工程力学 第10章 应力状态分析(1)

1 eBook 工程力学 1 学习指导 第 10 章 2003 7 3 范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室 FAN Qin Shan s Education Teaching Studio 2 第二篇 弹性静力学 第 10 章 应力状态分析 杆件横截面上正应力与剪应力分析结果表明 一般情形下 杆件 横截面上不同点的应力是不相同的 本章还将证明 过同一点的不同 方向面上的应力 一般情形下也是不相同的 因此 当提及应力时 必须指明 哪一个面上 哪一点 的应力或者 哪一点 哪一个方向 面 上的应力 此即 应力的点和面的概念 所谓应力状态又称为一点处的应力状态 是指过一点不同方向面 上应力的集合 应力状态分析是用平衡的方法 分析过一点不同方向面上的应力 以及这些应力之间的相互关系 并确定这些应力中的极大值和极小值 以及它们的作用面 与前几章中所采用的平衡方法不同的是 平衡对象既不是整体杆 或某一段杆 也不是微段杆或其一部分 而是三个方向尺度均为小量 的微元局部 此外 本章中还将采用与平衡解析式相比拟的方法 作为分析和 思考问题的一种手段 快速而有效地处理一些较为复杂的问题 从而 避免死背硬记繁琐的解析公式 一 教学要求与学习目标 1 正确理解关于应力的三个重要概念 G 应力的点的概念 G 应力的面的概念 G 一点应力状态的概念 3 2 正确理解什么是应力状态 为什么要研究应力状态 怎样 描述一点的应力状态 3 正确应用平衡方法确定微元任意斜截面上的正应力与切应 力 4 正确理解主平面 主应力 主方向 面内最大切应力 一 点的最大切应力等概念 正确应用解析方法和应力圆的方法确定 主平面 主应力 主方向 面内最大切应力 一点的最大切应力 5 正确应用广义胡克定律 二 理 论 要 点 1 一点应力状态及其表示方法 在一般受力形式下 构件上各点 即使是同一截面上的各点 的应力是不同 的 因此 说明应力时 必须首先指明是哪一点的应力 这就是应力的 点的概 念 其次 过一点可以作很多方向不同的平面 简称 方向面 即使是同一 点 不同方向面上的应力也是不同的 因此 说明一点应力时 还需要指明过这 一点哪个方向面上的应力 这就是应力的 面的概念 所谓 一点的应力状态 就是指过一点各个方向面上应力的总称 为了表 示一点应力状态 在一般情况下 总是围绕所讨论的点作一正六面体 当正六面 体的边长充分小时 它便趋于宏观上的 点 这种微小六面体又称为 微单元 体 简称 微单元 当微单元三对互相垂直面上的应力已知时 就可以采用截面法通过平衡条件 或者通过由平衡条件得到的解析式及其图解法 得任意方向面上的应力 因此 可以说 微单元体及其三对互相垂直面上的应力代表了这一点的应力状态 通常所说的 确定一点的应力状态 就是指确定代表这一点的微单元体三 对互相垂直面上的应力 因此 为了确定一点的应力状态 在取微单元时 总是 尽量使三对面上的应力为已知 包括应力等于零 为此 矩形截面和圆截面杆 中微单元体的取法有所区别 G 对于矩形截面梁或杆 三对面中一对面为横截面 另外两对面为平行于 梁或杆表面的纵截面 4 G 对于圆截面的轴或杆 除一对面为横截面外 另外两对面中有一对为互 相平行的圆柱面 另一对则为通过杆件轴线的纵截面 G 截取微单元体时 还必须注意相对面之间的距离应为无限小 对于矩形 杆或梁 分别为 dx dy dz 对于圆截面轴或杆 则分别为 dx dr d 2 截面法在微单元体上的应用 平面应力状态中 任意斜截面上应力的确定 当微单元体三对面上的应力已知时 为求任意斜截面上的应力 可用假想截 面从所考察的斜截面处将微单元体截为两部分 考察其中任意一部分的平衡 由 平衡条件即可求得该截面上的正应力和切应力 这就是确定微单元体截面上应力 的基本方法 G 正负号规则 1 角 自 x正方向逆时针转到斜截面外法线的正方向 这时的 角为正 反之为负 2 正应力 拉应力为正 压应力为负 3 切应力 使微元整体或截开部分产生顺时针转动趋势者为正 反之为负 G 平面应力状态中任意方向面上的应力解析式 cos2sin2 22 sin2cos2 2 xyxy xxy xy x yxy 3 主应力 主平面 最大的应力 从上式可以看出 对于不同的 角 将有不同的正应力和切应力数值 因 此 一定存在着某一角度 P使得这一方向面上的切应力等于零 而使正应力为 极值 极大或极小值 也就是说 在应力状态中 一定存在着某一方向面 其 外法线与 x 方向的倾角为 P 在这一面上切应力等于零 而正应力为极大值或 极小值 G 主平面与主应力 5 应力状态中切应力为零的平面称为 主平面 主平面上作用的正应力称为 主应力 主应力作用方向称为 主方向 根据以上分析 也可以说主应力就是应力状态中正应力的极大和极小值 除了正应力取极值外 在应力状态中的切应力也存在着极值 一般将其绝对 值最大者称最大剪应力 但是 必须指出 最大剪应力与主应力不作用在同一面 上 并且在最大剪应力作用面上 正应力也不一定为零 G 确定主应力的表达式 平面应力状态中 除了有一个等于零的主应力外 一般情形下有两个不等于 零主应力 这两个不等于零的主应力以及平面应力状态固有的等于零的主应力 分别用 表示 2 2 1 4 22 xy xyxy 2 2 1 4 22 xy xyxy 0 以后将按三个主应力 代数值由大到小顺序排列 并分别用 321 表示 且 123 根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效或破坏 确定失效或破 坏的形式 因此 可以说主应力是反映应力状态本质内涵的特征量 G 确定主方向的表达式 主平面方向角的表达式 p 2 tan2 xy xy 不难证明 对于确定的主应力 例如 p 其方向角 p由下式确定 p p tan x xy 6 G 确定最大切应力的表达式 微元三组方向面内的最大切应力分别为 23 2 13 2 12 2 一点应力状态中的最大切应力 必然是上述三者中的最大的 即 13 max 2 4 应力圆及其应用 n 平面应力状态与其应力圆的几种对应关系 点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和 切应力值 转向对应 应力圆半径旋转时 半径端点的坐标随之改变 对应地 微元上 方向面的法线亦沿相同方向旋转 才能保证方向面上的应力与应力圆上半径端点 的坐标相对应 2 倍角对应 应力圆上半径转过的角度 等于方向面法线旋转角度的 2 倍 n应力圆的应用 基于上述对应关系 不仅可以根据微元两相互垂直面上的应力确定应力圆上 一直径上的两端点 并由此确定圆心 C 进而画出应力圆 从而使应力图绘制过 程大为简化 而且 还可以确定任意方向面上的正应力和切应力 以及主应力和 面内最大切应力 7 图 10 1 应力圆的应用 以图 10 1a 中所示的平面应力状态为例 首先在图 10 1b 所示的 O x x y 坐标系中找到与微元 A D 面上的应力 x xy y yx 对应的两点 a d 连接 ad 交 x 轴于点 C 以点 C 为圆心 以 Ca 或 Cd 为半径作圆 即为与所给应 力状态对应的应力圆 其次 为求 x 轴反时针旋转 角至x 轴位置时微元方向面 G 上的应力 可 将应力圆上的半径 Ca 按相同方向旋转 2 得到点 g 则点 g 的坐标值即为 G 面 上的应力值 图 10 1c 应用应力圆上的几何关系 可以得到平面应力状态主应力与面内最大切应 力表达式 结果与前面所得到的完全一致 从图 10 1b 中所示应力圆可以看出 应力圆与 x 轴的交点 b 和 e 对应着 平面应力状态的主平面 其横坐标值即为主应力 和 此外 对于平面应 力状态 根据主平面的定义 其上没有应力作用的平面亦为主平面 只不过这一 主平面上的主应力 为零 图 10 1b 中应力圆的最高和最低点 h 和 i 切应力绝对值最大 均为面 内最大切应力 不难看出 在切应力最大处 正应力不一定为零 即在最大切应 力作用面上 一般存在正应力 需要指出的是 在图 10 1b 中 应力圆在坐标轴 x y 的右侧 因而 和 均为正值 这种情形不具有普遍性 当 x 0或在其他 条件下 应力圆也可能在坐标轴 x y 的左侧 或者与坐标轴 x y 相交 因此 和 也有可能为负值 或者一正一负 8 5 广义胡克定律 图 10 2 一般应力状态下的应力一应变关系 在小变形条件 考虑到正应力与切应力所引起的正应变和切应变 都是相互 独立的 因此 应用叠加原理 可以得到图 10 2a 所示一般应力 三向应力 状态下的应力一应变关系 G G G E E E yz yz xz xz xy xy yxzz xzyy zyxx 1 1 1 上式称为一般应力状态下的广义胡克定律 若微元的三个主应力已知时 其应力状态如图 9 2b 所示 这时广义胡克定律 变为 2133 1322 3211 1 1 1 E E E 9 式中 1 2 3分别为沿主应力 1 2 3方向的应变 三 学 习 建 议 1 要重视整体平衡与局部平衡概念在应力状态分析中的应 用 而且要特别注意应力不能直接参与平衡 应力必须乘以其作 用面积才能参与平衡 2 要善于应用应力圆确定主应力以及最大切应力 应用应力 圆时 一定要注意三种对应关系 3 应力圆的功能主要不是作为图解法的工具用以量测某些 量 它一方面通过明晰的几何关系帮助大家导出一些基本公式 而不是死记硬背这些公式 另