应用时间序列分析模拟试题

时间序列分析 模拟试题 时间序列分析时间序列分析 课程考试卷课程考试卷 一 一 填空题 每小题填空题 每小题 2 2 分 共计分 共计 2020 分 分 1 ARMA p q 模型 qtqtptptt xxx 11110 其中模型参数为 p q 2 设时间序列 则其一阶差分为 t X 1 ttt xxx 3 设 ARMA 2 1 121 0 50 40 3 ttttt XXX 则所对应的特征方程为 04 05 0 2 4 对于一阶自回归模型 AR 1 其特征根为 平稳域 1 10 ttt XX 是 1 注 平稳性判别 1 特征根判别法 特征根的绝对值小于 1 该题中特征根等于 故平 稳条件为 系数多项式的根在单位园外 1 2 平稳域判别法 AR 1 模型 1 AR 2 模型 1 1 12221 且 5 设 ARMA 2 1 当 a 满足 121 0 50 1 ttttt XXaX 时 模型平稳 15 0 1 aa 6 注 AR 模型平稳 系数多项式的根在单位园外 MA 模型可逆 系数多项式的根在 单位园外 7 对于一阶自回归模型 MA 1 其自相关函数为 1 0 3 ttt X 2 0 1 09 1 3 0 0 1 k k k k 注 qk qk k q i i kq i kik k k 0 1 1 0 1 1 2 1 1 0 8 对于二阶自回归模型 AR 2 则模型所满足的 Yule Walker 12 0 50 2 tttt XXX 时间序列分析 模拟试题 2 方程是 2 1 2202112 2212101 1101 k k 2 8 5 80 41 8 5 8 5 1 8 5 2221 2221 11 k k 注 1 kk k k kk k k k 2 1 021 201 110 2 1 2 由于 AR 模型的 p i ikik 1 故对于 AR 2 有 2 1 1 0 1 2211 2 1 0 k k k kk k k 进而 2 2 05 0 1 8 5 0 1 21 k k k kk k 9 设时间序列为来自 ARMA p q 模型 t X 1111ttptpttqt q XXX LL 则预测方差为 l i it GleVar 0 22 10 对于时间序列 如果 则 t X tsEx tsEVarE x ts sttt tt d 0 0 0 2 t XI d 时间序列分析 模拟试题 3 注 ARIMA p d q tsEx tsEVarE BxB ts sttt tt d 0 0 0 2 11 设时间序列为来自 GARCH p q 模型 则其模型结构可写为 t X q j jj p i itit ttt tttt hh eh xxtfx 1 2 1 21 二 10 分 设时间序列来自过程 满足 t X 2 1ARMA 2 10 51 0 4 tt BBXB 其中是白噪声序列 并且 t 2 tt 0 EVar 1 判断模型的平稳性 5 分 2 1ARMA 特征函数为 特征根为 在单位圆内 平稳 05 0 2 xx2 1 2 11i x 也可用平稳域法见一 4 2 利用递推法计算前三个格林函数 5 分 012 G G G k k j jkjk GG G 1 0 1 1 0 G 4 1 4 0 1 1011 GG 9 005 04 1 202112 GGG 求格林函数也可以用算子 22 2 2 1 2 2 9 04 115 014 01 5 05 014 01 5 01 4 01 BBBBB BBBBB BB B 三 20 分 某国 1961 年 1 月 2002 年 8 月的 16 19 岁失业女性的月度 数据经过一阶差分后平稳 N 500 经过计算样本其样本自相关系 得分得分 得分得分 时间序列分析 模拟试题 4 数及样本偏相关系数的前 10 个数值如下表 k kk k12345678910 k 0 470 06 0 070 040 000 04 0 040 06 0 050 01 kk 0 47 0 21 0 18 0 10 0 050 02 0 01 0 060 010 00 求 1 利用所学知识 对所属的模型进行初步的模型识别 10 分 t X 样本自相关系数 1 阶截尾 样本偏相关系数拖尾 ARIMA 0 1 1 2 对所识别的模型参数和白噪声方差给出其矩估计 10 分 2 由于 ARIMA 0 1 1 模型有 2 1 1 1 1 7415 0 47 0 2 47 0411 2 411 1 1 1 645 0 1 1 2 1 2 四 20 分 设服从 ARMA 1 1 模型 t X 11 0 80 6 tttt XX 0025 0 2 其中 100100 0 3 0 01X 1 给出未来 3 期的预测值 10 分 234 0 6 08 01 100100100 XX 1872 0 234 0 8 01 8 02 100100 XX 14976 0 1872 0 8 02 8 03 100100 XX 2 给出未来 3 期的预测值的 95 的预测区间 10 分 0 975 1 96u ttt BB B B X 2 16 0 2 01 8 01 6 01 1 0 G2 0 1 G16 0 2 G 由于 l i it GleVar 0 22 0025 0 1 100 eVar 0026 0 2 100 eVar 002664 0 3 100 eVar 得分得分 时间序列分析 模拟试题 5 95 的预测区间 leVarulx 100975 0 100 101 0 136 0 332 102 0 087 0 287 103 0 049 0 251 五 10 分 设时间序列服从 AR 1 模型 t X 其中为白噪声序列 1ttt XX t 2 tt 0 EVar 为来自上述模型的样本观测值 试求模型参数的极大似然估计 1212 x x xx 2 ttt BB B X 22 1 1 1 2 42 0 2 1 1 1 i i G 2 53 0 1 1 i iiG G 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 22 22 1 1 1 2 1lnln 21 2 2 2 1 1 2xxxxxx 似然方程组 0 2 1 ln 2 1 0 22 1 2 4 1 2 xx xxn 0 2 1 2 2 2 2 21 2 221 2 2 2 1 xx xxxx 所以 2 2 2 1 2 2 2 2 12 2 2 2 1 21 2 2 xx xx xx xx 六 20 分 证明下列两题 1 设时间序列来自过程 满足 t x 1 1ARMA 11 0 50 25 tttt xx 得分得分 得分得分 时间序列分析 模拟试题 6 其中 证明其自相关系数为 2 t 0 WN 10 分 1 1 0 0 271 0 52 k k k k k tttt BBBB B B B x 3 2 22 2 22 1 22 125 0 1 5 01 25 0 1 1 0 G 1 2 1 1 kG k k 141 1 2241 1 221 0 2 1 6 7 25 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 kkk j jkk j kjk j kjjG Gk 12 13 25 0 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 10 4 1 224 1 22 0 j j j j j jjG G 1 2 1 13 7 kk k 2 若 且和不相关 即 t X I 0 t Y I 0 t X t Y 0 rs cov X Yr s 试证明对于任意非零实数与 有 10 分 ab 0 ttt ZaXbYI 证明 因为 t X I 0 t Y I 0 所以 2 t XE 2 t YE Xt XE Yt YE Tksktstksktst XX Tksktstksktst YY ttt bXaXZ ttttt babXaXEZE 222222 22222 2 2 tttt ttttt YEXEabYEbXEa YabXYbXaEZE stbsta YXabCovYXabCovstbsta babYaXbabYaXEst tt tt t YX tsstYX ssssttttZ 22 22 时间序列分析 模拟试题 7 所以 Tksktstksktst ZZ 七 七 填空题 每小题填空题 每小题 2 2 分 共计分 共计 2020 分 分 1 设时间序列 当 t X 序列 xFxFRxxxZTtttNm tt m m m m 11 为严平稳 t X 2 AR p 模型为 其中自回归参数为 ptptt xxx 110p 10 3 ARMA p q 模型 其中模 qtqtptptt xxx 11110 型参数为 p q 4 设时间序列 则其一阶差分为 t X 1 ttt xxx 5 一阶自回归模型 AR 1 所对应的特征方程为 0 6 对于一阶自回归模型 AR 1 其特征根为 平稳域是 1 7 对于一阶自回归模型 MA 1 其自相关函数为 2 0 1 1 0 1 2 k k k k 注 qk qk k q i i kq i kik k k 0 1 1 0 1 1 2 1 1 0 8 对于二阶自回归模型 AR 2 其模型所满足的 Yule Walker 方 1122tttt XXX 程是 2 1 2202112 2212101 1101 k k 2 11 11 1 1 2221 2 1 2 2 2 1 22 2 1 21 2 1 11 2 1 k k 时间序列分析 模拟试题 8 注 1 kk k k kk k k k 2 1 021 201 110 2 1 2 由于 AR 模型的 p i ikik 1 故对于 AR 2 有 2 1 1 0 1 2211 2 1 0 k k k kk k k 9 设时间序列为来自 ARMA p q 模型 t X 则预测方差为 1111ttptpttqt q XXX LL l i it GleVar 0 22 10 设时间序列为来自 GARCH p q 模型 则其模型结构可写为 t X q j jj p i itit ttt tttt hh eh xxtfx 1 2 1 21 八 20 分 设是二阶移动平均模型 MA 2 即满足 t X ttt 2 X 其中是白噪声序列 并且 t 2 t 0 t EVar 1 当 0 8 时 试求的自协方差函数和自相关函数 1 t X 其他 0 2 0 1 2 22 22 k k EXXEk ktktttktt 得分得分 时间序列分析 模拟试题 9 其他 其他 0 2 878 40 0 1 0 2 1 0 1 2 k k k k k 2 当 0 8 时 计算样本均值的方差 1 1234 XXXX 4 4 1 11 16 1 4 2 2 430211 4321 Var XXXX Var 九 20 分 设的长度为 10 的样本值为 t X 0 8 0 2 0 9 0 74 0 82 0 92 0 78 0 86 0 72 0 84 试求 1 样本均值 0 758x 2 样本的自协方差函数值和自相关函数值 21 21 kn xxxx k kn t ktt 1 0 038276 0 01083 0 28299 0 0059140 154509 3 对 AR 2 模型参数给出其矩估计 并且写出模型的表达式 由 Yule Walker 方程 2112 1211 18649 0 1 1 1 1 2 1 080908 0 1 2 1 2 12 2 83803 0 1 210 tttt xxx 21 080908 0 18649 0 83803 0 十 20 分 设服从 ARMA 1 1 模型 t X 11 0 80 6 tttt XX 其中 100100 0 3 0 01X 1 给出未来 3 期的预测值 2 给出未来 3 期的预测值的 95 的预测区间 得分得分 得分得分 时间序列分析 模拟试题 10 十一 20 分 设平稳时间序列服从 AR 1 模型 t X 其中为白噪声 证 11ttt XX t 2 t 0 t EVar 明 2 2 1 1 t Var X ttt BB B X 22 1 1 1 2 42 0 2 1 1 1 i i G 2 2 0 22 1 i it GXVar 十二 十二 单项选择题 每小题单项选择题 每小题 4 4 分 共计分 共计 2020 分 分 12 的 d 阶差分为 t X a b d ttt k XXX 11 ddd ttt k XXX c d 11 1 ddd ttt XXX 11 12 ddd ttt XXX 13 记 B 是延迟算子 则下列错误的是 a b 0 1B 1 ttt B c Xc BXc X c d 11 tttt B XYXY 1 d d tt dt XXBX 14 关于差分方程 其通解形式为 12 44 ttt XXX a b c d 12 22 tt cc 12 2tcc t 12 2tcc 2tc 15 下列哪些不是 MA 模型的统计性质 a b t E X 22 11 1 q t Var X L c d 0 tt t E XE 1 0 q K 16 上面左图为自相关系数 右图为偏自相关系数 由此给出初步的模型识别 得分得分 时间序列分析 模拟试题 11 a MA 1 b ARMA 1 1 c AR 2 d ARMA 2 1 十三 填空题 每小题填空题 每小题 2 2 分 共计分 共计 2020 分 分 1 在下列表中填上选择的的模型类别 AR p MA q ARMA 2 时间序列模型建立后 将要对模型进行显著性检验 那么检验的对象为 残差序列 检验的假设是 残差序列是白噪声 3 时间序列模型参数的显著性检验的目的是 模型的有效性 提取的信息是否充分 4 根据下表 利用 AIC 和 BIC 准则评判两个模型的相对优劣 你