2004全国卷Ⅰ试题及答案(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地)(文)

全国卷数学 文 第 1 页 共 8 页 2004文科数学 必修 选修 I 第 I 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 设集合 U 1 2 3 4 5 A 1 2 3 B 2 5 则 A U B A 2 B 2 3 C 3 D 1 3 2 已知函数 2 1 1 1 lg afaf x x xf则若 A B C 2D 2 2 1 2 1 3 已知 a b 均为单位向量 它们的夹角为 60 那么 a 3b A B C D 471013 4 函数的反函数是 1 11 xxy A B 1 22 2 xxxy 1 22 2 xxxy C D 1 2 2 xxxy 1 2 2 xxxy 5 的展开式中常数项是 73 1 2 x x A 14B 14C 42D 42 6 设若则 2 0 5 3 sin 4 cos 2 A B C D 4 5 7 5 1 2 7 7 椭圆的两个焦点为 F1 F2 过 F1作垂直于轴的直线与椭圆相交 一个交1 4 2 2 y x x 点 为 P 则 2 PF 全国卷数学 文 第 2 页 共 8 页 A B C D 4 2 3 3 2 7 8 设抛物线的准线与轴交于点 Q 若过点 Q 的直线 与抛物线有公共点 则直xy8 2 xl 线 的斜率的取值范围是 l A B 2 2 C 1 1 D 4 4 2 1 2 1 9 为了得到函数的图象 可以将函数的图象 6 2sin xyxy2cos A 向右平移个单位长度B 向右平移个单位长度 6 3 C 向左平移个单位长度D 向左平移个单位长度 6 3 10 已知正四面体 ABCD 的表面积为 S 其四个面的中心分别为 E F G H 设四面体 EFGH 的表面积为 T 则等于 S T A B C D 9 1 9 4 4 1 3 1 11 从 1 2 9 这九个数中 随机抽取 3 个不同的数 则这 3 个数的和为偶数的概 率是 A B C D 9 5 9 4 21 11 21 10 12 已知的最小值为 cabcabaccbba 则 2 2 1 222222 A B C D 3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 3 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 不等式 x x3 0 的解集是 全国卷数学 文 第 3 页 共 8 页 14 已知等比数列 则该数列的通项 384 3 103 aaan中 n a 15 由动点 P 向圆 x2 y2 1 引两条切线 PA PB 切点分别为 A B APB 60 则动点 P 的轨迹方程为 16 已知 a b 为不垂直的异面直线 是一个平面 则 a b 在上的射影有可能是 两条平行直线 两条互相垂直的直线 同一条直线 一条直线及其外一点 在一面结论中 正确结论的编号是 写出所有正确结论的编号 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 等差数列 的前 n 项和记为 Sn 已知 n a 50 30 2010 aa 求通项 n a 若 Sn 242 求 n 18 本小题满分 12 分 求函数的最小正周期 最大值和最小值 x xxxx xf 2sin2 cossincossin 2244 19 本小题满分 12 分 已知在 R 上是减函数 求的取值范围 13 23 xxaxxfa 20 本小题满分 12 分 从 10 位同学 其中 6 女 4 男 中随机选出 3 位参加测验 每位女同学能通过测验的概 率均为 每位男同学能通过测验的概率均为 试求 5 4 5 3 I 选出的 3 位同学中 至少有一位男同学的概率 II 10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率 21 本小题满分 12 分 如图 已知四棱锥 P ABCD PB AD 侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形 底面 ABCD 为菱形 侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120 I 求点 P 到平面 ABCD 的距离 II 求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小 全国卷数学 文 第 4 页 共 8 页 22 本小题满分 14 分 设双曲线 C 相交于两个不同的点 A B 1 0 1 2 2 2 yxlay a x 与直线 I 求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 II 设直线 l 与 y 轴的交点为 P 且求 a 的值 12 5 PBPA 文科数学 必修 选修 I 参考答案 一 选择题一 选择题 DBCBABCCBACB 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 13 x x 0 14 3 2n 3 15 16 4 22 yx 三 解答题三 解答题 17 本小题主要考查等差数列的通项公式 求和公式 考查运算能力 满分 12 分 解 由得方程组 50 30 1 20101 aadnaan 4 分 解得 所以 7 分 5019 309 1 1 da da 2 12 1 da 102 nan 由得方程242 2 1 1 nn Sd nn naS 10 分 解得 12 分 2422 2 1 12 nn n 2211舍去或 nn 18 本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形 以及三角函数的有关性质 满分 12 分 解 xx xxxx xf cossin22 cossin cos sin 22222 全国卷数学 文 第 5 页 共 8 页 2 1 2sin 4 1 cossin1 2 1 cossin1 2 cossin1 22 x xx xx xx 所以函数的最小正周期是 最大值是最小值是 12 分 xf 4 3 4 1 19 本小题主要考查导数的概念和计算 应用导数研究函数单调性的基本方法 考查综合 运用数学知识解决问题的能力 满分 12 分 解 函数 f x 的导数 3 分 1 63 2 xaxxf 当 时 是减函数 0 x fRx xf 0163 2 Rxxax 3 012360 aaa且 所以 当是减函数 9 分 0 3Rxxfxfa 知由时 II 当时 3 a133 23 xxxxf 9 8 3 1 3 3 x 由函数在 R 上的单调性 可知 3 xy 当时 是减函数 3 aRxxf 当时 在 R 上存在一个区间 其上有3 a 0 x f 所以 当时 函数不是减函数 3 a Rxxf 综上 所求的取值范围是 12 分a 3 20 本小题主要考查组合 概率等基本概念 独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知 识 解决实际问题的能力 满分 12 分 解 随机选出的 3 位同学中 至少有一位男同学的概率为 1 6 分 6 5 3 10 3 6 C C 甲 乙被选中且能通过测验的概率为 6 分 全国卷数学 文 第 6 页 共 8 页 12 分 125 4 5 3 5 4 3 10 1 8 C C 21 本小题主要考查棱锥 二面角和线面关系等基本知识 同时考查空间想象能力和推理 运算能力 满分 12 分 I 解 如图 作 PO 平面 ABCD 垂足为点 O 连结 OB OA OD OB 与 AD 交于 点 E 连结 PE AD PB AD OB PA PD OA OD 于是 OB 平分 AD 点 E 为 AD 的中点 所以 PE AD 由此知 PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角 4 分 PEB 120 PEO 60 由已知可求得 PE 3 PO PE sin60 2 3 2 3 3 即点 P 到平面 ABCD 的距离为 6 分 2 3 II 解法一 如图建立直角坐标系 其中 O 为坐标原点 x 轴平行于 DA 连结 AG 4 3 4 33 0 0 2 33 0 2 3 0 0 的坐标为中点GPBBP 又知由此得到 0 2 33 2 0 2 3 1 CA 0 0 0 0 2 2 3 2 33 0 4 3 4 3 1 PBBCPBGA BCPB GA 于是有 所以 的夹角BCGAPBBCPBGA 等于所求二面角的平面角 10 分 于是 7 72 cos BCGA BCGA 全国卷数学 文 第 7 页 共 8 页 所以所求二面角的大小为 12 分 7 72 arccos 解法二 如图 取 PB 的中点 G PC 的中点 F 连结 EG AG GF 则 AG PB FG BC FG BC 2 1 AD PB BC PB FG PB AGF 是所求二面角的平面角 9 分 AD 面 POB AD EG 又 PE BE EG PB 且 PEG 60 在 Rt PEG 中 EG PE cos60 2 3 在 Rt PEG 中 EG AD 1 于是 tan GAE 2 1 AE EG 2 3 又 AGF GAE 所以所求二面角的大小为 arctan 12 分 2 3 22 本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质 平面向量的运算等解析几何的基本思想 和综合解题能力 满分 14 分 解 I 由 C 与 t 相交于两个不同的点 故知方程组 1 1 2 2 2 yx y a x 有两个不同的实数解 消去 y 并整理得 1 a2 x2 2a2x 2a2 0 2 分 1 20 0 1 84 0 1 224 2 aa aaa a 且解得所以 双曲线的离心率 分的取值范围为即离心率 且 且 6 2 2 2 6 2 2 6 120 1 11 2 2 e ee aa aa