一元三次方程根的分布

根据代数学基本定理可知 实系数的一元三次 方程 x 3 b x 2 c x d 0 1 必有一个或三个实数根 本文将讨论一元三次 方程的根的分布情况 1 式是一元三次方程的一般式 它一定可以 化为标准式 x 3 p x q 0 2 事实上 设 f x x 3 b x 2 c x d 此函数在x 0 b 3处有拐点 在这点处将 f x 展 开成泰勒级数 有 f x f b 3 f b 3 1 x b 3 f b 3 2 x b 3 2 f b 3 3 x b 3 3 2 b 3 9 b c 2 7 d 2 7 3 c b 2 3 x b 3 x b 3 3 令x x b 3 p 3 c b 2 3 q 2 b 3 9 b c 2 7 d 2 7 则方程 1 化成标准式x 3 p x q 0 可见 任何一个一元三次方程都可按上述方法 化为标准式 2 的形式 正因如此 下面只需讨论方 程 2 的根的分布 设g x x 3 p x q 1 当p 0时 g x 3 x 2 p 0 等号至多在个别点成立 所以g x 在 内严格递增且连续 又 g g 故g x 只有一个零点 即 方程 2 有一个实根 图 1 中的三条曲线分别为g x 当q 0 q 0 一元三次方程根的分布 李密 阜新高等专科学校 辽宁 阜新1 2 3 0 0 0 摘要 本文介绍了一元三次方程一般式化为标准式的方法 并结合图形给出了标准式的实数根的分布情况 从而 解决了任意一元三次方程的实数根的分布的问题 关键词 一元三次方程 系数 根 中图分类号 O1 5 1文献标识码 A文章编号 1 6 7 1 3 6 9 9 2 0 0 6 0 3 0 0 6 5 0 2 T h e D i s t r i b u t i o no f t h e R o o t o f t h e S i mp l e C u b i c E q u a t i o n L I M i F u x i nH i g h e r P r o f e s s i o n a l C o l l g e g F u x i n1 2 3 0 0 0 C h i n a A b s t r a c t T h i sp a p e r i n t r o d u c e st h em e t h o df r o mg e n e r a l i t yt os t a n d a r d i z a t i o no f t h es i m p l ec u b i c e q u a t i o n a n ds h o w s t h ei l l u s t r a t e dd i s t r i b u t i o no f s t a n d a r d i z e dr e a l r o o t s o l v i n gt h ed i s t r i b u t i o np r o b l e m o f o p t i o n a l s i m p l e c u b i c e q u a t i o n s r e a l r o o t K e yw o r d s s i m p l e c u b i c e q u a t i o n m o d u l u s r o o t 收稿日期 2 0 0 5 0 3 2 1 作者简介 李密 1 9 6 5 女 辽宁阜新人 讲师 主要从事数学及计算机的教学研究 图1 金华职业技术学院学报 第6卷第3期 2 0 0 6年6月 V o l 6N o 3 J u n 2 0 0 6 q 0时 方程 2 有一个负实根 当q 0时 方程 2 有一个零根 当q 0时 方程 2 有一个正实根 2 当p 0时 若m 0 方程 2 仅有一个负实根 若m 0 方程 2 有一个负实根和一个正实 根 二重 若m 0 方程 2 有一个负实根和两个正实根 当q 0时 方程 2 有三个根 其中一个正 根 一个负根 一个零 当q 0 方程 2 有两个负实根和一个正实根 若M 0 方程 2 有一个负实根 二重