2006年华南理工数学分析考研试题及解答

1 华南理工大学 2006 年数学分析考研试题解答 1 解 设 n annn 357 nnnn n b limlim n nn n a nnn 11 lim 21 11 n n limlim3577 nnnn n nn b 所以 1 lim 1 2 lim lim714 n nn n nn n a a bb 2 证明 显然有 0 n x 2 1 2 22 nn n nn xAxA xA xx 2 1 2 n nnn n xA xxx x 2 0 2 n n Ax x 所以单调递减有下届 于是收敛 1 0 nn xx n x n x 设 lim n n xa aA 则有 2 2 aA a a 2 aA aA 故 lim n n xA 3 证明 1 当时 显然成立 1 2 当时 对 显然有 1 01x 111xxxx 设 1f xxx 1 1 1fxxx 1 0 2 f 当时 有 在上单调递增 1 1 2 x 0fx f x 1 1 2 当时 有 在上单调递减 1 0 2 x 0fx f x 1 0 2 2 所以在处达到最小值 f x 1 2 x 1 2 f xf 故有 1 1 11 2 xx 3 当时 对 显然有 01 01x 111xxxx 设 1g xxx 1 1 1gxxx 1 0 2 f 当时 有 在上单调递增 1 0 2 x 0gx g x 1 0 2 当时 有 在上单调递减 1 1 2 x 0gx g x 1 1 2 所以在处达到最大值 g x 1 2 x 1 2 g xf 故有 1 1 11 2 xx 4 证明 由在区间上连续 存在 使得 1 Sx a b0M 1 SxM 21 x a SxSt dtM xa 2 32 2 x a M SxSt dtxa 由递推关系及归纳法 可知 1 1 1 x n nn a M SxSt dtxa n 从而 1 1 n n M Sxba n 显然有收敛 1 1 1 n n M ba n 于是在上一致收敛 在区间上一致收敛于 1 n n Sx a b n Sx a b0 5 解 由 0F xaz ybz 知 10 uv zz FaF b xx 3 u uv Fz xaFbF 10 uv zz FaFb yy v uv Fz yaFbF 从而 1 zz ab xy 于是 22 22 1 xy xy zz eabdxdy xy 22 22 1 1 xy xy edxdy 221 00 r derdr 21 0 1 2 2 r edr 1 1e 6 解 设 2 sinPxy 22 cosQxyy 22 sin QP xxy xy 2 1 11Dx yxyx 1 11 1Lx yxy 利用格林公式 得 2 22 sincos L xydxxyy dy 11 LLL PdxQdy 1 2 1 22 sinsin1 D xxydxdyxdx 1 2 1 2sin1 D ydxdyxdx 2 111 11 1 cos2 21 2 x x dxydydx 11 4 11 131 21cos2 222 xdxx dx 7 解 设 1 ax ax e f xexx x 4 显然 lim x f x 由于 所以在上 有 0 ax e 0 x ax ex 01f 1 ax fxae 当时 0 1 lnxa a 0fx 当时 时 有 1a 0 0 x 0 xx 0fx 在上严格单调递增 f x 0 x 时 此时 无正实根 0 x 01f xf ax ex 当时 01a 0 0 x 在上严格单调递增 在上严格单调递减 f x 0 x 0 0 x 在处达到最小值 f x 0 x 1ln 0 1 ln aa a f xea a 111 ln1 lnaa aaa 故当时 有唯一的正实根 1 a e 0 0f x f x 当时 无正实根 1 a e f x 当 有两个正实根 1 0a e 0 0f x f x 八 设 1 如果在上连续 且存在 证明 0 0 baf 0 lim fxf x a b ffdx x bxfaxf ln 0 0 2 如果在上连续 且收敛 证明 f 0 dx x xf 1 a b fdx x bxfaxf ln 0 0 3 如果在上连续 存在 且收敛 f 0 lim fxf x dx x xf 1 0 证明 a b fdx x bxfaxf ln 0 这里的三个积分公式 都称为傅茹兰尼公式 证明 1 对任何 0 0 A 5 dx x bxfaxf A dx x axf A dx x bxf A dy y yf aA a dy y yf bA b dy y yf b a dy y yf aA bA 其中在与之间 dy y yf b a dy y f b a 1 a b fln a b 从而 当时 趋于 0 dy y yf b a a b fln 0 其中在与bA之间 dy y yf aA bA dy y f aA bA 1 a b fln aA 从而 当时 趋于 Ady y yf aA bA a b fln 于是 当 时 趋于 0 Adx x bxfaxf A a b ffln 0 故 a b ffdx x bxfaxf ln 0 0 2 对任何 0 0 A dx x bxfaxf A dy y yf b a dy y yf aA bA 其中在与之间 dy y yf b a dy y f b a 1 a b fln a b 从而 当时 趋于 0 dy y yf b a a b fln 0 因为收敛 则当时 趋于 0 dx x xf 1 Ady y yf aA bA 故 a b fdx x bxfaxf ln 0 0 3 对任何 0 0 A dx x bxfaxf A dy y yf b a dy y yf aA bA 因为收敛 则当时 趋于 0 dx x xf 1 0 0 dy y yf b a 其中在与bA之间 dy y yf aA bA dy y f aA bA 1 a b fln aA 从而 当时 趋于 Ady y yf aA bA a b fln 6 故 a b fdx x bxfaxf ln 0 9 解 设 1 2 1 1 n n n x ux n 当时 显然 0 x 1 lim n n n ux x ux 当时 原级数发散 1x 当 有 1x 2 1 1 n ux n 所以在上一致收敛 原级数的收敛域为 2 n n ux 1 1 1 1 1 2 2 1 1 n n n x n 1 2 111 1 211 n n n x nn 11 22 1 11 211 nn nn nn xx nn 1 2 1 1 n n n x n 0 2 1 x n n n t dt 0 2 x n n tdt 2 01 x t dt t 0 1 1 1 x tdt t 2 1 ln 1 2 xxx 1 2 1 1 n n n x n 1 2 2 2 1 1 n n n x x n 21 2 2 1 21 k k k xx xx k 2 22 1 ln 1 22 x xxxxx 故 1 2 2 1 1 n n n x n 2 222 111 1 ln 1ln 1 2222 2 x xxxxxxxx 10 证明 存在常数 使得 0M y fx yM 0 0 0 00 0f x yff x yf xf xf 7 00 0 y fxyf xf 00 0M yf xf 由条件知 0 0 lim 00 00 x y M yf xf 由夹逼定理 知 0 0 lim 0 00 x y f x yf 即在点处连续 f x y 0 0 11 证明 显然在上连续 f x 0 2 2 0 limlim x t x xx xe dt f x e 22 2 0 lim 2 x tx x x e dtxe xe 2 2 0 1 lim 2 2 x t x x e dt xe 2 22 2 1 lim 2 24 x xx x e ex e 2 1111 lim0 22422 x x 即得在上连续 且存在有限 f x 0 lim x f x 所以在上一致连续 f x 0 12 解 显然在上连续 2 1 n ux nx n ux 0 又 22 11 n ux nxn 而收敛 于是有在上一致收敛 2 1 1 n n 1 n n ux 0 从而在上连续 1 n n f xux 0 对任意 12 0 x x 12 22 1 12 11 n f xf x nxnx 8 12 22 1 12 1 n xx nxnx 1212 4 1 1 n x