第2章习题解答

1 第第 2 2 章习题解答章习题解答 2 12 1 已知半径为已知半径为 R0R0 的球面上分布着的球面上分布着的面电荷 试求总电量的面电荷 试求总电量 Q Q 0sinss 2 22222 0000000 00 sinsinsinsin ssss SS QdsRd dRddR 2 22 2 已知半径为已知半径为 长为 长为 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷 已知其电荷密度的圆柱体内分布着轴对称的体电荷 已知其电荷密度 al 0V a 试求总电量 试求总电量 0a Q 解 解 2 2 0 0 000 2 dd d d 3 la V V QVzla a 2 32 3 半径为半径为的球面上均匀分布着电荷 总电量为的球面上均匀分布着电荷 总电量为 当球以角速度 当球以角速度绕某一直径绕某一直径 轴轴 旋转时 试求旋转时 试求 0 RQ z 其表面上的面电流密度 其表面上的面电流密度 解 解 面电荷密度为 2 0 4 S Q R 面电流密度为 00 2 00 sin sinsin 4 4 SSS QQ JvRR RR 2 42 4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流 已知导线的直径为 已知导线的直径为 导线中的电流为 导线中的电流为 0SS Je J d 0 I 试求试求 0S J 解 解 每根导线的体电流密度为 00 22 4 2 II J dd 由于导线是均匀密绕 则根据定义面电流密度为 0 4 S I JJd d 因此 等效面电流密度为 0 4 S I Je d 2 62 6 两个带电量分别为两个带电量分别为和和的点电荷相距为的点电荷相距为 另有一带电量为 另有一带电量为的点电荷位于其间 为使中间的的点电荷位于其间 为使中间的 0 q 0 2qd 0 q 点电荷处于平衡状态 试求其位置 当中间的点电荷带电量为点电荷处于平衡状态 试求其位置 当中间的点电荷带电量为 时 结果又如何 时 结果又如何 0 q 解 解 设实验电荷离为 那么离为 由库仑定律 实验电荷受的排斥力为 0 q 0 2qx 0 qxd 0 2q 2 0 1 2 21 4 q F x 实验电荷受的排斥力为 0 q 2 0 2 2 1 4 q F dx 要使实验电荷保持平衡 即 那么由 可以解得 21 FF 22 00 22 211 4 4 qq xdx ddx585 0 12 2 如果实验电荷为 那么平衡位置仍然为 只是这时实验电荷与和 0 q ddx585 0 12 2 0 q 不是排斥力 而是吸引力 0 2q 2 72 7 边长为边长为的正方形的三个顶点上各放置带电量为的正方形的三个顶点上各放置带电量为的点电荷 试求第四个顶点上的电场强度的点电荷 试求第四个顶点上的电场强度 a 0 qE 解 解 设点电荷的位置分别为 和 由库仑定律可得点处的电 0 0 0 0q 0 0 0qa 0 0 0qa 0P a a 场为 2 000 222 000 0 2 0 11111 4 4 4 22 2 2 21 8 2 xyyx xy qqq Eeeee aa a q ee a 2 82 8 半径为半径为的细圆环上分布着均匀的电荷 总电量为的细圆环上分布着均匀的电荷 总电量为 Q Q 试求圆环轴线上的电场强度 若同样的电量均 试求圆环轴线上的电场强度 若同样的电量均a 匀分布在同样半径的薄圆盘上 试求轴线上的电场强度 匀分布在同样半径的薄圆盘上 试求轴线上的电场强度 解 解 1 1 线电荷密度为 线电荷密度为 2 l Qa 2 33 23 2 02222 00 0 cossin 11 dd 4 4 4 xyz zllz l e ae ae zrr Qz Erle rr azaz 2 2 2 33 22 0022 00 cossin 11 d 4 4 a xyz S S e re re zrr Q E rSdrdr a rr rz 2 22 0 11 2 Qz az az 2 92 9 半径为半径为的半球面上均匀分布着面电荷 电荷密度为的半球面上均匀分布着面电荷 电荷密度为 试求球心处的电场强度 若同样的电荷 试求球心处的电场强度 若同样的电荷 0 R 0S 均匀分布在半径为均匀分布在半径为的半球内 再求球心处的电场强度 的半球内 再求球心处的电场强度 0 R 解 解 面电荷密度产生的电场强度为 03 0 1 d 4 S S rr E rS rr 根据面电荷分布的对称性 电场强度只沿着方向 由于 那么z 2 0 dsinddSR 2 2 2 00 00 00 dsind 4 4 SS zz E ree 如果电荷均匀分布在半球内 那么体电荷密度为 2 000 33 000 2 3 2 32 3 SS RQ RRR 把体电荷密度分成很多薄球壳 根据上述结果 厚度为的球壳产生的电场强度为 dr 0 dd 4 z E rer 那么 半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为 0 0 0 0 000 3 d 444 R S zzz E rereRe 2 132 13 对于下列球对称的体电荷分布 试求各处的电场强度对于下列球对称的体电荷分布 试求各处的电场强度 E E 1 0 0 r a rer 2 0 0 r ara r ra 3 1 2 0 ab rbc ac 解 解 1 1 2 2 2 0 0 22 000 00 1 sinsin 44 R r ar a r V E reerd d drdder dr RR 3 2 2 3 3 0 2 0 222 R aR aR a aR ea Rea ea R 2 2 23 0 0 22 000 00 1 sinsin 44 R V r E rrd d drddr dr RaR a 2 0 0 2 0 00 0 0 rra a R a ara 2 142 14 如题如题 2 142 14 图所示 两个半径分别为图所示 两个半径分别为和和的球面之间均匀分布着体电荷 电荷密度为的球面之间均匀分布着体电荷 电荷密度为 ab ba 0 两球面的球心相距为两球面的球心相距为 且 且 试求空腔内的电场 试求空腔内的电场 dda 解 解 我们把空腔看成是由电荷密度分别为和的体电荷 那么在空腔内电场可以看成电荷密度为 0 0 半径为的大圆球产生的场和电荷密度为 半径为的小圆球所产生的的场的叠加 由高 0 b 0 a 斯定理 大圆球在球内产生的电场为 场点到大球球心的距离 0 2 33 bbb b Q Err r b r 而小圆球在球内产生的电场为 场点到小球球心的距离 0 2 33 aaa a Q Err r a r 因此合成场为 大球球心到小球球心的距离 000 333 ba Errd d 2 222 22 如题如题 2 222 22 图所示 在半径为图所示 在半径为的圆柱导体内并排挖了两个与其轴线平行 半径为的圆柱导体内并排挖了两个与其轴线平行 半径为的圆柱形空腔 的圆柱形空腔 ab 两空腔的轴线与导体柱的轴线的距离相等 均为两空腔的轴线与导体柱的轴线的距离相等 均为 且 且 当导体通以均匀分布的电流 当导体通以均匀分布的电流时 试时 试ddb I 求空腔内的求空腔内的 H 解 解 假设导体中的电流是方向的 由于导体的电流密度为 所以可以把空腔 z e 22 0 2JIab 看成是两个电流密度也为的方向的导体柱 那么在空腔内磁场可以看成该两个小导体柱和半径 0 J z e 为 没有空腔的大圆柱导体柱所产生的场的叠加 利用安培环路定律 与轴平行且位于轴的azz 圆柱导体柱所产生的磁场为 00 22 00 22 22 22 xy xy JJ e ye xaea H JJaa e ye xaea xy 与轴平行位于的圆柱导体柱所产生的磁场为z 00 xy 0 00 2 0 0022 00 2 2 xy xy J eyyexx H Ja eyyexx xxyy 导体内 导体外 由此可得两个空腔内的磁场分别为 左腔内 HHHH 左右 大小小 2222 2 2 22 2 2 2 22 22 22 2 22 2 2 2 2 2 xyxy xy xy II e ye xe yexd abab Ib e yexd abxdy xd bIyb eed abxdyxdy 右腔内 HHHH 左右 大小小 4 2 2 2222 2 22 2 2 22 22 22 2 22 2 2 2 2 2 xyxy xy xy IIb e ye xe yexd ababxdy I e yexd ab xd bIyb eed abxdyxdy 2 302 30 已知无源的自由空间内已知无源的自由空间内 其中 其中 和和为常数 试求磁场强度为常数 试求磁场强度和位和位 0cosx Ee Etz 0 E H 移电流移电流 d J 解 解 由麦克斯韦第二方程可得 0 00sin 00 xyzxyz y x xyz eeeeee B EeEtz txyzz E EEE 于是有 0 00 1 sind t y B HeEtzt 考虑到时 场还不存在 即 可以得到t 0H 0 0 000 1 sindcos t yy EB HeEtztetz 而位移电流 d000sinx DE JeEtz tt 2 312 31 已知无源的自由空间内已知无源的自由空间内 其中 其中和和为常数 试求为常数 试求和和 0 cossin y x He Htz a 0 Ha E d J 解 解 由于在无源的自由空间 由麦克斯韦第一方程可得0J 0 00 xyzxyz yy xz y xyz eeeeee HH D Hee txyzxzzx H HHH 0 0 coscossinsin xz Hxx eHtzetz aaa 考虑到时 场还不存在 即 于是有 t 0E 00 0000 1 dcossinsincos t xz HHDxx EHtetzetz aaa 而位移电流 0 d0 coscossinsin xz HDxx JeHtzetz taaa 2 322 32 已知介电常数为已知介电常数为 磁导率为 磁导率为的空间内的空间内 0cosyxz Ee Etk xk z 试求 电荷密度试求 电荷密度和电流密度和电流密度 的条件是什么 的条件是什么 J 0J 解 解 由麦克斯韦第四方程可得 0DE 而由麦克斯韦第二方程可得 5 00 0 00 sinsin xyzxyz y xyz yy xzxzxzzxxz eeeeee B E txyzxz E EEE EE eee k Etk xk ze k Etk xk z zx 考虑到时 场还不存在 即 于是有 t 0H 00 0000 1 dcoscos t zx xxzzxz k Ek EB HEtetk xk zetk xk z 而 22 00 00 0 0 sinsin xyzxyz xz y xz xyz zx xxzxz eeeeee HH He xyzxzzx HH HHH k Ek E etk xk ztk xk z 代入麦克斯韦第一方程可得 2 2 0sin y x yxy k kD JHeEtk xk y t 由此可见 的条件是 0J 222 xy kk 2 332 33 已知无源的自由空间内已知无源的自由空间内 12 sin4 coscos4 sin xz He Axtkye Axtky 试求相应的位移电流密度 试求相应的位移电流密度 解 解 由于在无源的自由空间 由麦克斯韦第一方程可得0J 0 0 xyzxyz xzz xyz xyzxz eeeeee HHHD Heee txyzxyyxy HHHHH 221 cos4 cos4sin4 sinsin4 sin xyz e kAxtkyeAxtkye kAxtky 而位移电流 d221 cos4 cos4sin4 sinsin4 sin xyz D Je kAxtkyeAxtkye kAxtky t 2 342 34 已知半径为已知半径为的球面内外的电场分别为的球面内外的电场分别为 0 R 0 0 0 3 cossin 2cossin r r A eerR R E B eerR r 假设球内外的介电常数均为假设球内外的介电常数均为 试求 试求 1 1 满足边界条件的 满足边界条件的 2 2 球面上的面电荷密度及其总 球面上的面电荷密度及其总 0 B 电量 电量 3 3 球面内外的体电荷密度 球面内外的体电荷密度 解 解 1 1 由电场切向分量连续的边界条件可得 0000 2 1t2t120 r Rr Rr Rr R EEEEBAR 2 2 由电场法向方向分量满足的边界条件可得 0 n120102 0 3 cos Sr A eDDeEE R 6 2 2 0 00 d d0 S QR 3 3 球面内外的体电荷密度 0D 2 352 35 已知