 2 kxxky x kxy得代入将 A B 得 2 22 222 2 1 30 1 1 3 6 2 36 1 3 36 1 0 k kk kkk 即且 22 6 29 1 31 3 66 2 2 AABBABAB ABAB ABABABAB k A xyB xyxxxx kk OA OBx xy y x xy yx xkxkx 设则 由得而 2 2 22 2 2 1 2 2 96 2 1 22 1 31 3 37 31 ABAB kx xk xx k kk kk k k 解此不等式得 22 22 371513 6 0 3131 kk kk 于是即 22 131 153 kk 或 由 得 1 15 13 3 1 4 1 22 kk或 故 k 的取值范围为 13311313 1 1 15322315 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 0 1 B 点在直线 y 3 上 M 点满足 MB OA MA AB MB BA M 点的轨迹 为曲线 C 求 C 的方程 P 为 C 上的动点 l 为 C 在 P 点处得切线 求 O 点到 l 距离的最小值 设 M x y 由已知得 B x 3 A 0 1 所以 x 1 y 0 3 y x 2 再由愿意得知 MA MB AB 0 即 x 4 2y x 2 0 MA MB AB 所以曲线 C 的方程式为 y x 2 设 P x y 为曲线 C y x 2 上一点 因为 y x 所以 的斜率为 1 4 2 00 1 4 2 1 2 l x 因此直线 的方程为 即 1 2 0 l 000 1 2 yyx xx 2 00 220 x xyyx 则 O 点到 的距离 又 所以l 2 00 2 0 2 4 yx d x 2 00 1 2 4 yx 2 0 2 0 22 00 1 4 14 2 4 2 2 44 x dx xx 当 0 时取等号 所以 O 点到 距离的最小值为 2 2 0 xl 设双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该双曲线的离心率等于 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线 则双曲线的离心率为 过椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P 2 F为右焦点 若 12 60FPF 则椭圆的 离心率为 已知双曲线 0 1 2 2 22 b b yx 的左 右焦点分别是 1 F 2 F 其一条渐近线方程为xy 点 3 0 yP在双曲线 上 则 1 PF 2 PF 0 已知直线 20yk xk 与抛物线 2 8C yx 相交于AB 两点 F为C的焦点 若 2 FAFB 则k 已知直线 1 4 360lxy 和直线 2 1lx 抛物线 2 4yx 上一动点P到直线 1 l和直线 2 l的距离之和的最小值是 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 焦点为 F 1 0 直线 l 与抛物线 C 相交