2-3函数的奇偶性与周期性

2 32 3 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 一 一 选择题选择题 1 定义在 定义在 R 上的偶函数上的偶函数 f x 对任意 对任意 x1 x2 0 x1 x2 有 有 0 f x2 f x1 x2 x1 则则 A f 3 f 2 f 1 B f 1 f 2 f 3 C f 2 f 1 f 3 D f 3 f 1 f 2 解析解析 由已知条件函数 由已知条件函数 f x 在在 0 上上递递增 在增 在 0 上上递递减 因此减 因此 f 1 f 2 f 3 又又 f x 为为偶函数 即偶函数 即 f 1 f 2 f 3 答案答案 A 2 f x 是定义在是定义在 R 上以上以 3 为周期的奇函数 且为周期的奇函数 且 f 2 0 则方程 则方程 f x 0 在区间在区间 0 6 内解的内解的 个数的最小值是个数的最小值是 A 2 B 3 C 4 D 7 解析 解析 f x 是定是定义义在在 R 上以上以 3 为为周期的奇函数 周期的奇函数 f 5 f 2 0 f 1 f 2 0 则则 f 1 0 即 即 f 1 0 f 4 f 1 0 又 又 f 0 0 f 3 f 0 0 f 1 5 f 1 5 f 1 5 f 1 5 0 则则 f 4 5 f 1 5 0 因此在区 因此在区间间 0 6 上 上 f 1 f 1 5 f 2 f 3 f 4 f 4 5 f 5 0 解的个数的最小解的个数的最小值为值为 7 答案 答案 D 3 若函数 若函数 f x x2 a R 则下列结论正确的是 则下列结论正确的是 a x A 任意 任意 a R f x 在在 0 上是增函数上是增函数 B 任意 任意 a R f x 在在 0 上是减函数上是减函数 C 存在 存在 a R f x 是偶函数是偶函数 D 存在 存在 a R f x 是奇函数是奇函数 解析解析 当 当 a 0 时时 f x x2是偶函数 故是偶函数 故选选 C 答案答案 C 4 对于定义在 对于定义在 R 上的任一奇函数上的任一奇函数 f x 均有 均有 A f x f x 0 B f x f x 0 C f x f x 0 D f x f x 0 解析 解析 f x f x f x f x f2 x 0 答案 答案 A 二 填空题二 填空题 5 若函数 若函数 f x loga x 是奇函数 则是奇函数 则 a x2 2a2 解析 解析 f x 是奇函数 是奇函数 f 0 0 即 即 loga a 0 2 则则 a 1 且 且 a 0 a 1 因此 因此 a 2 2 2 答案 答案 2 2 6 已知 已知 f x 与与 g x 都是定义在都是定义在 R 上的奇函数 若上的奇函数 若 F x af x bg x 2 且 且 F 2 5 则则 F 2 解析 解析 f x 与与 g x 都是定都是定义义在在 R 上的奇函数 上的奇函数 f x f x g x g x F 2 F 2 af 2 bg 2 2 af 2 bg 2 2 af 2 bg 2 2 af 2 bg 2 2 4 又 又 F 2 5 F 2 4 F 2 4 5 1 答案 答案 1 7 设 设 f x 是定义在是定义在 R 上的奇函数 且上的奇函数 且 y f x 的图象关于直线的图象关于直线 x 对称 则对称 则 f 1 f 2 f 3 1 2 f 4 f 5 解析 解析 根据已知条件根据已知条件 f 1 x f x 且 且 f x f x f x f 1 x 即 即 f 1 x f x 则则 f 0 f 0 即 即 f 0 0 f 1 f 0 0 f 2 f 1 0 f 3 f 2 0 f 4 f 3 0 f 5 f 4 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 0 答案 答案 0 三 解答题三 解答题 8 已知定义在 已知定义在 R 上的奇函数上的奇函数 f x 有最小正周期有最小正周期 2 且当 且当 x 0 1 时 时 f x 2x 4x 1 1 求求 f x 在在 1 1 上的解析式 上的解析式 2 证明证明 f x 在在 0 1 上是减函数 上是减函数 解答 解答 1 只需求出只需求出 f x 在在 x 1 0 和和 x 1 x 0 时的解析式即可 因此 要注意应时的解析式即可 因此 要注意应 用奇偶性和周期性 当用奇偶性和周期性 当 x 1 0 时 时 x 0 1 f x 是奇函数 是奇函数 f x f x 2 x 4 x 1 2x 4x 1 由由 f 0 f 0 f 0 且 且 f 1 f 2 1 f 1 f 1 得得 f 0 f 1 f 1 0 在区间在区间 1 1 上有上有 f x Error 2 证明 当证明 当 x 0 1 时 时 f x 2x 4x 1 设设 0 x1 x2 1 f x1 f x2 2x1 4x1 1 2x2 4x2 1 2x2 2x1 2x1 x2 1 4x1 1 4x2 1 0 x1 x20 2x1 x2 1 0 f x1 f x2 0 即 即 f x1 f x2 故故 f x 在在 0 1 上单调递减 上单调递减 9 已知函数 已知函数 f x 对任意对任意 x y R 都有 都有 f x y f x f y 且 且 x 0 时 时 f x 0 f 1 2 1 求证求证 f x 是奇函数 是奇函数 2 求求 f x 在在 3 3 上的最大值和最小值 上的最大值和最小值 解答 解答 1 证明 令证明 令 x y 0 知 知 f 0 0 再令 再令 y x 则 则 f 0 f x f x 0 所以 所以 f x 为奇函数 为奇函数 2 任取任取 x1 x2 则 则 x2 x1 0 所以 所以 f x2 x1 f x2 x1 f x2 f x1 f x2 f x1 0 所以 所以 f x 为减函数 而为减函数 而 f 3 f 2 1 f 2 f 1 3f 1 6 f 3 f 3 6 所以所以 f x max f 3 6 f x min f 3 6 10 已知函数 已知函数 f x x2 x 0 常数 常数 a R a x 1 讨论函数讨论函数 f x 的奇偶性 并说明理由 的奇偶性 并说明理由 2 若函数若函数 f x 在在 x 2 上为增函数 求实数上为增函数 求实数 a 的取值范围 的取值范围 解答解答 1 函数函数 f x 的定义域为的定义域为 x x 0 当 当 a 0 时 时 f x x2 x 0 显然为偶函数 当显然为偶函数 当 a 0 时 时 f 1 1 a f 1 1 a 因此因此 f 1 f 1 且 且 f 1 f 1 所以函数所以函数 f x x2 既不是奇函数 也不是偶函数 既不是奇函数 也不是偶函数 a x 2 f x 2x 当 当 a 0 f x 0 则 则 f x 在在 2 上是增函数 上是增函数 a x2 2x3 a x2 当当 a 0 时 由时 由 f x 0 解得 解得 x 由 由 f x 在在 2 上是增函数 上是增函数 2x3 a x2 3 a 2 可知可知 2 解得解得 0 a 16 综上可知实数综上可知实数 a 的取值范围是的取值范围是 16 3 a 2 1 函数 函数 f x 的定义域为的定义域为 R 若 若 f x 1 与与 f x 1 都是奇函数 则都是奇函数 则 A f x 是偶函数是偶函数 B f x 是奇函数是奇函数 C f x f x 2 D f x 3 是奇函数是奇函数 解析解析 由已知条件 由已知条件对对 x R 都有都有 f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 因此因此 f x 3 f x 2 1 f x 2 1 f x 1 f x 1 f x 2 1 f x 3 因此函数 因此函数 f x 3 是奇函数 是奇函数 答案答案 D 2 已知函数 已知函数 f x 是定义在是定义在 R 上的奇函数 且它的图象关于直线上的奇函数 且它的图象关于直线 x 1 对称 对称 1 求求 f 0 的值 的值 2 证明 函数证明 函数 f x 是周期函数 是周期函数 3 若若 f x x 0 x 1 求 求 x R 时 函数时 函数 f x 的解析式 的解析式 解答 解答 1 由由 f x 是定义在是定义在 R 上的奇函数知上的奇函数知 f 0 f 0 即 即 f 0 0 2 证明 由已知条件对于任意证明 由已知条件对于任意 x R 都有 都有 f x f x 且 且 f 2 x f x f 4 x f 2 x f 2 x f x f x 因此函数 因此函数 f x 为周期函数 周期为为周期函数 周期为 4 3