第六章 抽样分布xppt课件.ppt

第六章抽样分布 第6 1节总体和样本 第6 2节统计量 返回 第6 3节抽样分布 数理统计学中的基本概念 数理统计是具有广泛应用的一个数学分支 它以概率论为理论基础 根据试验或观察得到的数据 对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断 后几章将主要讲述统计估计与统计检验及回归分析 我们知道 在实际应用中 许多随机现象都可以用随机变量来描述 随机变量的分布和数字特征往往是未知的 因此 在这些问题中 如何根据统计数据来确定一个随机变量的分布 或者确定它的期望 方差的数字特征或有关参数 就成为人们关心的重要问题 研究这个问题的基本方法是 对所研究的随机现象进行某些观察或实验 合理采集必要的数据或资料 并以概率论为基础 建立有效的数学方法 根据获得的数据对所关心的问题进行分析 从而对整体情况给出科学的推断 由于观察数据是在随机性情况下取得的 故由一部分数据对整体情况作出推断 必然会有某种程度的不确定性 我们用概率的大小来描述这种不确定性 因此 数理统计中的推断 往往是在一定概率意义下作出的 故称为统计推断 第一节总体和样本 研究对象的全体称做总体 组成总体的每一个单元 或元素 称为个体 即构成总体的每一个对象称为个体 由总体的部分个体构成的集合称为来自总体的样本 总体所含个体的数量 称做总体容量 容量为有限的总体 称做有限总体 容量为无限的总体 称做无限总体 在一个有限总体所包含的个体相当多的情况下 可以把它作为无限总体来处理 例如 全国工业企业构成一个总体 全国或一个地区的人口构成一个总体 这些都是有限总体 又如观察并记录某一地点每天 包括以往 现在和将来的最高气温 或者测量一湖泊任一地点的深度 所得总体是无限总体 在对某个总体进行统计研究时 我们所关心不是每个个体本身的特殊的具体属性 如具体企业或某件产品 而是表征总体状况的每个个体的数量指标 企业的产值 产品的质量 我们研究的主要是这个标志在总体中的分布情况 如在分析一批灯泡的质量时 最关心的是灯泡的寿命 若把一个灯泡的寿命记为X 则X是一个随机变量 我们感兴趣的问题是该随机变量的分布 若规定寿命低于1000小时为次品 要研究次品率的问题 就归结为求X的分布 对于每个总体 我们所要研究的标志 作为随机抽样的结果 是一个随机变量X 总体中的每一个个体是随机变量X的值 我们对总体的研究就是对随机变量X的研究 X的分布函数和数字特征就称为总体分布函数和数字特征 今后将不区分总体与相应的随机变量 笼统称为总体X 由总体的部分个体构成的集合称为来自总体的样本 样本中所含个体的数量称做样本容量 样本用表示 可以看作n个随机变量 当试验结束后 可以得到n个观测值 用表示 称作一组样本值 而对总体的一系列估计 检验等 实际上是对总体X分布情况的推断 从总体中随机抽取样本的过程称为抽样 抽样的目的是为了研究总体的性质 为了使样本能够较好地反映总体的特征 抽样方法必须满足以下基本要求 随机性 即对于每一次抽样 总体中每个个体都有同等的机会抽取 独立性 即每次抽取的结果既不影响其它各次抽取的结果 也不受其它各次抽取结果的影响 满足以上两个条件的抽样称为简单随机抽样 简称为随机抽样或抽样 样本选择方式 1 对有限总体做有放回抽样 2 对无限总体作不放回抽样 特别 样本容量 总体数量时 无放回抽样可近似看作有放回抽样 如 检验一批灯泡的质量 从中选择100只 则 总体 这批灯泡 有限总体 个体 这批灯泡中的每一只样本 抽取的100只灯泡 简单随机样本 样本容量 100样本检验值 x1 x2 x100 XX1 X2 X100100样本值 定义 设X为一随机变量 X1 X2 Xn是一组独立且与X同分布的随机变量 称X为总体 X1 X2 Xn 为来自总体X的简单随机样本 n为样本容量 每一个Xi i 1 2 n 称为样本的一个观测值 在依次观测中 样本的具体观测值x1 x2 xn称为样本值 注意 样本是一组独立且和总体同分布的随机变量 故 总体 选择个体 样本 观测样本 样本观察值 数据 数据处理 样本有关结论 统计的一般步骤 推断总体性质 统计量 为了集中简单随机样本所带来的总体信息 考虑样本的函数 且不含任何未知参数 这样的 不含未知参数的样本的函数 称为统计量 第二节 统计量 定义 设X1 X2 Xn是来自总体X的一个样本 g X1 X2 Xn 是n维随机变量的连续函数 若g中不含任何未知参数 则称g X1 X2 Xn 为统计量 统计量的分布称为抽样分布 常用统计量 样本均值 样本方差 修正 样本方差有下面的简算公式 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 样本标准差 为经验分布函数的观察值 6 3抽样分布 统计量是随机变量 统计量的分布称为抽样分布 有些含未知参数的随机样本的函数的分布 也称为抽样分布 u 例6 3设X N 0 1 分别为0 05 0 025 0 25 求X关于 的上侧分位数 标准正态分布及其上侧分位数 定义 设X N 0 1 对任意0 则称 为标准正态分布的 水平上侧分位数 记为 解 0 05时 反查表得 u0 05 1 64 类似可得 u0 025 1 96 u0 25 0 69 u 分布及其性质 1 定义 称n个相互独立同服从标准正态分布的随机变量的平方和X的分布为自由度为n的分布 记作 2 X1 X2 Xk独立 Xi ni i 1 2 k 则 2 性质 1 X1 X2 Xn独立 Xi N 0 1 i 1 2 n 则 一 数理统计学中的三大重要分布 例6 4设是取自总体N 0 4 的s r s 当a b 时 解由于X服从 由题意得 a 1 20b 1 100 3 的密度曲线 n 1 n 4 n 10 随着n的增大 密度曲线逐渐趋于平缓 对称 定义 设 对于给定的 0 则称 为自由度为n的分布的 水平上侧分位数 记为 查表求上侧分位数 1 若P X 则 1 若P X 则 解 查表得 查表得 4 分布的右侧 上侧 分位数 例 设X 10 P X 1 0 025 P X 2 0 05 求 1 2 t分布及其性质 1 定义 设随机变量 随机变量 Y且它们互相独立 则称随机变量的分布为自由度是n的t分布 记作 特点 关于y轴对称 随着自由度的逐渐增大 密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线 3 t分布的密度曲线 4 t分布的双侧分位数 见下图 t 9 解 故 与独立 所以 F分布及其性质 1 定义 设随机变量随机变量且它们相互独立 则称随机变量的分布为自由度是的F分布 记作 2 性质 3 F分布的密度曲线 4 F分布的上侧 右侧 分位数 设X 对于给定 0 则称 为F分布的 水平上侧分位数 记为 5 上侧分位数的计算 1 若P F 则 2 若P F 比较大 则 P 1 F 1 1 故 例6 6设 F 24 15 分别求满足 解 1 F0 025 24 15 2 29 2 P X 0 05 所以 F0 05