高考立体几何命题分析和复习建议

高考高考 天津卷天津卷 立体几何命题分析和复习建议立体几何命题分析和复习建议 王强王强 一 考纲中对立体几何与空间向量的要求 1 1 空间几何体空间几何体 认识柱 锥 台 球及其简单组合体的结构特征 并能运用这些特征描述现实 生活中简单物体的结构 知道平行投影与中心投影的概念 了解空间图形的不同表示形式 能画出简单空间图形 长方体 棱柱 圆柱 圆锥 球等及其简易组合 的三视 图 能识别上述三视图所表示的立体模型 会用斜二侧法画出它们的直观图 了解球 棱柱 棱锥 台的表面积和体积的计算公式 不要求记忆公式 2 2 点 直线 平面之间的位置关系点 直线 平面之间的位置关系 理解空间直线 平面的位置关系的定义 并了解如下的公理和定理 定理 1 2 3 4 及定理 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行 那么这两 个角相等或互补 理解空间中线面平行 垂直的有关性质与判定定理 理解以下判定定理和性质 定理 判定定理和性质定理各 4 个 略 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 能根据定义解决两条异面直线所成的角 直线和平面所成的角 二面角的简单 计算问题 3 3 空间向量及其运算空间向量及其运算 了解空间向量的概念 了解空间向量的基本定理及其意义 掌握空间向量的正 交分解及其坐标表示 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 能运用数量积判断向量的共线与垂直 4 4 空间向量的应用空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量的概念 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 能用向量方法解决两条异面直线所成的角 直线和平面所成的角 二面角的计 算问题 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 二 近四年高考立体几何试题 天津卷 特点 时间时间 分值分值选择题选择题填空题填空题解答题解答题知识点知识点 2010 年 16 分 第 12 题 第 19 题 12 几何体三视图 体积计算公式 19 异面 直线成角 线面垂直 二面角 2009 年 16 分 第 12 题 第 19 题 12 几何体三视图 体积计算公式 19 异面 直线成角 面面垂直 二面角 2008 年 21 分 第 4 题 第 12 题 第 19 题 4 空间线面关系 12 球与正方体 19 线 面垂直 异面直线成角 二面角 2007 年 21 分 第 6 题 第 12 题 第 19 题 6 直线 平面平行与垂直 12 长方体 球 的表面积 19 线线垂直 线面垂直 二面角 2 特点特点 1 1 题量 题号 分值相对稳定 题量 题号 分值相对稳定 近年来高考试题中立体几何部分在题型 题量 分值 难度等方面 均保持相对 稳定 自 2009 年新课改高考由原来的两道小题一道大题改成的一道小题一道大题 分 值为 16 分 约占总分值 150 分 的 10 特点特点 2 2 考小题 推陈出新 考小题 推陈出新 有关立体几何的小题 其考查的重点在于基础知识 其中 三视图 点直线平面 之间的位置关系等知识的试题是重点考查内容 特别是三视图 是新课改增加的内容 突出了对立体图形的认识 空间想象能力的要求 09 年及 10 年均是以三视图为背景考 查规则或不规则几何体体积的填空题 特点特点 3 3 考大题 全面考查 考大题 全面考查 考查立体几何的解答题中 一般是考查线 面之间的平行 垂直关系 线面角 二面角 面积 体积等问题 难度属中等 主要考查学生对基本知识 基本方法 基 本技能的理解 掌握和应用情况 其载体多为棱柱 棱锥等组合而成的多面体 解题 方法趋于多样化 重视了传统方法和向量方法的有机结合 三 各地高考立体几何中热点问题 纵观 2010 年全国各地的高考试题 对立体几何部分的考查基本上集中在以下几个 热点问题上 热点一 空间几何体的结构及其三视图 直观图热点一 空间几何体的结构及其三视图 直观图 从形式上看 以选择 填空为主 从内容上看 柱 锥 台 球的定义和相关性 质是基础 以它们为载体考查线线 线面 面面的关系是重点 三视图的还原在各地 高考试题中频繁出现 例如 2010 年陕西 7 2010 年课标全国 14 2010 年浙江 12 等等 热点二 直线 平面的位置关系热点二 直线 平面的位置关系 考查线线 线面 面面平行的判定和性质多以选择题形式出现 属容易题 例如 2010 年福建 6 考查线线 线面 面面垂直的判定和性质主要以证明题的形式出现 例如 2010 年北京 16 2010 年辽宁 19 等等 热点三 空间向量在立体几何中的应用热点三 空间向量在立体几何中的应用 通常各地高考试题中都有一道立体几何的综合题 处于解答题的中间位置 难度 不大 用向量法来解可以降低难度 并且多数情况下传统法 向量法都可以解题 例 如 2010 年山东 19 2010 年全国 19 等等 四 立体几何复习的几点建议 虽然近年来立体几何试题在命题思路和方法上有些变化 但总体上还是保持了稳 定 特别是解答题均是三问 一问是证线面垂直的 二问是异面直线成角 三问是求 二面角 所以复习备考工作有章可循 有法可依 具体方法 1 依纲靠本 控制难度 强化通性通法 提高解题能力 从近年高考立体几何试题的命题来源来看 很多题目是出自于课本 或略高于课 本 所以 我们在复习备考中 一定要依据考纲依靠课本 进行一题多解和多题一解 的教学 吃透教材的实质 同时还要控制好题目的难度 不出偏题 怪题 应注重加 强对典型例题 可以考虑选用天津 08 09 10 的考题作为典型例题 的研究 挖掘题目 中的隐含条件 弄清问题所表述的含义 做到对问题的真正理解 并可尝试改变题目 3 中某些条件 认真比较它们之间的联系与区别 真正做到举一反三 例 2010 天津卷理数 19 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别是棱BC 1 CC上 的点 2CFABCE 1 1 2 4AB AD AA 求异面直线EF与 1 AD所成角的余弦值 证明AF 平面 1 AED 求二面角 1 AEDF 的正弦值 本小题主要考查异面直线所成的角 直线与平面垂直 二面角等基础知识 考查用空间向量解决 立体几何问题的方法 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 满分 12 分 方法一 如图所示 建立空间直角坐标系 点 A 为坐标原点 设 依题意得 1AB 0 2 0 D 1 2 1 F 1 0 0 4 A 3 1 0 2 E 1 解 易得 1 0 1 2 EF 1 0 2 4 AD 于是 1 1 1 3 cos 5 EF AD EF AD EF AD 所以异面直线与所成角的余弦值为 EF 1 AD 3 5 2 证明 已知 1 2 1 AF 1 3 1 4 2 EA 1 1 0 2 ED 于是 0 0 AF 1 EA AF ED 因此 又 所以平面 1 AFEA AFED 1 EAEDE AF 1 AED 3 解 设平面的法向量 则 即 EFD ux y z 0 0 EDu EFu 1 0 2 1 0 2 yz xy 不妨令 x 1 可得 由 2 可知 为平面的一个法向量 1 2 1 uAF 1 A ED 4 于是 从而 3 2 cos AFu AFu AFu AFu sin 3 5 所以二面角的正弦值为 1 A ED F 5 3 方法二 1 解 设 AB 1 可得 AD 2 AA1 4 CF 1 CE 连接 B1C BC1 设 B1C 与 BC1交于点 1 2 M 易知 A1D B1C 由 可知 EF BC1 故是异面直线 EF 与 A1D 所成的角 易知 1 CECF1 CBCC4 BMC BM CM 所以 所以异面直线 FE 与 A1D 所成角 1 1 B C 5 2 222 3 cos 25 BMCMBC BMC BM CM 的余弦值为 3 5 2 证明 连接 AC 设 AC 与 DE 交点 N 因为 1 2 CDEC BCAB 所以 DCERt RtCBA 从而 CDEBCA 又由于 90CDECED 所以 90BCACED 故 AC DE 又因为 CC1 DE 且 所以 DE 平面 ACF 从而 AF DE 1 CCACC 连接 BF 同理可证 B1C 平面 ABF 从而 AF B1C 所以 AF A1D 因为 所以 1 DEADD AF 平面 A1ED 3 解 连接 A1N FN 由 2 可知 DE 平面 ACF 又 NF平面 ACF A1N平面 ACF 所以 DE NF DE A1N 故为二面角 A1 ED F 的平面角 1 ANF 易知 所以 又所以 在Rt CNERt CBA CNEC BCAC 5AC 5 5 CN 在 Rt A1AN 中 22 1 30 5 Rt NCFNFCFCNRt A AN 中 在中 22 11 4 30 5 NAA AAN 连接 A1C1 A1F 在 22 111111 14Rt AC FAFACC F 中 所以 222 11 11 1 2 cos 23 ANFNAF Rt ANFANF ANFN 在中 1 5 sin 3 ANF 5 A B 所以二面角 A1 DE F 正弦值为 5 3 比较 2010 年天津第 19 题的两种解法不难看出 向量方法比常规方法要简单一些 平时也有一些学生认为立体几何这道题一律用向量法来解 这种想法不可取 一 不 是所有的题目都可以建系 二 向量的运算未必简单 在复习过程中还应该加强常规 思路在解题中的应用 如 线段中点 用中位线 2010 安徽卷理数 安徽卷理数 如图 在多面体中 四边形是正方形 ABCDEFABCDEFAB 为的中点 EFFB 2ABEF 90BFC BFFC HBC 求证 平面 FHEDB 求证 平面 AC EDB 求二面角的大小 BDEC 解 第一问可以利用中位线得到平行 如 确定二面角的平面角 用三垂线定理或逆定理 2010 四川理数 如图 二面角的大小是 60 线段 与 所成的角l AB Bl ABl 为 30 则与平面所成的角的正弦值是 AB 解 过点 A 作平面 的垂线 垂足为 C 在 内过 C 作 l 的垂线 垂足为 D 连结 AD 可知 AD l 故 ADC 为二面角的平面角 为 60 又由已知 ABD 30 连结 CB 则 ABC 为l 与平面所成的角 设 AD 2 则AB AC CD 1 AB 4 sin ABC 3 0 sin30 AD3 4 AC AB 如 同一点出发三直线两两垂直 建立空间直角坐标系 2008 年宁夏 海南理 18 如图 点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1的对角线 BD1上 PDA 60 1 求 DP 与 CC1所成角的大小 2 求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小 解 如图 建系即可解决问题 A B C D B1 C1 D1 A1 C D AB P A B C D P A B C D x y z H 6 2 建立完整的知识网络 突出转化的数学思想 在立体几何的复习过程中要想办法让学生建立起完整的知识网络 要突出这门学 科的主干 如 为了使学生的知识网络完备 平行与垂直可以进行比较 掌握它们的 异同点 以利于学生加深理解 又比如 在复习线线平行的证明方法时 可以总结梳理出以下四个证明的定理 公理 4 平行于同一条直线的两条直线平行 线面平行的性质定理 一条直线与一 个平面平行 则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行 面面平行的 性质定理 两个平面平行 则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行 线面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 如何让学生充分理解并掌握这些知识呢 培养学生 转化 的数学思想是关键 转化 化归 思想是立体几何中核心的数学思想 在立体几何中既有位置关系之间的转 化 如 证面面垂直 平行 转化为证线面垂直 平行 再转化为证线线垂直 平 行 又有数与形的转化 如用向量法解决立体几何问题 再比如 关于角的度量 既 要将异面直线成角 直线与平面成角 二面角依据概念转化为平面中的相交直线成角 又要学会将其转化为向量夹角等 例 2009 江苏卷 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 E F 分别是 1 AB 1 AC的中点 点D在 11 BC上 11 ADBC 求证 1 EF 平面 ABC 2 平面 1 AFD 平面 11 BBC C 本小题主要考查直线与平面 平面与平面的位置关系 考查空间想象能力 推理论证能力 证明 1 因为 E F 分别为 A1B A1C 的中点 所以 EF BC 又 EF面 ABC BC面 ABC 所以 EF 平 面 ABC 2 因为直三棱柱 ABC A1B1C1 所以 BB1 面 A1B1C1 BB1 A1D 又 A1D B1C 所以 A1D 面 BB1C1C 又 A1D面 A1FD 所以平面 A1FD 平面 BB1C1C 3 推理有理有据 答题规规矩矩 从近年立体几何解答题的答题情况来看 学生 会而不对 对而不全 的问题比 较严重 很值得引起我们的重视 2010 年高考第 19 题的学生丢分集中在 一是第一问 求余弦值时没有列出公式来或者计算错误 二是第二问丢三拉四 只求三言两语 无 关键步骤 不求推理有据 更谈不上整齐 清洁 美观 三是第三问用传统的方法解 决的基本上都扣分了 因此 在平时的训练中 我们就应当培养学生规范答题的良好 习惯 要使学生在做解答题时作到 一看 二证 三求解 充分利用好每次模拟考 7 试后的讲评机会 给学生讲评分标准和答题技巧 4 重视空间想象 会识图会画图会想图 立体几