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第一章集合与数理逻辑用语一集合 一 基本概念 1 集合 定义 确定的不同对象的全体叫做集合 元素 构成集合的每个对象叫这个集合的元素 集合中元素的三大特性 确定性 无序性 互异性 2 集合的表示 列举法 描述法 Venn图法 区间法 特定字母法 3 集合的分类 5 元素与集合的关系 4 常见数集 R 实数 Q 有理数 N 正整数 Z 整数 N 自然数 有限集 无限集 空集 注 属于符号的开口方向向着集合 6 集合之间的关系 7 集合的运算 全集 若一个集合含有所研究问题中的所有元素 则称该集合为全集 记作 U 8 集合的运算律 9 集合中元素的个数 card A 10 重要结论 二 典型例题及易错点 1 元素与集合之间的关系 2 集合之间的关系 解 例1 3 注 2 用不等式描述的集合 通常借助数轴 运用数形结合的方法求解 但是要特别关注界点是否能取等号 例2 求a的取值范围 解得a 1 解得a 1 解得a 1 解得a 1 注 1 两虚两实取等号 2 一虚一实要小心 1 参数在大且实取等号 参数在大且虚取不到等号 2 参数在小且实取不到等号 参数在小且虚取等号 例3 解 练习 例4 注 本例所求解集中只有一个元素 0 1 不能错写成 x 0 y 1 或 x y x 0或y 1 后者所表示的集合的元素有无限个 它表示点 0 y 或 x 1 二数理逻辑用语 一 命题 1 命题 可以判断真假的语句 一般为陈述句 2 命题的四种形式及关系 3 四种命题的真假性 注 1 互为逆否的两个命题具有相同的真假性 2 互逆或互否的两个命题的真假性无关 3 一个命题的逆命题与否命题具有相同的真假性 4 直接判断命题真假性不易时 可反向判断其逆否命题的真假性 4 简单的逻辑联接词 1 或 1 生活中指不可兼有 2 数学中指可兼有 相当于求并集 2 且 1 生活中指和 与 2 数学中相当于求交集 3 非 1 生活中指否定 2 数学中也指否定 相当于求补集 5 简单命题与复合命题 1 简单命题 即不含逻辑联接词的命题 2 复合命题 由简单命题和逻辑联接词构成的命题 3 命题的真值表 6 全程命题与特称命题 1 定义 含有全称量词的命题叫做全称命题 用符号简记为 2 特称量词 包含短语 存在一个 至少一个 的量词 符号 含有特称量词的命题叫做特称命题 用符号简记为 2 全程命题与特称命题的否定 1 2 注 1 全程命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 2 命题的 否定 与一个命题的否命题是两个完全不同的概念 对命题的否定是否定命题所做的判断 而 否命题 是既要否定条件也要否定结论 即 二 充分条件与必要条件 1 定义 2 充分条件 必要条件与集合的关系 若命题p 集合A 命题q 集合B 则 从集合的观点看 3 四种命题与充要条件的关系
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