高一数学竞赛试题

一 选择题 本大题共8小题 每小题5分 满分40分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知集合 M 则集合中元素的 个数是 A A 0 B 1 C 2 D 无穷多 2 已知函数 若直线是函数图像的对称轴 则 A a 是整数 B a 是无理数 C a 是有理数 D a 不存在 3 设则 x 的取值范围为 B A 4 设 O 是正三棱锥 P ABC 的中心 过 O 的动平面与 P ABC 的三条侧棱或其延长线的交点分 别记为 Q R S 则和式 D A 有最大值 而无最小值 B 有最小值 而无最大值 C 既有最大值 又有最小值 D 是一个与平面 QRS 位置无关的常量 5 设函数 若 f 则 的取值范围是 D A B C D 6 已知函数 f x 且 则的值 B A 一定大于零 B 一定小于零 C 等于零 D 正负都有可能 7 已知集合 M 则集合中元素的 个数是 A B 0 B 1 C 2 D 无穷多 8 已知函数 若直线是函数图像的对称轴 则 B a 是整数 B a 是无理数 C a 是有理数 D a 不存在 2 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 9 是定义在 R 上的奇函数 且 f x f 1 x 则 f 2010 0 已知二次函数 10 已知正四面体 S ABC 的棱长为 a 其内部有四个半径相同两两相切的小球 且每个小球 都与相邻的三个面相切 则小球的半径 10 16 11 已知直线 ax by c 0 中的 a b c 是取自集合 中的 3 个不同的元素 并且该直线的倾斜角为锐角 那么 这样的直线的条数是 43 12 已知 P 是直线的动点 PA PB 是圆的两条切 线 A B 是切点 C 是圆心 那么四边形 PACB 面积的最小值为 22 3 解答题 本大题共 3 小题 共 60 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 13 在平面直角坐标系 Oxy 中 设二次函数 的图像与两个坐标轴 有三个交点 经过这三个交点的圆记为 C 1 求实数 b 的取值范围 2 求圆 C 的方程 3 求圆 C 是否经过某定点 其坐标与 b 无关 请证明你的结论 14 已知二次函数 求 f x 的解析式 2 是否存在实数 m n m n 使 f x 的定义域和值域分别是 如果存在 求出 m n 的值 若不存在 说明理由 15 如图 ABEDFC 为多面体 平面 ABED 与平面 ACFD 垂直 点 O 在线段 AD 上 OA 1 OD 2 OAB OAC ODE ODF 都是正三角形 1 证明直线 BC EF 2 求棱锥 F OBED 的体积 解答 1 证明 设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点 由于 OAB 与 ODE 都是 正三角形 OA 1 OD 2 所以 OB 綊 DE OG OD 2 1 2 同理 设 G 是线段 DA 与 FC 延长线的交点 有 OC 綊 DF OG OD 2 又由 1 2 于 G 和 G 都在线段 DA 的延长线上 所以 G 与 G 重合 在 GED 和 GFD 中 由 OB 綊 DE 和 OC 綊 DF 可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 1 2 1 2 的中点 所以 BC 是 GEF 的中位线 故 BC EF 2 由 OB 1 OE 2 EOB 60 知 S EOB 3 2 而 OED 是边长为 2 的正三角形 故 S OED 3 所以 SOBED S EOB S OED 3 3 2 过点 F 作 FQ DG 交 DG 于点