浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别

浅谈 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的联系与区别 有人说 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广 然而对广义 Riemann 积 分来说 Riemann 积分的可积性并不意味着 Lebesgue 积分的可积性 那么 他 们之间有怎么样的联系和区别呢 首先 我们先来回顾一下两种积分的定义 一 积分定义一 积分定义 Riemann 积分定义积分定义 假设是区间上的函数 若存在某个常数 A xfy ba 使得对区间的任意分割 及任意 ba bxxxa n 10 只要就有 1 1 0 1 nixx iii 0max 1 10 ii ni xx Axxf ii n i i 1 1 0 则称在上 Riemann 可积 f ba Lebesgue 积分定义积分定义 设是测度有限的可测集 是定义在 E 上的有界 n RE f 可测函数 即存在 使若R ExxfEf 是得任一分点组 则记 n lllD 10 kkkkk lxflxEEllD max 11 对任意 作和式 kkkk ll 1 ADS 则称在上是 Lebesegue 可积的 fE 若是上的可测函数 且 如果在上的积分至少有一个 xfE mE ff E 不为 则称在上有积分 并记 xfE dxxfdxxfdxxf EEE 若为有限数 则称在上 Lebesgue 可积 E dxxf xfE 二 二 L 积分与积分与 R 积分的联系积分的联系 由于在通常意义下的 R 可积性意味着 L 可积性 所以我们有 定理定理 如果有界函数在闭区间是 R 可积的 则在也是 L xf ba xf ba 可积的 且 b a ba dxxfdxxf 此处表示在上的 L 积分 表示在上的 R 积分 ba dxxf f ba b a dxxf f ba 证明证明 因为是有界函数 所以只需证明是上的可测函数 ff ba 由于是 R 可积的 取的分点组 f ba m D 1 0 bxxxaD m i mm m m 1 mm DD 0max 1 1 m i m i ii m xxD m 记分别为在的下确界与上确界 由 R 积分的定义知 m i m i Mmf 1 m i m i xx lim lim 1 1 1 1 m i m i i i m i m m i m i i i m i m xxMxxm mm b a dxxf 令为如下的函数列 mm x m af m m i ax xxx m i m i 1 x m af M m i ax xxx m i m i 1 则因 故当区间长度缩小时 上确界不增 下确界不减 所以 1 mm DD 21 f m 21 f m 于是 即 limff m m ff m m lim fff 注意到都是有机可测的 所以是非负 L 可积函数 从而 ff ff 又 ba ff 0 dxfdxfdx baba dxxfxxmdxxdxxf b a m i m i i i m i ba m ba m 1 1 b a m i m i i i m i ba m ba dxxfxxMdxdxxf m 1 1 这说明 dxxfdxxfdxxf b a baba 所以 即 dxxfdxxf baba ba dxxfxf 0 由定理 3 曹广福版上 76 页 知 进一步 ff baea fff 因此在上可测 证毕 ea ba f ba 上述定理中 如果是在上广义 R 可积 则不一定成立 然而 通过一些f ba 条件变换 我们有 定理定理 若在上广义 R 可积 且不变号 则 L 可积 且积分 xf ba xf xf 值相等 证明证明 就无界函数 积分值域为 仅在无界 在 xf 1 0 xf0 a xf 上非负来证明 令 1 0 xfn 0 xf 1 1 1 0 n x n x 则每个 都是非负的有界可测函数 容易证明 xfnNn 且 0 21 xfxf limxfxfn n 由 Levi 定理 dmxfdmxf n n lim 1 01 0 1 1 lim n n dmxf 1 1 lim n n dmxf 证毕 1 0 dmxf 三 三 L 积分与积分与 R 积分的区别积分的区别 从 L 积分与 R 积分的定义来看 两种积分的主要区别是 R 积分是将给定 函数的定义域分小而产生的 而 L 积分则是划分函数的值域而产生的 R 积 分的优点是得度量容易给出 但是当分发的细度充分小时 函数 1 iii xx T 在上的振幅仍可能较大 L 积分的优点是函数 xf i inf supxfxf i i x x i 在上的振幅较小 但不再是区间 xf k E inf sup m Ex Ex E Dxfxf k k k k E 而是可测集 L 积分理论是在测度理论基础上建立的 而测度是平面上度量的 推广 故而 L 积分可以处理有界函数和无界函数的情形 而且把函数定义在更 一般的点集上 而不仅仅局限于上 从而使 L 积分的积分范围比 R 积分更 ba 广泛 而在重积分运算时 R 积分理论要求重积分和两个累次积分都存在时才相等 而 L 积分则只需可测且有一个累次积分存在即可 也就是说在 L 积分理论下重 积分化累次积分的条件减弱了 另一方面 R 积分中的逐项积分问题 也就是积分与极限交换问题 条件 要求非常苛刻 被积函数必须一致收敛 极限才能通过积分号 不仅计算起来 不方便 而且限制过强 L 积分的要求就要比 R 积分少得多 只要函数非负即 可 就 L 控制收敛定理而言 只需存在控制函数使得 即可 因 xFf xF 此在积分与极限交换次序这个问题上 L 积分要比 R 积分灵活方便的多 L 积分与 R 积分的区别 受限于自身的学力 只能对上述问题进行初步探讨 三 总结三 总结 本文从 L 积分与 R 积分的定义 相关积分计算 积分范围 积分与极限交 换次序等简要叙述了两种积分的区别 在普遍意义与广义 R 积分两种情况下用 两个定理表述了两种积分的联系 L 积分的诞生是基于 R 积分本身出现的问题 如在某些求极限问题上 涉 及到无界区间时等 L 积分的出现 使可积函数的范围扩大 为积分与极限交 换次序等问题提供了更方便实用的理论 也为泛函分析的产生奠定了基础 当 然 L 积分的作用远远不止这些 不过由于自身的的学识 只能较浅显的对两种 积分进行讨论 参考文献参考文献 1 曹广