江苏省南京市、盐城市2015届高三数学二模试卷word版

精品文档 1欢迎下载 江苏省南京市 盐城市 2015 届高三年级第二次模拟考试 数学试题 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上 分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上 1 函数的最小正周期为 xxxfcossin 2 已知复数 其中 是虚数单位 则复数在复平面上对应的点位于第 象限 31 2 iiz iz 3 如图是一个算法流程图 如果输入的值是 则输出的值是 x 4 1 S 4 某工厂为了了解一批产品的净重 单位 克 情况 从中随机抽测了 100 件产品的净重 所得数据均 在区间 96 106 中 其频率分布直方图如图所示 则在抽测的 100 件产品中 净重在区间 100 104 上的产品件数是 5 袋中有大小 质地相同的红 黑球各一个 现有放回地随机摸取 3 次 每次摸取一个球若摸出红球 得 2 分 摸出黑球 得 1 分 则 3 次摸球所得总分至少是 4 分的概率是 6 如图 在平面四边形ABCD中 AC BD相交于点O E为线段AO的中点 若 BEBABD 则 R 7 已知平面 直线 给出下列命题 m n 若 则 若 则 m nmn mn m n 若 则 若 则 mnmn mn mn 其中是真命题的是 填写所有真命题的序号 精品文档 2欢迎下载 8 如图 在中 D是BC上的一点 已知 则AB ABC 0 60B 2 10 2ADACDC 9 在平面直角坐标系xOy中 已知抛物线C 的焦点为F 定点 若射线FA与抛物 2 4xy 2 2 0 A 线C相交于点M 与抛物线C的准线相交于点N 则FM MN 10 记等差数列的前n项和为 已知 且数列也为等差数列 则 n a n S 1 2a n S 13 a 11 已知知函数 则不等式的解集是 1 1 x f x x xR 2 2 34 f xxfx 12 在平面直角坐标系中 已知 为 与x负半轴的交点 过A作 xOy 22 1 5xy 的弦AB 记线段AB的中点为M 则直线AB的斜率为 13 已知均为锐角 且 则的最大值是 sin cos sin tan 14 已知函数 当时 关于的方程的所有解的和 2 2 0 1 1 0 xx x f x f xx 0 100 x x 1 5 f xx 为 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 在中 角A B C的对边分别为 已知 ABC a b c 3 cos 5 C 1 若 求的面积 9 2 CB CA ABC 2 设向量 且 求 的值 2sin 3 2 B X cos cos 2 B yB xy sin BA 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥P ABCD中 1 2 ADCDAB ABDCADCD PCABCD 平面 1 求证 平面 BC PAC 2 若M为线段PA的中点 且过三点的平面与PB交于点N 求PN PB的值 C D M 第 16 题图 P A B C D M 精品文档 3欢迎下载 17 本小题满分 14 分 右图为某仓库一侧墙面的示意图 其下部是矩形ABCD 上部是圆AB 该圆弧所在的圆心为O 为了 调节仓库内的湿度和温度 现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH 其中E F在圆弧AB上 G H在弦 AB上 过O作 交AB 于M 交EF于N 交圆弧AB于P 已知 单位 OPAB 10 6 5OPMP m 记通风窗EFGH的面积为S 单位 2 m 1 按下列要求建立函数关系式 i 设 将S表示成的函数 POFrad ii 设 将S表示成的函数 MNx m x 2 试问通风窗的高度MN为多少时 通风窗EFGH的面积S最大 18 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系中 椭圆E 的离心率为 直线l xoy 22 22 1 0 xy ab ab 2 2 与椭圆E相交于A B两点 C D是椭圆E上异于A B两点 且直线AC BD相交 1 2 yx 2 5AB 于点M 直线AD BC相交于点N 1 求的值 a b 2 求证 直线MN的斜率为定值 x y A O B C D M N 第 18 题图 E B G A N D M C F O H P 第 17 题图 精品文档 4欢迎下载 19 本小题满分 16 分 已知函数 其中为常数 2 1 ln k x f xx x k 1 若 求曲线在点处的切线方程 0k yf x 1 1 f 2 若 求证 有且仅有两个零点 5k f x 3 若为整数 且当时 恒成立 求的最大值 k2x 0f x k 20 本小题满分 16 分 给定一个数列 在这个数列里 任取项 并且不改变它们在数列中的先后 n am 3 mmN n a 次序 得到的数列的一个阶子数列 n am 已知数列的通项公式为 等差数列 是数列的一个 3 子 n a 1 n a na nNa 为常数 2 a 3 a 6 a n a 阶数列 1 求的值 a 2 等差数列是的一个阶子数列 且 12 m b bb n am 3 mmN 1 1 b k 求证 2 kkNk 为常数1mk 3 等比数列是的一个阶子数列 12 m c cc n am 3 mmN 求证 11 1 1 2 2 m m ccc 南京市 盐城市 2015 届高三年级第二次模拟考试 精品文档 5欢迎下载 B A D E C F 第 21A 题图 数学附加题 21 选做题 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 过点A的圆与BC切于点D 且与AB AC分别交于点E F 已知AD为 BAC的平分线 求证 EF BC B 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 的逆矩阵 30 2a AA 1 1 0 3 1b A 1 求a b的值 2 求的特征值 A C 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy中 已知曲线C 直线l 设曲线 2 xs ys s 为参数 1 2 10 3 4 10 xt t yt 为参数 C与直线l交于A B两点 求线段AB的长度 D 选修 4 5 不行等式选讲 已知x y z都是正数且xyz 1 求证 1 x 1 y 1 z 8 22 甲 乙两支排球队进行比赛 约定先胜 3 局者获得比赛的胜利 比赛随即结束 除第五局甲队获胜的 精品文档 6欢迎下载 概率是外 其余每局比赛甲队获胜的概率都是 假设各局比赛结果相互独立 1 2 2 3 1 分别求甲队以 3 0 3 1 3 2 获胜的概率 2 若比赛结果为 3 0 或 3 1 则胜利方得 3 分 对方得 0 分 若比赛结果为 3 2 则胜利方得 2 分 对方得 1 分 求甲队得分 X 的分布列及数学期望 23 本小题满分 10 分 已知 定义 m nN 1 2 1 n n nnnm fm m 1 记 求的值 6 m afm 1212 aaa 2 记 求所有可能值的集合 1 m mn bmfm 12n bbb 南京市 盐城市 2015 届高三年级第二次模拟考试 精品文档 7欢迎下载 数学参考答案 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 分 1 2 一 3 2 4 55 5 7 8 6 7 8 9 10 50 3 4 1 3 11 1 2 12 2 13 14 10000 2 4 15 本小题满分 14 分 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 已知 cosC 3 5 1 若 求 ABC的面积 CB CA 9 2 2 设向量x x 2sin y y cosB cos 且x x y y 求 sin B A 的值 B 23 B 2 解 解 1 由 得abcosC CB CA 9 2 9 2 又因为 cosC 所以ab 2 分 3 5 9 2cosC 15 2 又C为 ABC的内角 所以 sinC 4 分 4 5 所以 ABC的面积S absinC 3 6 分 1 2 2 因为x x y y 所以 2sin cos cosB 即 sinB cosB 8 分 B 2 B 233 因为 cosB 0 所以 tanB 3 因为B为三角形的内角 所以B 10 分 3 所以A C 所以A C 2 3 2 3 所以 sin B A sin A sin C 3 3 sinC cosC 1 2 3 2 1 2 4 5 3 2 3 5 精品文档 8欢迎下载 14 分 4 33 10 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥P ABCD中 AD CD AB AB DC AD CD PC 平面ABCD 1 2 1 求证 BC 平面PAC 2 若M为线段PA的中点 且过C D M三点的平面与PB交于点N 求PN PB的值 证明 证明 1 连结AC 不妨设AD 1 因为AD CD AB 所以CD 1 AB 2 1 2 因为 ADC 90 所以AC CAB 45 2 在 ABC中 由余弦定理得BC 所以AC2 BC2 AB2 2 所以BC AC 3 分 因为PC 平面ABCD BC 平面ABCD 所以BC PC 5 分 因为PC 平面PAC AC 平面PAC PC AC C 所以BC 平面PAC 7 分 2 如图 因为AB DC CD 平面CDMN AB 平面CDMN 所以AB 平面CDMN 9 分 因为AB 平面PAB 平面PAB 平面CDMN MN 所以AB MN 12 分 在 PAB中 因为M为线段PA的中点 所以N为线段PB的中点 即PN PB的值为 14 分 1 2 第 16 题图 P A B C D M N 第 16 题图 P A B C D M 精品文档 9欢迎下载 17 本小题满分 14 分 右图为某仓库一侧墙面的示意图 其下部是一个矩形ABCD 上部是圆弧AB 该圆弧所在圆的圆心为 O 为了调节仓库内的湿度和温度 现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH 其中E F在圆弧AB上 G H在弦AB上 过O作OP AB 交AB于M 交EF于N 交圆弧AB于P 已知OP 10 MP 6 5 单位 m 记通风窗EFGH的面积为S 单位 m2 1 按下列要求建立函数关系式 i 设 POF rad 将S表示成 的函数 ii 设MN x m 将S表示成x的函数 2 试问通风窗的高度MN为多少时 通风窗EFGH的面积S最大 解 解 1 由题意知 OF OP 10 MP 6 5 故OM 3 5 i 在 Rt ONF中 NF OFsin 10sin ON OFcos 10cos 在矩形EFGH中 EF 2MF 20sin FG ON OM 10cos 3 5 故S EF FG 20sin 10cos 3 5 10sin 20cos 7 即所求函数关系是S 10sin 20cos 7 0 0 其中 cos 0 7 20 4 分 ii 因为MN x OM 3 5 所以ON x 3 5 在 Rt ONF中 NF OF2 ON2100 x 3 5 2 351 4 7x x2 在矩形EFGH中 EF 2NF FG MN x 351 28x 4x2 故S EF FG x 351 28x 4x2 即所求函数关系是S x 0 x 6 5 8 分 351 28x 4x2 2 方法一 方法一 选择 i 中的函数模型 令f sin 20cos 7 则f cos 20cos 7 sin 20sin 40cos2 7cos 20 10 分 由f 40cos2 7cos 20 0 解得 cos 或 cos 4 5 5 8 E B G A N D M C F O H P 第 17 题图 精品文档 10欢迎下载 因为 0 0 所以 cos cos 0 所以 cos 4 5 设 cos 且 为锐角 4 5 则当 0 时 f 0 f 是增函数 当 0 时 f 0 f 是减函数 所以当 即 cos 时 f 取到最大值 此时S有最大值 4 5 即MN 10cos 3 5 4 5m 时 通风窗的面积最大 14 分 方法二 方法二 选择 ii 中的函数模型 因为S 令f x x2 351 28x 4x2 x2 351 28x 4x2 则f x 2x 2x 9 4x 39 10 分 因为当 0 x 时 f x 0 f x 单调递增 当 x 时 f x 0 f x 单调递减 9 2 9 2 13 2 所以当x 时 f x 取到最大值 此时S有最大值 9 2 即MN x 4 5m 时 通风窗的面积最大 14 分 18 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系xOy中 椭圆E 1 a b 0 的离心率为 直线l y x与椭 x2 a2 y2 b2 1 2 圆E相交于A B两点 AB 2 C D是椭圆E上异于A B的任意两点 且直线AC BD相交于点M 直 5 线AD BC相交于点N 1 求a b的值 2 求证 直线MN的斜率为定值 解 解 1 因为e 所以c2 a2 即a2 b2 a2 所以a2 2b2 2 分 c a 2 2 1 2 1 2 故椭圆方程为 1 x2 2b2 y2 b2 由题意 不妨设点A在第一象限 点B在第三象限 由解得A b b y 1 2 x x2 2b2 y2 b2 1 23 3 3 3 x y A O B C D M N 第 18 题图 精品文档 11欢迎下载 又AB 2 所以OA 即b2 b2 5 解得b2 3 55 4 3 1 3 故a b 5 分 6 3 2 方法一方法一 由 1 知 椭圆E的方程为 1 从而A 2 1 B 2 1 x2 6 y2 3 当CA CB DA DB斜率都存在时 设直线CA DA的斜率分别为k1 k2 C x0 y0 显然k1 k2 从而k1 kCB y0 1 x0 2 y0 1 x0 2 y02 1 x02 4 3 1 s do1 f x02 6 1 x02 4 2 x02 2 x02 4 1 2 所以kCB 8 分 1 2k1 同理kDB 1 2k2 于是直线AD的方程为y 1 k2 x 2 直线BC的方程为y 1 x 2 1 2k1 由解得 y 1 1 2k1 x 2 y 1 k2 x 2 从而点N的坐标为 4k1k2 4k1 2 2k1k2 1 2k1k2 4k2 1 2k1k2 1 用k2代k1 k1代k2得点M的坐标为 4k1k2 4k2 2 2k1k2 1 2k1k2 4k1 1 2k1k2 1 11 分 所以kMN 1 4 k1 k2 4 k2 k1 即直线MN的斜率为定值 1 14 分 当CA CB DA DB中 有直线的斜率不存在时 根据题设要求 至多有一条直线斜率不存在 故不妨设直线CA的斜率不存在 从而C 2 1 仍然设DA的斜率为k2 由 知kDB 1 2k2 精品文档 12欢迎下载 此时CA x 2 DB y 1 x 2 它们交点M 2 1 1 2k2 2 k2 BC y 1 AD y 1 k2 x 2 它们交点N 2 1 2 k2 从而kMN 1 也成立 由 可知 直线MN的斜率为定值 1 16 分 方法二方法二 由 1 知 椭圆E的方程为 1 从而A 2 1 B 2 1 x2 6 y2 3 当CA CB DA DB斜率都存在时 设直线CA DA的斜率分别为k1 k2 显然k1 k2 直线AC的方程y 1 k1 x 2 即y k1x 1 2k1 由得 1 2k12 x2 4k1 1 2k1 x 2 4k12 4k1 2 0 y k1x 1 2k1 x2 6 y2 3 1 设点C的坐标为 x1 y1 则 2 x1 从而x1 2 4k12 4k1 2 1 2k12 4k12 4k1 2 2k12 1 所以C 4k12 4k1 2 2k12 1 2k12 4k1 1 2k12 1 又B 2 1 所以kBC 8 分 2k12 4k1 1 2k12 1 1 4k12 4k1 2 2k12 1 2 1 2k1 所以直线BC的方程为y 1 x 2 1 2k1 又直线AD的方程为y 1 k2 x 2 由解得 y 1 1 2k1 x 2 y 1 k2 x 2 从而点N的坐标为 4k1k2 4k1 2 2k1k2 1 2k1k2 4k2 1 2k1k2 1 用k2代k1 k1代k2得点M的坐标为 4k1k2 4k2 2 2k1k2 1 2k1k2 4k1 1 2k1k2 1 11 分 精品文档 13欢迎下载 所以kMN 1 4 k1 k2 4 k2 k1 即直线MN的斜率为定值 1 14 分 当CA CB DA DB中 有直线的斜率不存在时 根据题设要求 至多有一条直线斜率不存在 故不妨设直线CA的斜率不存在 从而C 2 1 仍然设DA的斜率为k2 则由 知kDB 1 2k2 此时CA x 2 DB y 1 x 2 它们交点M 2 1 1 2k2 2 k2 BC y 1 AD y 1 k2 x 2 它们交点N 2 1 2 k2 从而kMN 1 也成立 由 可知 直线MN的斜率为定值 1 16 分 19 本小题满分 16 分 已知函数f x 1 lnx 其中k为常数 k x 2 x 1 若k 0 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若k 5 求证 f x 有且仅有两个零点 3 若k为整数 且当x 2 时 f x 0 恒成立 求k的最大值 参考数据 ln8 2 08 ln9 2 20 ln10 2 30 解 解 1 当k 0 时 f x 1 lnx 因为f x 从而f 1 1 1 x 又f 1 1 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程y 1 x 1 即x y 0 3 分 2 当k 5 时 f x lnx 4 10 x 因为f x 从而 x 10 x2 当x 0 10 f x 0 f x 单调递减 当x 10 时 f x 0 f x 单调递增 所以当x 10 时 f x 有极小值 5 分 精品文档 14欢迎下载 因f 10 ln10 3 0 f 1 6 0 所以f x 在 1 10 之间有一个零点 因为f e4 4 4 0 所以f x 在 10 e4 之间有一个零点 10 e4 从而f x 有两个不同的零点 8 分 3 方法一方法一 由题意知 1 lnx 0 对x 2 恒成立 k x 2 x 即k 对x 2 恒成立 x xlnx x 2 令h x 则h x x xlnx x 2 x 2lnx 4 x 2 2 设v x x 2lnx 4 则v x x 2 x 当x 2 时 v x 0 所以v x 在 2 为增函数 因为v 8 8 2ln8 4 4 2ln8 0 v 9 5 2ln9 0 所以存在x0 8 9 v x0 0 即x0 2lnx0 4 0 当x 2 x0 时 h x 0 h x 单调递减 当x x0 时 h x 0 h x 单调递增 所以当x x0时 h x 的最小值h x0 x0 x0lnx0 x0 2 因为 lnx0 所以h x0 4 4 5 x0 4 2 x0 2 故所求的整数k的最大值为 4 16 分 方法二方法二 由题意知 1 lnx 0 对x 2 恒成立 k x 2 x f x 1 lnx f x k x 2 x x 2k x2 当 2k 2 即k 1 时 f x 0 对x 2 恒成立 所以f x 在 2 上单调递增 而f 2 1 ln2 0 成立 所以满足要求 当 2k 2 即k 1 时 当x 2 2k 时 f x 0 f x 单调递减 当x 2k f x 0 f x 单调递增 所以当x 2k时 f x 有最小值f 2k 2 ln2k k 从而f x 0 在x 2 恒成立 等价于 2 ln2k k 0 令g k 2 ln2k k 则g k 0 从而g k 在 1 为减函数 1 k k 因为g 4 ln8 2 0 g 5 ln10 3 0 所以使 2 ln2k k 0 成立的最大正整数k 4 精品文档 15欢迎下载 综合 知所求的整数k的最大值为 4 16 分 20 本小题满分 16 分 给定一个数列 an 在这个数列里 任取m m 3 m N N 项 并且不改变它们在数列 an 中的先后次序 得到的数列称为数列 an 的一个m阶子数列 已知数列 an 的通项公式为an n N N a为常数 等差数列a2 a3 a6是数列 an 的一个 3 阶 1 n a 子数列 1 求a的值 2 等差数列b1 b2 bm是 an 的一个m m 3 m N N 阶子数列 且b1 k为常数 1 k k N N k 2 求证 m k 1 3 等比数列c1 c2 cm是 an 的一个m m 3 m N N 阶子数列 求证 c1 c2 cm 2 1 2m 1 解 解 1 因为a2 a3 a6成等差数列 所以a2 a3 a3 a6 又因为a2 a3 a6 1 2 a 1 3 a 1 6 a 代入得 解得a 0 3 分 1 2 a 1 3 a 1 3 a 1 6 a 2 设等差数列b1 b2 bm的公差为d 因为b1 所以b2 1 k 1 k 1 从而d b2 b1 6 分 1 k 1 1 k 1 k k 1 所以bm b1 m 1 d 1 k m 1 k k 1 又因为bm 0 所以 0 1 k m 1 k k 1 即m 1 k 1 所以m k 2 又因为m k N N 所以m k 1 9 分 3 设c1 t N N 等比数列c1 c2 cm的公比为q 1 t 因为c2 所以q 1 t 1 c2 c1 t t 1 从而cn c1qn 1 1 n m n N N 1 t n 1 精品文档 16欢迎下载 B A D E C F 第 21A 题图 B A D E C F 第 21A 题图 所以c1 c2 cm 1 t 1 t 1 1 t 2 1 t m 1 1 t 1 t m 13 分 t 1 t m 1 设函数f x x m 3 m N N 1 xm 1 当x 0 时 函数f x x 为单调增函数 1 xm 1 因为当t N N 所以 1 2 所以f 2 t 1 t t 1 t 1 2m 1 即 c1 c2 cm 2 16 分 1 2m 1 南京市 盐城市南京市 盐城市 20152015 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案数学附加题参考答案 A A 选修 选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 过点A的圆与BC切于点D 且与AB AC分别交于点E F 已知AD为 BAC的平分线 求证 EF BC 证明 证明 如图 连接ED 因为圆与BC切于D 所以 BDE BAD 4 分 因为AD平分 BAC 所以 BAD DAC 又 DAC DEF 所以 BDE DEF 所以EF BC 10 分 B B 选修 选修 4 4 2 2 矩阵与变换 矩阵与变换 已知矩阵A A A A的逆矩阵A A 1 3 0 2a 1 求a b的值 精品文档 17欢迎下载 2 求A A的特征值 解解 1 因为A A A A 1 3 0 2a 10 2 3 ab a 1 0 0 1 所以 a 1 2 3 ab 0 解得a 1 b 5 分 2 3 2 由 1 得A A 3 0 2 1 则A A的特征多项式f 3 1 30 2 1 令f 0 解得A A的特征值 1 1 2 3 10 分 C C 选修 选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中 已知曲线C s为参数 直线l t为参数 设C与l交 x s y s2 于A B两点 求线段AB的长度 解 解 由消去s得曲线C的普通方程为y x2 x s y s2 由消去t得直线l的普通方程为y 3x 2 5 分 联立直线方程与曲线C的方程 即 y x2 y 3x 2 解得交点的坐标分别为 1 1 2 4 所以线段AB的长度为 10 分 2 1 2 4 1 210 D D 选修 选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 已知x y z都是正数 且xyz 1 求证 1 x 1 y 1 z 8 证明 证明 因