数学建模选拔队员问题

精品文档 1欢迎下载 数学建模选拔队员问题 摘要 全国研究生数学建模竞赛是一项关系到学校和个人荣誉的比赛 因此一个参赛院 校如何选拔最优秀的队员和科学合理地组队是一个亟待解决的问题 我们建立模型解决数 学建模队员选拔与组队问题 第一 队员选择模型 首先 我们将所给队员的七项基本条 件指标划分为知识 能力 表现三类 运用层次分析法 建立成对比较矩阵 得到三类的 权重继而得到七项条件的权重 然后采用模糊物元法 计算每位队员各项指标的联系系数 并与权重结合得到队员的联系度 依此排名 淘汰排名最后的五位队员 第二 最佳组队 模型 首先对于某些互补性的条件指标 取三名队员的最大值作为整队指标 对于某些整 体性的条件指标 取三名队员的平均值作为整队指标 然后结合各指标权重建立竞赛水平 函数 同时对每项指标进行一定约束 最后通过 Matlab 软件计算 求得最佳组队队员 关键词 选拔队员与组队 层次分析法 模糊物元法 竞赛水平函数 1 引言 数学建模竞赛要求以不超过三人的团队参加 其主旨为培养学生的创新意识和团队精 神 这是一项关系到学校和个人荣誉的比赛 因此一个参赛院校如何选拔最优秀的队员和 科学合理地组队是一个亟待解决的问题 目前 2012 年浙江师范大学有 26 名队员准备参 加竞赛 已知每位队员的平时成绩 智力水平 计算机能力 参赛经验 写作能力 协作能 力 身体状况 假设所有队员接受了同样的培训 不考虑其他随机因素的影响 我们建立数 学模型解决如下问题 1 在 26 名队员中选择 21 名优秀队员参加竞赛 2 确定一个最佳的组队方案使竞赛技术水平最高 2 模型假设 1 假设所有队员接受了同样的培训 不考虑其他随机因素的影响 假设层次分析求权重带来的主观因素影响不会有太大影响 3 符号说明 符号说明 A B成对比较矩阵 ij a表示第 i 个因素相对于第 j 个因素的比较结果 CI 一致性检验指标数 RI 随机一致性指标 CR 一致性比率 指标权重 精品文档 2欢迎下载 i M方案 j C特征评价指标 ji x指标量值 max ji x x ji的最大值 min ji x x ji的最小值 关联系数 i 各个条件指标的权重系数 1 2 7 klm iii aaai 随机取三个人的第 项条件的联系系数 k l m i 1 2 5 i p i 第 项条件联系系数的最大值i 6 7 i q i 第 项条件联系系数的平均值 i f竞赛水平函数 4 队员选择模型 我们在选拔数学建模队员时 一个队员的能力是可以从多方面衡量的 比如计算机能 力 智力水平 写作能力等 我们采用层次分析法和模糊物元法相结合来进行多因素的排 序 4 1 层次分析法求各条件指标权重 不同的条件指标对于数学建模队员选拔的影响效力是不同的 因此对于各指标需要给 定权重 我们采用层次分析法 层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法 该方 法将定量分析与定性分析结合起来 用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间 的相对重要程度 并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数 利用权数求出各方案的 优劣次序 比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题 4 1 1层次结构 通过分析数学建模队员要求 我们可以发现 有的要求是针对队员的知识 如平时成 绩 智力水平 有的要求是针对队员的能力 如计算机能力 参赛经历 写作能力 这些 都是三人的数模团队中有人可以达到较高水平就可以的 而有的要求是针对队员的表现 如协作能力 身体状况 这些需要三个人都达到较高水平才能取得更好成绩 基本的层次结构如下图所示 队员评价 精品文档 3欢迎下载 4 1 2 构造成对矩阵 层次单排序 层次分析是一种定性分析和定量计算相结合的分析方法 根据相关文献构造各因素间 的成对比较矩阵 表 1 判断矩阵元素 aij的标度方法 尺度含义 1 表示两个因素相比 具有同样重要性 3 表示两个因素相比 一个因素比另一个因素稍微重要 5 表示两个因素相比 一个因素比另一个因素明显重要 7 表示两个因素相比 一个因素比另一个因素强烈重要 9 表示两个因素相比 一个因素比另一个因素极端重要 2 4 6 8上述两相邻判断的中值 倒数因素 i 与 j 比较的判断 aij 则因素 j 与 i 比较的判断 aji 1 aij 知识 能力和表现的成对比较矩阵 1 12 2 212 11 1 22 A 求出矩阵 A 的特征值和特征向量 并做归一化处理 得到各个因素权重 0 3108 0 4934 0 1958 w 由于 3 0536 查表得 RI 0 58 可得 一致性指标 CI 0 0268 0 1 一致性比率 CR 0 0462 0 1 通过一致性检验 能力 智 力 水 平 计 算 机 能 力 写 作 能 力 协 作 能 力 身 体 状 况 知识 表现 平 时 成 绩 26 名队员 参 赛 经 历 精品文档 4欢迎下载 平时成绩和智力水平的成对比较矩阵 1 1 1 2 21 B 求出矩阵 B1的特征值和特征向量 做归一化处理 通过一致性检验 得到各个因素权 重 0 3333 0 6667 1 w 计算机能力 参赛经验和写作水平的成对比较矩阵 2 132 11 1 33 1 31 2 B 求出矩阵 A 的特征值和特征向量 并做归一化处理 得到各个因素权重 0 5278 0 1396 0 3326 2 w 由于 3 0536 查表得 RI 0 58 可得 一致性指标 CI 0 0268 0 1 一致性比率 CR 0 0462 0 1 通过一致性检验 协作能力和身体状况的成对比较矩阵 3 13 1 1 3 B 求出矩阵 A 的特征值和特征向量 做归一化处理 通过一致性检验 得到各个因素权 重 0 75 0 25 3 w 4 1 3 层次总排序 根据以上层次单排序 求得每项条件指标的权重 以平时成绩为例 其权重 1 0 3108 0 33330 1036 同样地 得其余各项条件指标的权重 得层次总排序如下 i 0 1036 0 2072 0 2604 0 0689 0 1641 0 1469 0 0490 4 2 模糊物元法选拔队员 由于多因素关系的描述具有不确定性 随机性和模糊性 我们采用模糊物元法 模糊物元法是在物元分析的基础上提出描述事物模糊性的一门介于数学与试验之间的 科学工具 它是由一个三元有序组构成的 即由事物 N 特征 C 和关于模糊特征的量值 V 组成的三元有序组 R R N C V 它比模糊数学更能给出有关模糊的定量描述和处 理 使排序决策结果更具真实性和准确性 4 2 1 模糊物元多因素排序的具体过程与步骤方法 第 1 步 建立排序决策方案的物元 对于排序决策方案 将其事物 特征以及量值用有序三元组描述 即事物就是方案 Mi 特征评价指标 Cj 量值 x ji构成的如下物元 即 精品文档 5欢迎下载 12 111211 212222 12 m m mnm nnnmn MMM Cxxx RCxxx Cxxx 第 2 步 确定指标的隶属度 排序实际就是指标衡量标准的优劣确定 通常指标有成本型和效益型指标两大类 成 本型指标是指数值越小越好的指标 而效益型指标是指数值越大越好的指标 对于两类指 标可以采用如下的方法来确定隶属度 对于成本型指标 1 max maxmin jiji ji jiji xx U xx 对于效益型指标 2 min maxmin jiji ji jiji xx U xx 第 3 步 从隶属度到关联数变换 关联度变换就是隶属度与关联系数的转换 由于在物元分析中其值是相等的 因此关联 系数 ji U 第 4 步 模糊物元排序方案矩阵建立 用隶属度值代替联系系数值后 即建立了联系系数的模糊物元 记 3 12 111211 212222 12 m m m nnnmn MMM C RC C 第 5 步 利用层次分析法确定指标权重系数 权重系数的计算方法很多 有 AHP 法 变异系数法 专家经验判断法 综合赋权等方 法 本文采用如上 AHP 层次分析法 得指标权重 第 6 步 计算联系度并进行最终优劣排序 关联度是模糊物元排序决策方案之间关联性的大小 通过其值大小进行优劣排序即可 得到最终结果 联系度 k RR 精品文档 6欢迎下载 4 2 2 队员选拔 联系系数的模糊物元 该七项条件指标均为效益型指标 故采用公式计算隶属度 并 min maxmin jiji ji jiji xx U xx 用隶属度值代替联系系数值 建立了联系系数的模糊物元 得到下表2 表2 各队员效益型指标 条件 队员 平时成绩智力水平计算机能力参赛经验写作能力协作能力身体状况 G1 00000 79170 32140 50000 37140 72410 4688 K0 00000 66670 28570 43331 00000 62070 8438 D0 77781 00000 28570 50000 74290 82760 8125 B0 88890 83330 10710 33330 48570 93100 7813 Q0 74070 33330 78570 66670 62860 86210 4688 I1 00000 37500 82140 86670 48570 62070 6875 X0 74070 87500 42860 60000 74290 37930 5313 U0 48150 00000 42860 90000 82860 62070 6875 N0 37040 66670 60710 80000 34290 79310 6250 V0 92590 95830 35710 56670 65710 86210 7813 T1 00000 37500 75000 83330 42860 44830 0000 E0 18520 33330 57141 00000 77140 48281 0000 R0 70370 87500 46430 56670 51430 86210 5313 Z0 44440 75000 17860 83330 71430 65520 5000 W0 44440 62500 00000 76670 82860 00000 4688 P0 70370 79170 82140 86670 62860 65520 8125 A0 51850 66670 03570 50000 82860 93100 3750 C0 18520 83330 85710 73330 77140 44830 5313 F0 85190 79170 10710 00000 00000 44830 6563 O0 74070 75000 64290 70000 82861 00000 6875 M0 81480 91670 21430 06670 45710 82760 5625 Y0 70370 58330 82140 70000 11430 65520 8750 J0 81480 79171 00000 46670 45710 58620 8438 S0 44440 25000 75000 93330 71430 44830 4688 L0 51850 75000 85710 16670 68570 89660 8438 H0 66670 87500 14290 50000 48570 79310 9375 将权重代入公式 0 1036 0 2072 0 2604 0 0689 0 1641 0 1469 0 0490 求得各队员联系度及排名 k RR 表3 各队员联系度排名 精品文档 7欢迎下载 排名队员联系度排名队员联系度排名队员联系度 1G0 764310V0 649119F0 5589 2K0 749811T0 614620O0 5525 3D0 743512E0 613821M0 5433 4B0 729413R0 593122Y0 5390 5Q0 699314Z0 576123J0 5267 6I0 684115W0 570424S0 4843 7X0 679916P0 570225L0 3873 8U0 659517A0 564226H0 3782 9N0 651218C0 5635 我们将最后5名的队员Y J S L H淘汰 选择排名1至21的队员参加比赛 作如下图 1 所示的 G Y J S LH 队员的雷达图 可以直观地看到依据联系度得到的排名 第一 G 和最后五位 Y J S L H 的差别 可见在选择数学建模队员时 有着很明显的 缺陷是不可取的 精品文档 8欢迎下载 图 1 六名队员的雷达图 5 最佳组队模型 第二问是确定最佳的组队方案 使竞赛技术水平最高 对某队的竞赛技术水平 我们 可作如下解读 1 对于某些条件 须考虑队员之间的互补性 即该队某项条件的优劣程度应以该组中 最优者为准 这些考虑互补性的条件包括平时成绩 智力水平 计算机能力 参赛经验和 写作能力 故可取三人联系系数的最大值作为该队某项条件的联系系数 2 对于某些条件 则须考虑三人总体的优劣情况 比如协作能力和身体状况 每位参 赛队员的协作能力和身体状况都会对整支队伍的竞赛水平带来影响 故取三人联系系数的 平均值作为该队某项条件的联系系数 再根据由第一问层次分析法所得的每项条件指标的权重系数 建立竞赛水平函数 f 并任取 3 名队员组合 根据值大小确定最佳组队方案 f 设表示 20 个人中随机取三个人的第 项条件的1 2 7 klm iii aaai k l mi 联系系数 表示取三个人第 项条件联系系数的最大值为新联系系1 2 5 i p i k l mi 数 表示取三个人第 项条件联系系数的平均值为新联系系数 6 7 i qi k l mi 仍表示每项条件指标的权重系数 1 2 7 i i 和反映的是该组队伍各项条件指标的优劣情况 为保证每组队伍的每项指标的 i p i q 能力都能在中等以上 我们对其大小做一定的限定 规定其均须不小于 0 5 根据以上分 析 我们建立如下模型 4 max 1 2 5 klm iiii paa ai 5 1 6 7 3 klm iiii qaaai 6 0 51 2 5 0 56 7 ii piqi 精品文档 9欢迎下载 7 57 16 iiii ii fpq 此目标函数即为一个队的竞赛水平 任取 3 名队员组合 根据值大小找到竞赛水ff 平最高的队伍 即确定了最佳组队方案 我们运用 Matlab 编程求解 将问题一中淘汰的 5 名队员的各项联系系数归零 并仍然 在 26 个人中挑选队员 由于要求的是目标函数的最大值 故对此没有影响 淘汰的 5 名队 员会被程序自动排除 并先随机选取一个队伍 程序跑遍所有可能的情况 取全部情况的 最大值作为最高竞赛水平的队伍 得到结论为 队员为 D G Q 时 竞技水平最高 再观察三位队员的 max 0 8967f 各项联系系数可知 该组前五项指标的最大值为 0 9259 0 9583 1 0