第三章-非惯性参考系-习题解答

精品文档 1欢迎下载 3 13 1 一船蓬高 在雨中航行时 它的雨蓬庶着蓬的垂直投影后的甲板 但当停航4m2m 时 甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前处 如果雨点的速率是 8 求船航行的3m m s 速率u 解 解 由题意设雨的绝对速度为 雨的相对速度为 船航行的速度为 数据如图所示 v v u 则有 b vvv 在速度三角形中 正弦定理 ABC sin sin 2 sin uvv sin sin sincoscossin sin 2 coscos vvv u 由图中数据知 22 42 cos 5 42 22 21 sin 5 42 22 44 cos 5 43 22 33 sin 5 43 已知雨的绝对速率8 vm s 代入前面数据可得 81 42 3 sincoscossin 8 2 cos5555 5 v um sm s 3 23 2 河的宽度为 水的流速与离开河岸的距离成正比 岸边水的流速为 0 河中心处水d 的流速为 河中一小船内的人 以相对于水流恒定的速率 垂直于水流向岸边划去 cu 求小船的航行轨迹和抵达对岸的地点 解 解 建立如图坐标系 取小船的出发点为 轴垂直于河岸 轴平行于河岸 o xy 0 xxy 因河流中心水流速度为 水的流速与离开河岸的距离成正比c 所以水流速度为 t v 河的左侧 水流速率为 0 2 d x 2 t c vx d 河的右侧 水流速率为 2 d xd 2 t c vdx d 由速度变换关系知 tt vvuxiyjv jui 小船位于河岸的左侧内 0 0 2 d x xu 3m2m 4m v v u A BC d y x o c 河岸河岸 t v u v 精品文档 2欢迎下载 2 t c yvx d 积分有 00 00 222 ttxx xx ccdtc ydtxdtxdxxdx dddxud 解得 22 0 cc yxx udud 0 0 2 d x x 小船位于河岸的右侧内 0 2 d xd xu 2 t c yvdx d 积分有 00 00 222 ttxx xx ccdtc ydtdx dtdxdxdx dx dddxud 解得 22 0 c yxdxd ud 0 2 d x xd 所以小船的航行轨迹为 22 0 cc yxx udud 0 0 2 d x x 22 0 c yxdxd ud 0 2 d x xd 若小船位于河岸的左侧内 当抵达河的中心时有 0 0 2 d x 2 d x 那么 2 10 4 cdc yx uud 若小船位于河的中心 当抵达河岸时 那么 0 2 d x xd 2 4 cd y u 所以小船位于河岸的左侧内 当抵达河岸时 0 0 2 d x 2 120 2 cdc yyyx uud 若小船位于河岸的右侧内 当抵达河岸时 那么 0 2 d xd xd 2 0 c yxd ud 若小船从河岸的左侧出发 那么 0 0 x 2 cd y u 3 33 3 一圆盘以匀角速度绕过圆心并与圆盘面垂直的轴转动 一质点沿圆盘上的弦 M 以恒定的相对速度运动 如图所示 已知该弦离盘心的距离为 求在以地面为参考系u b 时 质点的速度和加速度 表示成质点离弦中点的距离的函数 MMx 解 解 在圆盘上建立如图所示的随盘转动的直角坐标系 地面为惯性系 则 Oxyz MO vvvrvruikxibj ub ixj 22 2 MM MM dvd v avujkub ixj dtdt xiub j x y AM O b 精品文档 3欢迎下载 或利用可直接求出 2 MO aaarrv 3 43 4 一飞机在赤道上空以速率水平飞行 考虑到地球的自转效应 分别在下1000 km h 列情形下求出飞机相对于惯性坐标系 不随地球转动的坐标系 的速率 i 向北飞行 ii 向西飞行 iii 向东飞行 已知地球半径为6370km 解 解 建立如图所示的直角坐标系 使飞机位于轴上 Oxyz x 则 5 7 29 10 krad s k 飞机位于赤道上空以速率水平飞行 1000 km h 则 2 1000 2 78 10 vkm hm s 6 6 37 10 rr im i t vvvrvr i 向北飞行 那么 vv k 256 2 2 78 10 7 29 10 6 37 10 2 78 10 464 37 vvrm s krad s km i m s km s j 所以 222 2 78 10 464 37 541 vm sm s ii 向西飞行 那么 vv j 256 2 2 78 10 7 29 10 6 37 10 2 78 10 464 37 186 vvrm s jrad s km i m s jm s jm s j iii 向东飞行 那么 vv j 256 2 2 78 10 7 29 10 6 37 10 2 78 10 464 37 742 vvrm s jrad s km i m s jm s jm s j 3 53 5 一契子 顶角为 以匀加速度沿水平方向加速运动 质量为的质点沿楔子的 0 m 光滑斜面滑下 如图所示 求质点相对于楔子的加速度及质点对楔子斜面的压力 a F 解 解 建立如图所示的直角坐标系附着在楔子上 在中的受力分析如图所示 则有 Oxyz 1 0 cossin0 N F jmgjmaj N S z y x O P m y x 0 a O N F mg 0 ma 精品文档 4欢迎下载 2 0 sincos mgimaima 由 1 式可求得 0 cossin N F jm gaj 所以质点对楔子斜面的压力 0 cossin N FFm gaj 由 2 式可求得 0 sincos agai 3 63 6 一缆车 以大小为 与地平线成角的匀加速度上升 缆车中一物体自离缆车地 0 a 板高度处自由下落 求此物体落至地板处的位置 h 解 解 建立如图所示的直角坐标系附着在缆车上Oxyz 取物体开始落的位置为原点 质点运动的平面为Oxy 受力分析如图示 设质点自由下落到地板的时间为 则有 t 方向 x 2 0 1 sin 2 gath 方向 y 2 0 1 cos 2 aty 联立求得 即物体落到初始位置在地板的投影点后面处 0 0 cos sin ha y ga 0 0 cos sin ha ga 3 73 7 一单摆摆长为 悬挂点在水平线上作简谐振动 这里是悬挂点l Osinxapt x 离开水平线上的固定点的距离 如图 开始时摆锤铅直下垂 相对于的速度为零 O O 证明单摆此后的微小振动规律为 式中 2 22 sinsin app ptkt l kpk 2 g k l 解 解 以点为极点 竖直向下为极轴 受力分析如图所示 O 因 所以 sinxapt cosxappt 2 sinxappt 当角度很小时 有 sin 2 2 cos1 2sin11 22 由牛顿第二定律 在横向有 cossinmxmgml 代入 可得 x sin cos 2 sin0 gap pt ll 易知的通解为 式中 为积分待定常数0 g l 1 cos g At l A 0 a 0 ma mg x y O Ox l mx mg T 精品文档 5欢迎下载 设的特解为的虚部 代入有 2 sin0 gap pt ll 2 ipt Be 解得 故特解为 2 2 0 iptiptipt gap Bp eBee ll 2 2 ap B gp l 2 2 2 sin ap pt gp l 所以的通解为 2 sin0 gap pt ll 2 12 2 cos sin gap Atpt lgp l 3 2 sin cos ggap Atpt llgp l 代入初始条件 时 可得 0t 0 0l 2 3 2 apl A gp lg 所以有 2 2 sinsin aplg ptpt gp lgl 3 83 8 一竖直放置的钢丝圆圈 半径为 其上套有一质量为的光滑小环 今若钢丝圈rm 以匀加速度竖直向上运动 求小环相对于钢丝圈的速率和钢丝圈对小环的作用力大小a u N F 已知初始时刻钢丝圈圆心与小环的连线跟铅直线之间的夹角 小环的相对速率 0 0 uu 解 解 以点为极点 竖直向下为极轴 建立平面极坐标系 O 受力分析如图 则有 径向 1 2 cos N m gaFmur 横向 2 sinm gamu 初始条件 时 3 0t 0 0 uu 对 2 变形 sin duddudduu du m gamummmm dtdt ddt dr d 分离变量 singa rdudu 代入 3 有 2 1 cos0 2 uga rC 2 00 1 cos 2 Cuga r m O N F mg ma r 精品文档 6欢迎下载 所以 负根舍去 2 00 2 coscos uur ga 代入 1 有 2 0 0 3cos2cos N mu Fm ga r 3 93 9 一平放于光滑水平桌面上的圆盘 以恒定角速度绕固定的圆盘中心转动 有一质 量为的人沿圆盘上确定的半径以恒定的相对速率向圆盘的边缘走动 试分别利用 mu a 地面惯性系 b 圆盘非惯性系 讨论圆盘对人的作用力 解 解 受力分析如图示 左图为地面惯性系中人受力情况 右图为圆盘非惯性系中人受力情 况 地面惯性系中建立极坐标系 取圆心为原点 初始时刻人走的半径为极轴 方向 rb e e e 那么相对速度 相对位移为 角速度为 r vuue r rrre b e a 地面惯性系中 由受力图示分析可知 圆盘对人的作用力为 Nf rbrr vvrurueereuere 22 2 rrbr rr dvdd auereuereeuere dtdtdt reuereuere 由牛顿第二定律知 即0Nmg b Nmge 22 2 2 rr Nfmgfmamueremrem ue 所以圆盘对人的作用力为 2 2 rb Nfmrem uemge 由于都为常数 所以圆盘对人的作用力只跟有关 m ug r b 圆盘非惯性系中 受力分析如图所示 人匀速行走 所以有 即0Nmg b Nmge 0fmumr man disk mg r f N man disk mg r N mr 2mu f 精品文档 7欢迎下载 即 2 2 2 2 brbbrr fmumrm euem eeremrem ue 所以圆盘对人的作用力为 2 2 rb Nfmrem uemge 由于都为常数 所以圆盘对人的作用力只跟有关 m ug r 3 103 10 半径为竖直放置的光滑圆环 绕通过其圆心的铅直轴以恒定的角速度转动 在r 此圆环上套有一质量为的小环 自处相对于圆环无初速地沿环下滑 问小环的m 4 位置为何值时 它的滑动将开始反向 这里是圆心与小环的连线跟转轴之间的夹角 解 解 以圆环为参考系 受力分析如图所示 小环受到重力 大圆环的支持力 科里奥利力 和惯性离心力 2 2cos C Fmvm r 2 sin i Fmrmr 在整个运动过程中只有重力和惯性离心力做功 对小环由动能定理有 mg i F 2 4 21 cos 22 i mgrF dsmv 即 222 4 21 cos sincos 22 mgrmrdmv 开始反向时 0v 即 22 2 2 coscos0 224 rr gg 解得 2 2 2 2 2 cos 1 1 2 22 2 gr rg g r 显然取 即时 小环开始反向运动 2 22 cos 2 g r 2 22 arccos 2 g r 3 113 11 一内壁光滑的管子 在水平面内绕通过其端点的的铅直轴 以恒定的角速度转O 动 管内有一质量为的质点 用一自然长度为 劲度系数为的弹簧和管子的端点mlk 相连 O 设初始时质点到的距离为且 求质点在管中的运动方程及它对管壁的压力Oxl 0 x N F 解 解 取点为原点 建立附着在管子上的直角坐标系 OOxyz 质点受到重力 管壁的压力 弹簧的张力 mg N F T Fk xl i 科里奥利力和惯性离心力2 2 C Fmvm xj 2 i Fmrmxi 若假定质点偏离平衡位置向轴正向移动 受力分析如图示 由牛顿第二定律知 x O r mg N C F i F 精品文档 8欢迎下载 0 C FmgN Ti FFmxi 即2 C NmgFmgkm xj 2 k xl imximxi 化简 2 0 kkl xx mm 的通解为 为积分待定常数 2 0 k xx m 2 1 cos k xAt m A 设的特解为 其中为常数 2 0 kkl xx mm 2 xB B 代入可得 2 2 kl xB km 所以的通解为 2 0 kkl xx mm 2 12 2 cos kkl xxxAt mkm 22 sin kk xAt mm 代入初始条件 时 可得 0t xl 0 x 20 1 2 kk 2 22 klml Al kmkm 所以有 22 2 sin mk xlt kmm 2 2 22 cos mlkkl xt kmmkm 32 2 2sin mk Nmgkmltj kmm 因弹簧振子的圆频率 所以上式又可写成 k m 2222 2222 2222222 cos cos lll xtt 3 22 22 2sinNmgkmltj 3 123 12 质量为的小环套在半径为的光滑圆圈上 若圆圈在水平面内以匀角速度绕其mr 圆周上的一点转动 试分别写出小环沿圆圈切线方向和法线方向的运动微分方程 以小环相 O x k x T F C F z mg i F N F O r i F m C F N F O F A 精品文档 9欢迎下载 对于圆圈绕圆心转过的角度为参量写出 设圆圈对小环的作用力大小用表示 并可 N F 略去小环的重力 解 解 由于略去了小环的重力 所以在选取圆圈为参考系中 小环的受力如图所示 小环受到圆圈的作用力 Nn F e 科里奥利力2 2 2 Cnn Fmvm v em r e 小环相对点的惯性离心力O 2 in Fmrmre 相对点有向心加速度 小环的惯性力 OA 2 OOAO Fmamre 那么小环的运动学方程为 切向 即sin O Fmr 2 sin0 法向 即 2 cos NCiO FFFFmr 222 2cos N Fm rmrmrmr 事实上 也可通过 求得 OAOOm vvvrr N Fdv a dtm 3 133 13 一质量为的质点 位于光滑的水平平台上 此平台以匀角速度绕通过平台上一m 定点的铅直轴转动 若质点受到点的吸引力作用 这里是质点相对于OO 2 Fmr r 点的径矢 试证明 质点在任何起始条件下 将绕点以角速度作圆周轨道运动 OO 证明 证明 水平台以匀角速度绕通过平台上一定点的铅直轴转动 取水平平台为参考系 O 水平平台光滑 质点受到重力 平台的支持力和点的吸引力以及惯mg N F O 2 Fmr 性离心力 2 Fmr 质点在竖直方向上没有离开水平平台 有 在水平方向0 N mgF 0FF 所以质点相对水平平台静止 故小球绕点以角速度作圆周轨道运动 O 或者利用证明 0vF 3 143 14 一抛物线形金属丝竖直放置 顶点向下 以匀角速率绕竖直轴转动 一质量为 的光滑小环套在金属丝上 写出小环在金属丝上滑动时的运动微分方程 已知金属丝构m 成的抛物线方程为 这里为常数 2 4xay a 解 解 如图 取顶点为原点 建立直角坐标系附着在多属丝上 Oxyz 在中 小环受到重力 Oxyz mgmgj 科里奥利力 2 2 C Fmvm v k C F N F O F y x O mg z 精品文档 10欢迎下载 惯性离心力 2 O Fmximxi 金属丝的作用力 NNxNyNz FF iFjF k 由牛顿第二定律可得 方向 即 1 x NxO F iFmxi 2 Nx Fmxx 方向 即 2 y Ny Fjmgjmyj Ny Fm gy 方向 即 3 z0 NzC F kFmzk 22 2 2 Nz Fm vmxy 又金属丝构成的抛物线方程为 求一阶导化简得 4 2 4xay 2 Nx Ny Fdyx tg dxaF 二阶导为 2 1 2 yxxx a 联立 1 2 4 可求得 22 2 1 2 2 Nx Ny Fxxxxx Fgya gxxx a 化简求得小环在金属丝上滑动时的运动微分方程 222 22 11 1 0 44 xxxxgx aa 3 153 15 在北纬处 一质点以初速率竖直上抛 到达高度时又落回地面 考虑地球的 0 vh 自转效应 不计空气的阻力 求质点落地位置与上抛点之间的距离 是偏东还是偏西 为 什么 解 解 取抛点为原点 建立直角坐标系附着在地面上 其中轴指向正南 轴Oxyz OxOy 指向正东 轴竖直向上 质点只受到重力 故质点的运动学方程为 Oz 1 2sinmxm y 2 2 sincos mymxz 3 2cosmzmgm y 质点初始时刻的运动状态为 时 0t 0 xyz 0 xy 0 zv 对 1 2 3 积分并代入初始条件得 4 2sinxy 5 2 sincos yxz 精品文档 11欢迎下载 6 0 2coszvgty 因 忽略项 把 5 式代入 1 3 式可得