信号与系统ppt第二章系统数学模型的建立

Ch2 Time Domain Analysis of LTI System contents 1 differential difference equation time domain response total solution homogeneous solution particular solution classic solution zero input response zero state response 2 Unit impulse response h t unit sample response h n 3 Convolution sum integral of excitation and impulse response application 求微分求微分 差分 方程的解差分 方程的解 求时域响应求时域响应 全解全解 齐次解齐次解 特解特解 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 单位冲激响应单位冲激响应h t 单位样值响应单位样值响应h n 激励与冲激响应的卷积积分激励与冲激响应的卷积积分 卷积和卷积和 及其应用及其应用 2 2 系统数学模型的建立 元件约束条件元件约束条件 网络拓扑约束网络拓扑约束 KVL KCL 2 2 11 S ddd Cv tv tv tIt R dtLdtdt eb dt de b dt ed b dt ed bra dt dr a dt rd a dt rd m m m m m m n n n n n 01 1 1 101 1 1 1 2 1 Time domain analysis of continuous system 2 1 1 differential equation of system and classic solution For any LTI system the general formula of nth order linear constant coefficient differential equation is LCCDE total solution homogeneous solution particular solution trtrtr pn 0 01 1 1 1 ra dt dr a dt rd a dt rd n n n n n general solution is t ce 0 01 1 1 aaa n n n secular equation is using classic solution homogeneous solution rn t is the solution of homogeneous equations 特征方程特征方程 n latent roots of this n order equation is 2 1 21 ni n natural frequency prototype of solutions 1 I is distinct real root n i t in i ectr 1 2 1 is k repeated root n kj t j ik k i t in j ectectr 11 1 j is simple root particular solution according to excitation check table to obtain rp t total solution trtrtr pn coefficient ci cj Example 1 Find homogeneous solution 6 5 tetrtrtr SL secular equation is 065 2 Obtain secular root 3 2 21 tt n ecectr 3 2 2 1 homogeneous solution is Example 3 Find homogeneous solution 4 4 tetrtrtr SL 2044 2 1 2 double root tt n ectectr 2 2 2 1 激励函数 响应函数 的特解 常数 e t r t EB p t 1 011 pp pp B tBtBtB t e t Be cos t sin t 12 cos sin BtBt cos pt t et sin pt t et 1 011 1 011 cos sin pp pp pp pp B tBtBtBt D tDtDtDt 与几种典型激励函数相应的特解与几种典型激励函数相应的特解 特殊情况 特解与齐次解重复特殊情况 特解与齐次解重复 若输入 若输入 为微分方程对应的特征方程的单根为微分方程对应的特征方程的单根 则特解的形式为则特解的形式为 若为二重根 则特解的形式为 若为二重根 则特解的形式为 t f te 0 t B te 2 0 t B t e Example 4 equation is 2 2 3 tetetrtrtr If excitation is 2 tte find its particular solution rp t Check table 2 3 the format of particular solution is 01 2 2 AtAtAtrf trtrtr fff tete substituted into original differential equation 2 01 2 2122 22 2 2 32ttAtAtAAtAA 2 01212 2 2 22 232 26 2ttAtAAtAAtA 1 2 2 0232 226 22 2 1 0 012 12 2 A A A AAA AA A 22 2 tttrf 0 t Ex 5 equation is 2 2 3 tetetrtrtr where 1 0 1 0 2 rrtte Find its total solution SL 2 1023 21 2 homogeneous solution is tt n ecectr 2 21 as same as Ex4 22 2 tttrf total solution 22 22 21 ttecectr tt its one order derivative is 222 2 21 tecectr tt when t 0 initial value substituted 12 0 21 ccr 122 0 21 ccr 2 1 21 cc 0222 22 ttteetr tttotal solution 例例2 5的电路的电路 列出微分方程列出微分方程 2 22 2 2 76 6sin 2 0 d v tdv t v ttt dtdt 列出微分方程对应的特征方程列出微分方程对应的特征方程 2 12 6 12 760 1 6 tt h r tAeA e 特征根 齐次解 12 12 sin 2 cos 2 321 5050 p r tBtBt BB 完全解的表达式为完全解的表达式为 6 212 321 sin 2 cos 2 5050 tt v tAeA ett 完全解的表达式为 完全解的表达式为 6 2 123321 sin 2 cos 2 25505050 tt v teett 由输入信号的形式得特解表达式由输入信号的形式得特解表达式 1 Homogeneous solution 其形式与激励其形式与激励e t 无关 仅依赖于系统本身特征无关 仅依赖于系统本身特征 natural response coefficient ci cj depend on excitation and auxiliary condition 初始条件 初始条件 2 Particular response depend on excitation signals forced response Summary of finding the Solution of LCCDE 2 1 2 zero input response and zero state response trtrtr ZSZi zerp input response zero state response tr Zi undetermined coefficient decided by initial state Decompose total response into tr zs 1 trectr f n i t zsizs i as same with previous method but the initial state of system is zero zsi c coefficient n i t ziizi i ectr 1 simple root i zii c 没有外加激励信号的作用 仅有系统的初始储能 引起的响应 解的形式是齐次解的形式 是零初始条件下的非齐次微分方程的全解 1 trectr f n i t i i natural response forced response n i t zii i ec 1 zero input response zero state response so zsiziii ccC two ways decomposing total response 1 trec f n i t zsi i SL Secular roots are 2 1 21 t Zi t ZiZi eCeCtr 2 21 10 1 0 rr substituted into original equation 2 3 12 0 1 0 2 1 21 21 Zi Zi ZiZi Zi ZiZiZi C C CCr CCr ZIR is 023 2 teetr tt Zi ZSR according to the answer of previous example 22 22 21 tteCeCtr t ZS t ZSZS zero initial condition obtain 0 2 022 0 02 0 2 1 21 21 ZS ZS ZSZS ZS ZSZSZS C C CCr CCr 0222 2 tttetr t ZS EX5 As Ex4 2 2 3 tetetrtrtr where 1 0 1 0 2 rrtte Find ZIR and ZSR ZIR trtrtr ZSZi total response of system 22223 22 tteee ttt 222 22 ttee tt zero input response zero state response natural response forced response 自由响应和零输入响应都满足齐次方程的解 自由响应和零输入响应都满足齐次方程的解 但它们的系数完全不同 零输入响应的系数只取决于起始状但它们的系数完全不同 零输入响应的系数只取决于起始状 态 而自由响应的系数依从于起始状态和激励信号 态 而自由响应的系数依从于起始状态和激励信号 自由响应由两部分组成 其中 一部分由起始状态决定 另自由响应由两部分组成 其中 一部分由起始状态决定 另 一部分由激励信号决定 二者都与系统自身参数密切关联 一部分由激励信号决定 二者都与系统自身参数密切关联 2 2 Time domain analysis of discrete system Q 已知已知RL网络 试从微分方程导出差分方程 网络 试从微分方程导出差分方程 根据根据KVL方程 对图示系统列出方程方程 对图示系统列出方程 2 2 1 离散系统差分方程的建立离散系统差分方程的建立 difference equation tftvtv LR RL di t vtRi tv tL dt 由于 1 tf L ti L R dt tdi R L tf tvL tvR ti n0 i n 4TTnT 对连续变量对连续变量t t 若在若在 各点取样 各点取样 其中其中 为取样间隔为取样间隔 则得到激励信号的离散取样序列和则得到激励信号的离散取样序列和 输出信号的离散取样序列输出信号的离散取样序列 在足够小的情况 在足够小的情况 下 微分运算可近似表示为差分运算下 微分运算可近似表示为差分运算 s nTt 2 1 0 n s T s nTf s nTi s ss T TninTi dt tdi 1 1 1 ss s ss nTf L nTi L R T TninTi 代入原连续代入原连续 方程得方程得 1 1 nf L ni L R T nini s 1 nf RTL T ni RTL L ni s s s 一阶常系数一阶常系数 差分方程差分方程 差分方程的阶数差分方程的阶数 未知序列变量序号的 未知序列变量序号的 最大值与最小值之差最大值与最小值之差 后向形式后向形式 或向右移序的或向右移序的 差分方程 差分方程 方程中未知序列的序号是自n以递减方式给出 前向形式前向形式 或向左移序的或向左移序的 差分方程 差分方程 n以递增方式给出 即由 如 此为一阶前向差分方程式 两种描述方法无本质区别 仅仅是延时不同 通常对 因果系统用后向形式的差分方程比较方便 在一般数字滤 波器的描述中多用这种形式 而在状态变量分析中 前向 形式的差分方程较为常用 ny 1 ny Nny 1 nfnayny 2 2 2 离散系统差分方程的求解离散系统差分方程的求解 一一 迭代法迭代法 iterate 二二经典解法 齐次解 特解经典解法 齐次解 特解 homogeneous solution particular solution 三三零输入响应 零状态响应零输入响应 零状态响应 ZIR ZSR 四四 卷积和卷积和 Convolution 五五 Z变换变换 Z transform N阶常系数线性差分方程的一般形式为 阶常系数线性差分方程的一般形式为 NthNth order LCCDEorder LCCDE 00 NM il il a y nib f nl 一 差分方程的迭代法 Itrate 当差分方程阶次较低时常用此法当差分方程阶次较低时常用此法 12 12 1 2 12761 1 2 2 2 2 12321 0 2 1 1 1 1 1 2 0 0 0 1 2 e 0 1 1 2 1 1 1 3 2 nunr nrnunrnn rurn rurn rurn nrnenrSL nunexcitationconditionInitial nenrnrEx n n 为 为便于迭代 方程写 二 差分方程的经典解 齐次解 特解 nynyny pn 1 1 齐次解的形式齐次解的形式 齐次解方程 0 0 N i i a y ni 考虑一阶差分方程的齐次方程为考虑一阶差分方程的齐次方程为 0 1 nayny 1 ny ny a 序列序列 是一个公比为是一个公比为 的等比数列 因此有如下形式的等比数列 因此有如下形式 nya n Cany 式中C为常数 由 初始条件决定 高阶差分方程 其齐次解以形式为高阶差分方程 其齐次解以形式为 的项线性组合而成 的项线性组合而成 n C 0 0 N n i i i aC 消去常数消去常数C 并逐项并逐项 除以除以 n N 0 1 2 2 1 10 NN NNN aaaaa 上式为差分方程的特征方程特征方程 它的N个根 称为差分方程的特征根特征根 特征根有以下形式 2 1 Ni i 1 特征根没有重根时特征根没有重根时 差分方程的齐次解为 1122 1 N nnnn nNNii i y nCCCC 2 当有当有r r重根时重根时 齐次解形式为 1 11 rN r inn nijj ij r ynC nC 2 3 系统的单位冲激响应与单位样值响应系统的单位冲激响应与单位样值响应 unit impulse response and unit sample LTI连续时间系统 在系统初始条件为连续时间系统 在系统初始条件为0 激励为单位冲 激励为单位冲 激函数激函数 t 时所产生的响应 时所产生的响应 单位冲激响应单位冲激响应h t 定义定义 h t LTI离散时间系统 在系统初始条件为离散时间系统 在系统初始条件为0 激励为单位样 激励为单位样 值信号值信号 n 时所产生的响应 时所产生的响应 单位样值响应单位样值响应h n h n eb dt de b dt ed b dt ed bra dt dr a dt rd a dt rd m m m m m m n n n n n 01 1 1 101 1 1 1 2 3 1系统的单位冲激响应的确定系统的单位冲激响应的确定 01 1 1 101 1 1 1 b dt d b dt d b dt d bha dt dh a dt hd a dt hd m m m m m m n n n n n thtrtte 单位冲激响应 00 01 1 1 1 ha dt dh a dt hd a dt hd t n n n n n 时 冲激响应冲激响应h t 与方程的齐次解与方程的齐次解 零输入响应零输入响应 有相同的函数形式 有相同的函数形式 例 例 系统微分方程为 系统微分方程为 解 特征方程解 特征方程 对应项系数相等对应项系数相等 求系数 对求系数 对h t 求导求导 2 3 4 tetetrtrtr 求其冲激响应 求其冲激响应 3 1034 21 2 3 21 tuececth tt 3 3 2121 tuecectccth tt 9 3 3 2121 21 tuecectcctccth tt 将将h t h t h t 及及e t t 代入原方程 整理得代入原方程 整理得 2 3 21 21 tttcctcc 2 1 2 1 23 1 2 1 21 21 c c cc cc 3 2 1 tueeth tt 二 阶跃响应二 阶跃响应 由单位阶跃函数由单位阶跃函数 所引起的零状态响应称为单位阶跃响应 所引起的零状态响应称为单位阶跃响应 简称冲激响应 记为简称冲激响应 记为 即 即 u t g t 0 g tTu t t dg t g thdh t dt 1 i为互异实根为互异实根 n i t in i ectr 1 2 有有k重重根根 n kj t j ik k i t in j ectectr 11 1 其中其中 1为为k重重根 根 j为单根为单根 求系数Ci cj 通解 2 3 2离散系统单位样值响应 一 迭代法 适用于低阶系统 1 8 0 1 8 0 1 nhnnh nhnrnne nenrnr 时解 激励 求单位样值响应 例 代入上式以初始状态 时 对因果系统 当 0 1 0 0 0 h nhnn nunhnnhnn hhn hhn hhn n 8 0 1 8 0 8 0 1 8 0 2 2 2 8 0 0 8 0 1 1 1 1 1 8 0 0 0 0 2 unit impulse response 可以表征可以表征系统的因果性和稳定性系统的因果性和稳定性 causality and stabilitycausality and stability 因果性 输入变化不领先于输出变化因果性 输入变化不领先于输出变化 充要条件充要条件 稳定性 输入有界则输出必定有界稳定性 输入有界则输出必定有界 充要条件充要条件 0 0 nhn n nh u t u t 引起的响应为引起的响应为单位阶跃响应单位阶跃响应g t g t unit step responseunit step response 例 已知某系统的例 已知某系统的 问 它是否是因果系统 是否是稳定系统 问 它是否是因果系统 是否是稳定系统 nuanh n 0 0 0 nuanhnun n是因果系统 a a a a a nuanh n n n n 1 1 1 1 1 1 1 有界稳定 发散 不稳定 q q a n 1 1 1 0 等比数列求和公式 2 4卷积积分与卷积和 Convolution 2 4 1借助于信号分解求系统零状态响应 信号分解为冲激信号之和 111 tttte 111 tthtte lim 111 0 1 1 tthttetr t t 1 t 1 te 1 t dte ttttete t t lim 111 0 1 1 dthetr 求和变积分求和变积分 1 1 t dt tr te 卷积的物理含义图解 卷积的物理含义图解 A 111 tttte 1 ttkh A 111 tthtte 1 ttk LTI系统的性质系统的性质 lim 111 0 1 1 ttttete t t lim 111 0 1 1 tthttetr t t e t 为激励系统的零状态响应为激励系统的零状态响应 dthethtetr 卷积积分公式 Convolution 卷积公式表明 卷积公式表明 系统的零状态响应 激励与系统冲激响应的卷积系统的零状态响应 激励与系统冲激响应的卷积 dtfftftftf 2121 任意两个函数卷积积分 其中 其中 为积分变量 为积分变量 t为参变量为参变量 4 4 卷积积分中积分限的确定 卷积积分中积分限的确定 1212 s tf tf tff td 11 0 0 0tf tfu 第一种情况 时 等价于有 1212 0 f tf tff td 22 0 0 tf tf tu tt 第二种情况 时 等价于有 1212 t f tf tff td 12 0 00 0tf ttf tt 第三种情况 时 且时 0有 12 12 0 0 0 0 t t f tf t ff tdt 2 61 tt zs e teth teu trt 例 求 2 61 zs t rte th t eeu td 解 2 2 23 61 61 2 t t t t tt t t eed eed eee e 2 4 2卷积的图解说明卷积的图解说明 卷积的图解步骤 卷积的图解步骤 1 Variable replacement f1 t f1 f2 t f2 2 reverse 将 将f2 以纵轴为对称轴反褶 得以纵轴为对称轴反褶 得f2 3 shift 将 将f2 沿沿 轴自左向右平移轴自左向右平移t 得得f2 t t 从从 向向 变化 变化 4 Multiply 函数函数f1 与与f2 t 相乘 两波形重叠部相乘 两波形重叠部 分有值 不重叠部分乘积为分有值 不重叠部分乘积为0 5 integral 计算积分计算积分 f1 与与f2 t 乘积曲线下的面积为乘积曲线下的面积为t时刻卷积值 时刻卷积值 dtff 21 例题 当激励例题 当激励 和系统的单位冲激响应和系统的单位冲激响应 的波形如图的波形如图2 9 a 和和 b 所示时 用图解法求该系统在输入信号作用下的零状态所示时 用图解法求该系统在输入信号作用下的零状态 响应 响应 e t h t 解 写出由阶跃函数表示的解析式 Ex3 求 21 tftf 用解析法求 1 1 1 tututf 1 2 2 tututtf dtfftf 21 dtututuu 1 2 1 1 dtuutdtuut 1 2 1 2 dtuutdtuut 1 1 2 1 1 2 中的 换为 2 tf tt t 1 tf 2 tf 1 1 1 1 0 2 t 确定 积分限 第一项 t t 1 0 01 第二项 t t 1 0 01 第三项 11 01 01 t t 第四项 11 01 01 t t 第一项 t t 1 0 01 第二项 t t 1 0 01 第三项 11 01 01 t t 第四项 11 01 01 t t 上式求积分为 tt tudttudttf 11 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 tt tudttudt 1 1 1 1 1 1 222 tuttuttut 2 1 1 2 tut 计算卷积积分计算卷积积分 要注意要注意2 2点 点 1 1 积分变量 积分变量 的范围的范围 2 2 积分的作用区间 积分的作用区间t t的范围的范围 2 4 3 Properties of Convolution 1 algebra property 2 integral and derivative of convolution 3 convolve with singular signal impulse signal step signal doublet signal 1卷积的代数性质卷积的代数性质 卷积运算是一种代数运算 与乘法运算的某些卷积运算是一种代数运算 与乘法运算的某些 性质相同性质相同 1 commutative property 1221 tftftftf 2 distributive property 3121321 tftftftftftftf h t f2 t f3 t f1 t y1 t h2 t f2 t y1 t h3 t f3 t f1 t parallel system 3 associative property 321321 tftftftftftf h2 t f2 t f1 t y1 t h3 t f3 t f1 t f2 t h t f2 t f3 t f1 t y1 t cascade or series system 二二 differential and integral properties 1 1 differential 两个函数相卷积后的导数等于其 两个函数相卷积后的导数等于其 中一个函数的导数与另一个函数的卷积中一个函数的导数与另一个函数的卷积 2 12 121 tf dt tdf dt tdf tftftf dt d 证 证 21 2121 2121 tf dt d tf dtf td d fdtf dt d f dtff dt d tftf dt d 同理可证 左边 同理可证 左边 2 1 tf dt tdf 2 2 integral 两个函数相卷积后的积分等于其 两个函数相卷积后的积分等于其 中一个函数的积分与另一个函数的积分中一个函数的积分与另一个函数的积分 dff dffdff t tt 12 2121 类似地 对高阶导数和积分类似地 对高阶导数和积分 21 tftftf 则 2 1 tftftf jij i 其中 其中 I I j j取正整数时 为导数阶次取正整数时 为导数阶次 若若I I j j取负整数时 为重积分次数 如取负整数时 为重积分次数 如 dftf dt d tftftf t 21 1 2 1 1 三 三 convolve with impulse functions or step functions 1 1 impulse signal tfdtftftttf 某函数与冲激函数的卷积是其本身某函数与冲激函数的卷积是其本身 0000 ttfdtfttftttttf 函数与冲激函数时移相卷积的结果相当于把函数本身时移函数与冲激函数时移相卷积的结果相当于把函数本身时移 212121 tttfttfttttttf t0 t0 t1 t1 t2 t2 1 2 3 00 0 00 0 0 0 f tttfttd tfttd fttd f t f tttft t t 令 推广 任意两函数卷积推广 任意两函数卷积 21 tftfts 若 2211 ttfttf则 21 ttts 2211 2211 tttftttf ttfttf 证明 21 21 2121 ttts tttts tttttftf 2 2 与冲激偶 与冲激偶 t t 的的卷卷 积积 ttf tfttf 3 3 与阶跃函数 与阶跃函数u u t t 的的卷积卷积 tutf dftfttf t 11 卷积的微分性质卷积的微分性质 卷积的积分性质卷积的积分性质 dftf dt d tftftf t 21 1 2 1 1 应