浅谈矩阵的秩

目 录 摘要 1 Abstract 1 前言 1 1 矩阵的秩的概念 1 2 秩的求法 2 1 2 1 子式判别法 2 2 2 初等变换法 2 3 矩阵的秩的应用 2 3 1 方程组与矩阵的秩 2 3 1 1 判断齐次线性方程组有非零解 3 3 3 1 2 判断非齐次线性方程组的解 3 3 1 3 线性方程组有解 3 3 2 矩阵运算与矩阵的秩 4 3 2 1 加法 4 3 2 2 乘法 4 3 3 可逆矩阵与矩阵的秩 4 结束语 5 参考文献 5 1 浅谈矩阵的秩浅谈矩阵的秩 摘 要 矩阵的秩 是矩阵最重要的数字特征之一 矩阵的很多性质可以通过矩 阵的秩来刻画 基于矩阵的秩在高等代数学中的重要性 本文系统总结了矩阵 的秩的基本性质 求法及其应用 关键词 矩阵的秩 线性方程组 初等变换 可逆矩阵 Matrix rank Abstract Matrix rank it is one of the most important characteristics of digital matrix Many properties of matrix rank of the matrix to depict Based on the matrix rank in higher algebra the importance of system in this paper summarizes the basic properties of the rank of matrix the calculation methods and their applications Keywords matrix rank System of linear equations Elementary transformation reversible matrix 前言前言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念 也是应用数学研究的一个重要工具 矩阵的理论是线性代数的主要组成部分 也是线性方程组的理论基础 而在矩 阵的理论中 矩阵的秩是一个基本的概念 也是矩阵最重要的数量特征之一 它在初等变换下是一个不变量 它反映矩阵固有特性的一个重要概念 1 1 矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩 所谓 矩阵的行秩就矩阵的行向量组的秩 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩 矩 阵的行秩等于矩阵的列秩 并统称为矩阵的秩 记作 R A 例如 矩阵 1131 02 14 A 0005 0000 的行向量组是 1 1 3 1 0 2 1 4 1 2 0 0 0 5 0 0 0 0 3 4 可以证明 是向量组的一个极大线性无关组 1 2 3 1234 事实上 由 0 可得 这就证明了线性无关 因 112233kkk 1230kkk 123 为是零向量 所以添上后就线性相关了 因而向量组的秩为 3 即向量组 4 4 的行秩为 3 A 的列向量组是 1 0 0 0 1 2 0 0 1 2 2 3 1 0 0 1 4 5 0 3 4 同样的方法证明线性无关 且是列向量组的一个极大线性无关组 124 于是列向量组的秩为 3 1234 2 2 秩的求法秩的求法 1 2 12 1 子式判别法子式判别法 根据定义 一般地 行阶梯形矩阵的秩等于其 台阶数 2 22 2 初等变换法初等变换法 用初等变换法求矩阵的秩 根据定理 2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩 1 利用初等行变换化矩阵 A 为阶梯形矩阵 B 2 阶梯形矩阵 B 非零行的行数即为矩阵 A 的秩 例 求向量组的秩 1234 2 解 设 对矩阵 A 作初等变换 可得 所以的秩为 3 1234 3 3 矩阵的秩的应用 矩阵的秩的应用 在矩阵理论中 矩阵的秩是一个重要的概念 它是矩阵的一个数量特征 而且是初等变换下的不变量 矩阵的秩与矩阵是否可逆 线性方程组的解的情 况等都有着密切的联系 3 13 1 方程组与矩阵的秩方程组与矩阵的秩 3 1 1 判断齐次线性方程组有非零解 3 3 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵 A 的行列式为零 矩阵 A 的行列式为零的充分必要条件是 A 的秩小于 n 3 1 2 判断非齐次线性方程组的解 11112211 21122222 1122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩为 n 非齐次线性方程有无穷解时 R A 小于 n 3 1 3 线性方程组有解 线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩 系 数矩阵与增广矩阵的秩相等时 方程组有解 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加 1 时 方程组无解 齐次线性方程组有非零解的情况下 基础解系所含解的个数等于 n r r 为 系数矩阵的秩 线性方程组的秩与解析几何中关于平面与直线的关系 对于线性方程组 1111221331 2112222332 ikkjikk a xa xa xb a b a b a xa xa xb 每个方程表示一个平面 方程组有解相当于两平面有交点 方程的系数矩阵与增广矩阵分别是 A 12 1311 22 2123 aaa aaa 4 A 12 13111 22 21232 aaba aaab 有三个可能情形 1 R A 1 R 1 A 的两行成比例 所以两平面平行 因为的两AA 行也成比例 所以两平面重合 方程组有解 2 R A 1 R 2 即两平面情形且不重合 方程组无解 A 3 R A 2 则 R 2 此时两平面一定相交 方程组有解 A 3 23 2 矩阵运算与矩阵的秩矩阵运算与矩阵的秩 矩阵可以进行加法 减法 数乘 乘法 阶乘 伴随等一系列运算 而矩 阵经过运算后所得到新矩阵的秩往往与原矩阵的秩有一定的关系 3 2 1 加法 矩阵加法 C A B 根据矩阵的加法得出秩 A B 秩 A 秩 B 3 2 2 乘法 矩阵乘法 AB A B 秩 AB min 秩 A 秩 B 即乘积 的秩不超过个因子的秩 证明 设 令表示 B 的行向量 表示 C AB 的行向量 由于1 2 mB B B 1 2 mC C C 的第 j 个分量和的第 j 个分量都等于 因iC i11 i22 ma B a BBima 1 ikkj m k a b 而 i 1 2 n 即矩阵 AB 的行向量组ii11 i22 mC a B a BBima 可经 B 的行向量组线性表出 所以 AB 的秩不超过 B 的秩 即秩 1 2 mC C C AB 秩 B 同理可证 秩 AB 秩 B 所以秩 AB min 秩 A 秩 B 3 33 3 可逆矩阵与矩阵的秩可逆矩阵与矩阵的秩 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 非退化 即 A 满秩 R A n 逆矩阵乘到任意矩阵上去不改变这个矩阵的秩 初等变换不改变矩阵的秩 A 是一 s n 矩阵 如果 P 是 s s 可逆矩阵 Q 是 n n 可逆矩阵 那么秩 A 秩 PA 秩 AQ 秩 PAQ 关系 关系 5 R A n A 的行向量线性相关 0 降秩 A 退化 A A 不可逆 R A n A 的行向量线性无关 0 满秩 A 非退化 A A 可逆 结束语结束语 矩阵的秩的内容是非常丰富的 其应用是十分广泛的 证明矩阵秩的有关 性质 除了用行 列 向量组的极大线性无关组来证 用矩阵的初等变换来证 明 还可以联系到齐次线性方程组的基础解系 利用分块矩阵来证 希望通过 本文加深对矩阵