浙教版二次函数专题

精品文档 1 欢迎下载 二次函数知识点二次函数知识点 1 二次函数定义 一般地 如果是常数 那么叫cbacbxaxy 2 0 ay 做的二次函数 x 2 二次函数的解析式有三种形式 1 一般式 0 2 acbacbxaxy是常数 2 顶点式 0 2 akhakhxay是常数 3 当抛物线与 x 轴有交点时 即对应二次好方程cbxaxy 2 有实根和存在时 根据二次三项式的分解因式0 2 cbxax 1 x 2 x 二次函数可转化为两根式 21 2 xxxxacbxax cbxaxy 2 如果没有交点 则不能这样表示 21 xxxxay 3 二次函数 的图像是对称轴平行于 包括重合 轴cbxaxy 2 y 的抛物线 4 二次函数用配方法可化成 的形式 其中cbxaxy 2 khxay 2 a bac k a b h 4 4 2 2 5 二次函数由特殊到一般 可分为以下几种形式 2 axy kaxy 2 2 hxay khxay 2 cbxaxy 2 6 6 抛物线的三要素 抛物线的三要素 开口方向 对称轴 顶点 的符号决定抛物线的开口方向 a 当时 开口向上 0 a 当时 开口向下 0 a 相等 抛物线的开口大小 形状相同 a 平行于轴 或重合 的直线记作 特别地 轴记作直线yhx y 0 x 7 7 顶点决定抛物线的位置 顶点决定抛物线的位置 几个不同的二次函数 如果二次项系数相同 那么抛物线的a 精品文档 2 欢迎下载 开口方向 开口大小完全相同 只是顶点的位置不同 8 8 求抛物线的顶点 对称轴的方法 求抛物线的顶点 对称轴的方法 1 公式法 顶点是 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 对称轴是直线 a bac a b 4 4 2 2 a b x 2 2 配方法 运用配方的方法 将抛物线的解析式化为的形式 得到 khxay 2 顶点为 对称轴是直线 h khx 3 运用抛物线的对称性 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 所以对称轴的连 线的垂直平分线是抛物线的对称轴 对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点 再用公式法或对称性进行验证 才能做到万无一失 9 9 抛物线 抛物线中 中 的作用的作用cbxaxy 2 cba 1 决定开口方向及开口大小 这与中的完全一样 a 2 axy a 2 和共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线bacbxaxy 2 的对称轴是直线 故 a b x 2 时 对称轴为轴 0 by 即 同号 时 对称轴在轴左侧 0 a b aby 即 异号 时 对称轴在轴右侧 0 a b aby 3 的大小决定抛物线与轴交点的位置 ccbxaxy 2 y 当时 抛物线与轴有且只有一个交点 0 0 xcy cbxaxy 2 yc 抛物线经过原点 与轴交于正半轴 与轴交于负半0 c0 cy0 cy 轴 以上三点中 当结论和条件互换时 仍成立 如抛物线的对称轴在轴右侧 则 y 0 a b 精品文档 3 欢迎下载 10 几种特殊的二次函数的图像特征如下 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 轴 0 xy 0 0 kaxy 2 轴 0 xy 0 k 2 hxay hx 0 h khxay 2 hx h k cbxaxy 2 当时0 a 开口向上 当时0 a 开口向下 a b x 2 a bac a b 4 4 2 2 1111 用待定系数法求二次函数的解析式 用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxaxy 2 xy 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 khxay 2 3 交点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 1212 直线与抛物线的交点 直线与抛物线的交点 1 轴与抛物线得交点为 0 ycbxaxy 2 c 2 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点 yhx cbxaxy 2 h cbhah 2 3 抛物线与轴的交点x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标 是对应一元cbxaxy 2 x 1 x 2 x 二次方程的两个实数根 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一0 2 cbxaxx 元二次方程的根的判别式判定 有两个交点抛物线与轴相交 0 x 有一个交点 顶点在轴上 抛物线与轴相切 x 0 x 精品文档 4 欢迎下载 没有交点抛物线与轴相离 0 x 4 平行于轴的直线与抛物线的交点x 同 3 一样可能有 0 个交点 1 个交点 2 个交点 当有 2 个交点时 两交点的纵坐 标相等 设纵坐标为 则横坐标是的两个实数根 kkcbxax 2 5 一次函数的图像 与二次函数的图像 0 knkxyl 0 2 acbxaxy 的交点 由方程组 的解的数目来确定 方程组有两组不同G cbxaxy nkxy 2 的解时与有两个交点 方程组只有一组解时与只有一个交点 lG lG 方程组无解时与没有交点 lG 6 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为xcbxaxy 2 x 由于 是方程的两个根 故 00 21 xBxA 1 x 2 x0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 例题经典 由抛物线的位置确定系数的符号由抛物线的位置确定系数的符号 例例 1 1 1 二次函数的图像如图 1 则点在 2 yaxbxc a c bM A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 2 所示 则下列结论 a b 同 号 当 x 1 和 x 3 时 函数值相等 4a b 0 当 y 2 时 x 的值只能取 0 其中正确 的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 精品文档 5 欢迎下载 1 2 点评 弄清抛物线的位置与系数 a b c 之间的关系 是解决问题的关键 例 2 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于点 2 O x1 0 且 1 x1 2 与 y 轴 的正半轴的交点在点 O 2 的下方 下列结论 a bO 4a cO 其中正确结论的个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 D 会用待定系数法求二次函数解析式会用待定系数法求二次函数解析式 例 3 已知 关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 3 的一个根为 x 2 且二次函数 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x 2 则抛物线的顶点坐标为 A 2 3 B 2 1 C 2 3 D 3 2 答案 C 例 4 如图 单位 m 等腰三角形 ABC 以 2 米 秒的速度沿直线 L 向正方形移动 直 到 AB 与 CD 重合 设 x 秒时 三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2 1 写出 y 与 x 的关系式 2 当 x 2 3 5 时 y 分别是多少 3 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时 三角 形移动了多长时间 求抛物线顶点坐标 对称轴 例 5 已知抛物线 y x2 x 1 2 5 2 1 用配方法求它的顶点坐标和对称轴 2 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A B 求线段 AB 的长 点评 本题 1 是对二次函数的 基本方法 的考查 第 2 问主要考查二次函 数与一元二次方程的关系 精品文档 6 欢迎下载 例 6 已知 二次函数 y ax2 b 1 x 3a 的图象经过点 P 4 10 交 x 轴于 0 1 xA 两点 交 y 轴负半轴于 C 点 且满足 3AO OB 0 2 xB 21 xx 1 求二次函数的解析式 2 在二次函数的图象上是否存在点 M 使锐角 MCO ACO 若存在 请你 求出 M 点的横坐标的取值范围 若不存在 请你说明理由 1 解 如图 抛物线交 x 轴于点 A x1 0 B x2 O 则 x1 x2 3 0 又 x1O x1 O 30A OB x2 3x1 x1 x2 3x12 3 x12 1 x1 0 x1 1 x2 3 点 A 1 O P 4 10 代入解析式得解得 a 2 b 3 二次函数的解析式为 y 2x2 4x 6 2 存在点 M 使 MC0 ACO 2 解 点 A 关于 y 轴的对称点 A 1 O 直线 A C 解析式为 y 6x 6 直线 A C 与抛物线交点为 0 6 5 24 符合题意的 x 的范围为 1 x 0 或 O x 5 当点 M 的横坐标满足 1 x O 或 O x ACO 例 7 已知函数的图象经过点 A c 2 求证 这个cbxxy 2 2 1 二次函数图象的对称轴是 x 3 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字 1 根据已知和结论中现有的信息 你能否求出题中的二次函数解析式 若能 请写 出求解过程 并画出二次函数图象 若不能 请说明理由 2 请你根据已有的信息 在原题中的矩形框中 填加一个适当的条件 把原题补充 完整 解答 1 根据的图象经过点 A c 2 图象的对称轴是cbxxy 2 2 1 x 3 得 解得 3 2 1 2 2 2 1 2 b cbcc 2 3 c b 精品文档 7 欢迎下载 所以所求二次函数解析式为图象如图所示 23 2 1 2 xxy 2 在解析式中令 y 0 得 解得023 2 1 2 xx 53 53 21 xx 所以可以填 抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是 3 或 抛物线与 x 轴的一 0 5 个交点的坐标是 令 x 3 代入解析式 得所以抛物线 0 53 2 5 y 的顶点坐标为所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等 23 2 1 2 xxy 2 5 3 2 5 3 函数主要关注 通过不同的途径 图象 解析式等 了解函数的具体特征 借助多种 现实背景理解函数 将函数视为 变化过程中变量之间关系 的数学模型 渗透函数的思 想 关注函数与相关知识的联系 用二次函数解决最值问题用二次函数解决最值问题 例例 1 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE 如图 其中 AF 2 BF 1 试在 AB 上求一点 P 使矩形 PNDM 有最大面积 解 设矩形 PNDM 的边 DN x NP y 则矩形 PNDM 的面积 S xy 2 x 4 易知 CN 4 x EM 4 y 且有 即 S xy 2 x 4 此二次函数的图象开口向下 对称轴为 x 5 当 x 5 时 函数值是随 x 的增大而增大 对 2 x 4 来说 当 x 4 时 S 有最大值 S最大 例 2 某产品每件成本 10 元 试销阶段每件产品的销售价 x 元 与产品的日销售量 y 件 之间的关系如下表 x 元 152030 y 件 252010 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 1 求出日销售量 y 件 与销售价 x 元 的函数关系式 2 要使每日的销售利润最大 每件产品的销售价应定为多少元 此时每日销售利 润是多少元 解析 1 设此一次函数表达式为 y kx b 则 解得 k 1 b 40 1525 220 kb kb 即一次函数表达式为 y x 40 2 设每件产品的销售价应定为 x 元 所获销售利润为 w 元 w x 10 40 x x2 50 x 400 x 25 2 225 精品文档 8 欢迎下载 产品的销售价应定为 25 元 此时每日获得最大销售利润为 225 元 二次函数对应练习试题二次函数对应练习试题 一 选择题一 选择题 1 二次函数的顶点坐标是 2 47yxx A 2 11 B 2 7 C 2 11 D 2 3 2 把抛物线向上平移 1 个单位 得到的抛物线是 2 2yx A B C D 2 2 1 yx 2 2 1 yx 2 21yx 2 21yx 3 函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的 2 ykxk 0 k yk x 4 已知二次函数的图象如图所示 则下列结论 a b 同号 当 2 0 yaxbxc a 和时 函数值相等 当时 的值只能取 0 其中正确的个1x 3x 40ab 2y x 数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 已知二次函数的顶点坐标 1 3 2 及部分图象 如图 由图 2 0 yaxbxc a 象可知关于的一元二次方程的两个根分别是x 2 0axbxc 12 1 3xx 和 B 2 3 C 0 3 D 3 3 6 已知二次函数的图象如图所示 则点在 2 yaxbxc ac bc A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7 方程的正根的个数为 2 2 2xx x A 0 个 B 1 个 C 2 个 3 个 精品文档 9 欢迎下载 8 已知抛物线过点 A 2 0 B 1 0 与轴交于点 C 且 OC 2 则这条抛物线的解析式为 y A B 2 2yxx 2 2yxx C 或 D 或 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 二 填空题二 填空题 9 二次函数的对称轴是 则 2 3yxbx 2x b 10 已知抛物线 y 2 x 3 5 如果 y 随 x 的增大而减小 那么 x 的取值范围是 11 一个函数具有下列性质 图象过点 1 2 当 0 时 函数值随自变量xy 的增大而增大 满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可 x 12 抛物线的顶点为 C 已知直线过点 C 则这条直线与两坐 2 2 2 6yx 3ykx 标轴所围成的三角形面积为 13 二次函数的图象是由的图象向左平移 1 个单位 再向 2 241yxx 2 2yxbxc 下平移 2 个单位得到的 则 b c 14 如图 一桥拱呈抛物线状 桥的最大高度是 16 米 跨度是 40 米 在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地方 桥的高度是 取 3 14 三 解答题 三 解答题 15 已知二次函数图象的对称轴是 图象经过 1 6 且与轴的交点为 0 30 x y 5 2 1 求这个二次函数的解析式 2 当 x 为何值时 这个函数的函数值为 0 3 当 x 在什么范围内变化时 这个函数的函数值随 x 的增大而增大 y 16 某种爆竹点燃后 其上升高度 h 米 和时间 t 秒 符合关系式 2 0 1 2 hv tgt 0 t 2 其中重力加速度 g 以 10 米 秒 2计算 这种爆竹点燃后以 v0 20 米 秒的初速 度上升 1 这种爆竹在地面上点燃后 经过多少时间离地 15 米 2 在爆竹点燃后的 1 5 秒至 1 8 秒这段时间内 判断爆竹是上升 或是下降 并说 明理由 第 15 题图 精品文档 10 欢迎下载 17 如图 抛物线经过直线与坐标轴的两个交点 A B 此抛物线 2 yxbxc 3yx 与轴的另一个交点为 C 抛物线顶点为 D x 1 求此抛物线的解析式 2 点 P 为抛物线上的一个动点 求使 5 4 的点 P 的坐标 APC S ACD S 18 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料 这里的代销是指厂家先免费提供货源 待货 物售出后再进行结算 未售出的由厂家负责处理 当每吨售价为260 元时 月销售量为45 吨 该建材店为提高经营利润 准备采取降价的方式进行促销 经市场调查发现 当每吨 售价每下降 10 元时 月销售量就会增加 7 5 吨 综合考虑各种因素 每售出一吨建筑材 料共需支付厂家及其它费用 100 元 设每吨材料售价为 x 元 该经销店的月利润为 y 元 1 当每吨售价是 240 元时 计算此时的月销售量 2 求出 y 与 x 的函数关系式 不要求写出 x 的取值范围 3 该建材店要获得最大月利润 售价应定为每吨多少元 4 小静说 当月利润最大时 月销售额也最大 你认为对吗 请说明理由 精品文档 11 欢迎下载 练习试题答案练习试题答案 一 选择题 1 A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 二 填空题 9 10 3 11 如等 答案不唯一 4b x 2 24 24yxyx 12 1 13 8 7 14 15 三 解答题 15 1 设抛物线的解析式为 由题意可得 2 bxcyax 解得 所以 15 3 22 abc 2 15 3 22 yxx 2 或 5 2 1x 3x 16 1 由已知得 解得当时不合题意 舍去 2 1 152010 2 tt 12 3 1tt 3t 所以当爆竹点燃后 1 秒离地 15 米 2 由题意得 可 2 520htt 2 5 2 20t 知顶点的横坐标 又抛物线开口向下 所以在爆竹点燃后的 1 5 秒至 108 秒这段时间2t 内 爆竹在上升 3 2