07工程数学(数值计算)答案

湖北工业大学湖北工业大学 20082008 级工程硕士工程数学试题答案级工程硕士工程数学试题答案 一 填空题 每小题 3 分 共 30 分 1 球体积的计算公式为 则球体积的相对误差约是半径的相对误差的 3 倍 3 4 3 VR 2 设 则差商 2007 3 200720082009f xxx 3 2 1 0f 3 设是 n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数 则 0 1 2 j lxjn ji lx 1 1 0 ij ij 0 1 2 i jn 0 n j j lx 4 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为 至少是 n 次 n 5 梯形求积公式具有 1 次代数精度 辛普生求积公式具有 3 次代数精度 6 求方程根的牛顿迭代格式是 xfx 1 1 n nn nn xf xfx xx 7 设 则 13 14 283 012 251 A A 1 A 9 设矩阵 G 的特征值是 则矩阵 G 的谱半径 nn n 21 G i ni 1 max 9 已知 则条件数 6 10 21 A ACond 10 对于方程组 Jacobi 迭代法的迭代矩阵是 3410 15 2 21 21 xx xx J G 05 2 5 20 二 10 分 已知函数的相关数据 yf x i0 1 2 3 i x0 1 2 3 ii yf x 1 3 9 27 由牛顿插值公式求三次插值多项式 注 要求给出差商表 3 P x 解 差商表 i i x i f x 1 ii f x x 12 iii f x xx 123 iiii f x xxx 001 1 2 3 1 2 3 3 9 27 2 6 8 2 64 3 由牛顿插值公式 32 33 48 21 33 p xNxxxx 三 10 分 定义内积 1 0 dxxgxfgf 试在中寻求对于的最佳平方逼近多项式 xSpanH 1 1 xxf xp 解 1 0 x xx 1 1 1 0 00 dx 2 1 1 0 01 xdx 3 1 1 0 2 11 dxx 3 2 1 0 0 dxxf 5 分 5 2 1 0 1 dxxxf 法方程为 7 分 5 2 3 2 3 12 1 2 11 1 0 c c 解得 所求的最佳平方逼近元素为 15 4 0 c 15 12 1 c 10 分 xxp 15 12 15 4 10 x 四 10 分 确定求积公式 012 0 h h f x dxA fhA fA f h 中待定参数的值 使求积公式的代数精度尽量高 并指出此时求积公式的代 i A 0 1 2 i 数精度 解 分别将 代入求积公式 可得 2 1 f xx x 7 分 021 14 33 AAhAh 令时求积公式成立 而时公式不成立 从而精度为 3 10 分 3 f xx 4 f xx 五 10 分 设有求解初值问题的如下格式 00 yf x yy xy 11nnnnn yxchfbyayy 假设 试确定使该格式的局部截断误差精度尽量高 11 nnnn yy xyy x a b c 解 略 六 10 分 设具有二阶连续导数 且证明 f x 0 f x 1 如果则牛顿迭代法至少二阶收敛 0 fx 2 如果则牛顿迭代法只是线性收敛 0 fx 解 略 七 10 分 用矩阵的直接三角分解法解下面线性方程组 1 2 3 12314 252 18 31520 x x x 解 由矩阵乘法可求出 6 分 123100123 252 210014 3153510024 ALU 解下三角方程组 14 18 20 TLy 有 再解上三角方程组 1 14y 2 10y 3 72y 14 10 72 TUx 得原方程组的解为 10 分 1 1 x 2 2x 3 3x 八 10 分 对下面线性方程组建立收敛的雅可比迭代格式和高斯 塞德尔迭代格式 123 123 123 321015 1045 21078 xxx xxx xxx 并说明迭代格式收敛的理由 解 1 将线性方程组变形为 123 123 123 1045 21078 321015 xxx xxx xxx 这个线性方程组的系数矩阵是严格对角占优的 因而雅可比迭代格式 1 123 1 213 1 312 0 40 10 5 0 20 70 8 0 30 21 5 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 和高斯 塞德尔迭代格式 1 123 1 1 213 1 1 1 312 0 40 10 5 0 20 70 8 0 30 21 5 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 均是收敛的 解 2 令 1041 2107 3210 A 1 2 3 x Xx x 5 8 15 b 线性方程组变形为 AX b 由于 A 是严格对角占优的 因而雅可比迭代格式和高斯 塞德尔迭代格式均是收敛 的 雅可比迭代格式 1 1 1 kk XDLU XD b 高斯 塞德尔迭代格式 1 1 1 kk XDLUXDLb 其中 1000 0100 0010 D 000 200 320 L 041 007 000 U 1 02 51 10 1 507 10 3 101