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18.2.2菱形的判定教学目的:1理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算;2在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力重点、难点1教学重点:菱形的两个判定方法2教学难点:判定方法的证明方法及运用 教学过程:引入新课,激发兴趣1、复习(1)菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形。(2)菱形的性质1 菱形的两组对边分别平行,四条边都相等; 性质2 菱形的两组对角分别相等,邻角互补;性质3 菱形的两条对角线互相平分,菱形的两条对角线互相垂直,且每一条对角线平分一组对角。2、导入(1)如果一个四边形是一个平行四边形,则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形?依据是什么?根据菱形的定义可知:一组邻边相等的平行四边形是菱形.所以只要再有一组邻边相等的条件即可. (2)要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其它的判定方法吗?探究新知1.【问题牵引】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子,做成一个可转动的十字架,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形。问: 任意转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?继续转动木条,观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形?你能证明你的猜想吗?学生猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。教师提问:这个命题的前提是什么?结论是什么?学生用几何语言表示命题如下:已知:在ABCD中,对角线ACBD,求证:ABCD是菱形。分析:我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形,由平行四边形的性质得到BO=DO,由AOB=AOD=90及AO=AO,得AOBAOD,可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=AD) ,最后证得ABCD是菱形。【归纳定理】通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的第二个判定方法(判定定理1):对角线互相垂直的平行四边形是菱形。提示:此方法包括两个条件(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。判定方法的应用例3 如图,如图,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AB=5,AO=4,BO=3,求证:ABCD是菱形。 思路点拨:由于平行四边形对角线互相平分,构成了ABO是一个三角形,而AB=5,AO=4,BO=3,由勾股定理的逆定理可知AOB=90,证出对角线互相垂直,这样可利用菱形第二个判定方法证得。 2、判定方法【操作探究】过程: 先画两条等长的线段AB、AD,然后分别以B、D为圆心,AB为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC、CD,就得到了一个四边形,提问:观察画图的过程,你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?你能得到什么结论?学生观察思考后,展开讨论,指出该四边形四条边相等,即有两组对边相等,它首先是一个平行四边形,又有一组邻边相等,根据菱形定义即可判定该四边形是菱形。得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四边相等的四边形是菱形。学生进行几何论证,教师规范学生的证明过程。【归纳定理】从一般的四边形直接判定菱形的方法(判定定理2):四边相等的四边形是菱形。3、菱形第三个判定方法的应用如图,顺次连接矩形ABCD各边的中点,得到四边形EFGH,求证:四边形EFGH是菱形。思路点拨:方法一,由中点联想到连接矩形对角线BD、AC,可得AC=BD。利用三角形中位线等于底边的一半,证明EF=FG=GH=EH。根据判定定理,所以四边形EFGH是菱形。方法二:通过证明图中四个Rt全等,得到EF=FG=GH=EH。三、随堂练习练习1: 判断下列说法是否正确?为什么?(1)对角线互相垂直的四边形是菱形;(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形;(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形;(4)两条邻边相等,且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形练习2:填空。如图:ABCD的对角线AC与BD相交于点O,(1)若AB=AD,则ABCD是 形;(2)若AC=BD,则ABCD是 形;BCD(3)若ABC是直角,则ABCD是 形;(4)若BAO=DA
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