等比数列知识点总结与典型例题+答案

精品文档 1欢迎下载 等比数列知识点总结与典型例题等比数列知识点总结与典型例题 1 1 等比数列的定义 等比数列的定义 称为公比公比 1 2 n n a q qnnN a 0且q 2 2 通项公式 通项公式 首项 公比 1 1 11 0 0 nnn n a aa qqA Ba qA B q 1 aq 推广 n mn m nn n m nm mm aa aa qqq aa 3 3 等比中项 等比中项 1 如果成等比数列 那么叫做与的等差中项 即 或 a A bAab 2 Aab Aab 注意 同号的同号的两个数才有才有等比中项 并且它们的等比中项有两个有两个 2 数列是等比数列 n a 2 11nnn aaa 4 4 等比数列的前 等比数列的前项和项和公式 公式 n n S 1 当时 1q 1n Sna 2 当时 1q 1 1 1 11 n n n aq aa q S qq 为常数 11 11 nnn aa qAA BA BA qq A B A B 5 5 等比数列的判定方法 等比数列的判定方法 1 用定义 对任意的 都有为等比数n 1 1 0 n nnnn n a aqaq qaa a 或为常数 列 2 等比中项 为等比数列 2 1111 0 nnnnnn aaaaaa 3 通项公式 为等比数列 0 n nn aA BA Ba 6 6 等比数列的证明方法 等比数列的证明方法 依据定义 若或为等比数列 1 2 n n a q qnnN a 0且 1 nnn aqaa 7 7 等比数列的性质 等比数列的性质 精品文档 2欢迎下载 2 对任何 在等比数列中 有 m nN n a n m nm aa q 3 若 则 特别的 当时 得 mnst m n s tN nmst aaaa 2mnk 注 注 2 nmk aaa 12132nnn a aaaa a 等差和等比数列比较 等差和等比数列比较 经典例题透析经典例题透析 类型一 类型一 等比数列的通项公式等比数列的通项公式 例例 1 1 等比数列中 求 n a 19 64a a 37 20aa 11 a 思路点拨 思路点拨 由等比数列的通项公式 通过已知条件可列出关于和的二元方程组 解出 1 aq 和 可得 或注意到下标 可以利用性质可求出 再求 1 aq 11 a1 937 3 a 7 a 11 a 等差数列等比数列 定义 daa nn 1 0 1 qq a a n n 递推公 式 daa nn 1 mdaa nmn qaa nn1 mn mn qaa 通项公 式 dnaan 1 1 1 1 n n qaa 0 1 qa 中项 2 knkn aa A 0 knNkn 0 knknknkn aaaaG 0 knNkn 前n项和 2 1nn aa n S d nn naSn 2 1 1 2 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 重要 性质 qpnmNqpnm aaaa qpnm qpnmNqpnm aaaa qpnm 精品文档 3欢迎下载 总结升华 总结升华 列方程 组 求解是等比数列的基本方法 同时利用性质可以减少计算量 解题过程中具体求解时 要设法降次消元 常常整体代入以达降次目的 故较多变形 要用除法 除式不为零 举一反三 举一反三 变式 1 an 为等比数列 a1 3 a9 768 求 a6 变式 2 an 为等比数列 an 0 且 a1a89 16 求 a44a45a46的值 变式 3 已知等比数列 若 求 n a 123 7aaa 123 8a a a n a 类型二 类型二 等比数列的前等比数列的前 n n 项和公式项和公式 例例 2 2 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S3 S6 2S9 求数列的公比 q 举一反三 举一反三 变式 1 求等比数列的前 6 项和 1 1 1 3 9 变式 2 已知 an 为等比数列 a1a2a3 27 S3 13 求 S5 精品文档 4欢迎下载 变式 3 在等比数列中 求和 n a 1 66 n aa 21 128 n aa 126 n S nq 类型三 类型三 等比数列的性质等比数列的性质 例例 3 3 等比数列中 若 求 n a 56 9aa 3132310 loglog logaaa 举一反三 举一反三 变式 1 正项等比数列中 若 a1 a100 100 则 n a lga1 lga2 lga100 变式 2 在和之间插入三个数 使这五个数成等比数列 则插入的三个数的乘积 8 3 27 2 为 类型四 类型四 等比数列前等比数列前 n n 项和公式的性质项和公式的性质 例例 4 4 在等比数列中 已知 求 n a48 n S 2 60 n S 3n S 思路点拨 思路点拨 等差数列中也有类似的题目 我们仍然采用等差数列的解决办法 即等比数 列中前 k 项和 第 2 个 k 项和 第 3 个 k 项和 第 n 个 k 项和仍然成等比数列 举一反三 举一反三 变式 1 等比数列中 公比 q 2 S4 1 则 S8 n a 变式 2 已知等比数列的前 n 项和为 Sn 且 S10 10 S20 40 求 S30 n a 精品文档 5欢迎下载 变式 3 等比数列的项都是正数 若 Sn 80 S2n 6560 前 n 项中最大的一项为 n a 54 求 n 变式 4 等比数列中 若 a1 a2 324 a3 a4 36 则 a5 a6 n a 变式 5 等比数列中 若 a1 a2 a3 7 a4 a5 a6 56 求 a7 a8 a9的值 n a 类型五 等差等比数列类型五 等差等比数列的综合应用的综合应用 例例 5 5 已知三个数成等比数列 若前两项不变 第三项减去 32 则成等差数列 若再将此 等差数列的第二项减去 4 则又成等比数列 求原来的三个数 思路点拨 思路点拨 恰当地设元是顺利解方程组的前提 考虑到有三个数 应尽量设较少的未知数 并将其设为整式形式 总结升华 总结升华 选择适当的设法可使方程简单易解 一般地 三数成等差数列 可设此三数 精品文档 6欢迎下载 为 a d a a d 若三数成等比数列 可设此三数为 x xy 但还要就问题而言 这里解 y x 法二中采用首项 a 公比 q 来解决问题反而简便 举一反三 举一反三 变式 1 一个等比数列有三项 如果把第二项加上 4 那么所得的三项就成为等差数 列 如果再把这个等差数列的第三项加上 32 那么所得的三项又成为等比数列 求原来的等 比数列 变式 2 已知三个数成等比数列 它们的积为 27 它们的平方和为 91 求这三个数 变式 3 有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 并且第一个数与 第四个数的和是 16 第二个数与第三个数的和为 12 求这四个数 类型六 类型六 等比数列的判断与证明等比数列的判断与证明 例例 6 6 已知数列 an 的前 n 项和 Sn满足 log5 Sn 1 n n N 求出数列 an 的通项公式 并判断 an 是何种数列 思路点拨 思路点拨 由数列 an 的前 n 项和 Sn可求数列的通项公式 通过通项公式判断 an 类型 举一反三 举一反三 变式 1 已知数列 Cn 其中 Cn 2n 3n 且数列 Cn 1 pCn 为等比数列 求常数 p 答案答案 p 2 或 p 3 精品文档 7欢迎下载 证明证明 设数列 an bn 的公比分别为 p q 且 p q 变式 3 判断正误 1 an 为等比数列a7 a3a4 2 若 b2 ac 则 a b c 为等比数列 3 an bn 均为等比数列 则 anbn 为等比数列 4 an 是公比为 q 的等比数列 则 仍为等比数列 2 n a 1 n a 5 若 a b c 成等比 则 logma logmb logmc 成等差 类型七 类型七 S Sn n与与 a an n的关系的关系 例例 7 7 已知正项数列 an 其前 n 项和 Sn满足 且 a1 a3 a15成等比数 2 1056 nnn Saa 列 求数列 an 的通项 an 总结升华 总结升华 等比数列中通项与求和公式间有很大的联系 它们是 1 1 1 2 n nn an a SSn 尤其注意首项与其他各项的关系 举一反三 举一反三 变式 命题 1 若数列 an 的前 n 项和 Sn an b a 1 则数列 an 是等比数列 命题 2 若数列 an 的前 n 项和 Sn na n 则数列 an 既是等差数列 又是等比数列 上述两个命 题中 真命题为 个 精品文档 8欢迎下载 经典例题透析经典例题透析 类型一 类型一 等比数列的通项公式等比数列的通项公式 例例 1 1 等比数列中 求 n a 19 64a a 37 20aa 11 a 思路点拨 思路点拨 由等比数列的通项公式 通过已知条件可列出关于和的二元方程组 解出和 可 1 aq 1 aq 得 或注意到下标 可以利用性质可求出 再求 11 a1 937 3 a 7 a 11 a 解析 解析 法一 法一 设此数列公比为 则q 8 1911 26 3711 64 1 20 2 a aa a q aaa qa q 由 2 得 3 24 1 1 20a qq 1 0a 由 1 得 4 42 1 64a q 4 1 8a q 3 4 得 4 2 1205 82 q q 解得或 42 2520qq 2 2q 2 1 2 q 当时 2 2q 1 2a 10 111 64aa q 当时 2 1 2 q 1 32a 10 111 1aa q 法二 法二 又 1937 64a aaa 37 20aa 为方程的两实数根 3 a 7 a 2 20640 xx 或 4 16 7 3 a a 16 4 7 3 a a 或 2 3117 aaa 2 7 11 3 1 a a a 11 64a 总结升华 总结升华 列方程 组 求解是等比数列的基本方法 同时利用性质可以减少计算量 解题过程中具体求解时 要设法降次消元 常常整体代入以达降次目的 故较多变形要用除法 除 式不为零 举一反三 举一反三 变式 1 an 为等比数列 a1 3 a9 768 求 a6 答案答案 96 法一 法一 设公比为 q 则 768 a1q8 q8 256 q 2 a6 96 法二 法二 a52 a1a9a5 48q 2 a6 96 变式 2 an 为等比数列 an 0 且 a1a89 16 求 a44a45a46的值 精品文档 9欢迎下载 答案答案 64 又 an 0 a45 4 2 18945 16a aa 3 44454645 64a a aa 变式 3 已知等比数列 若 求 n a 123 7aaa 123 8a a a n a 答案答案 或 1 2n n a 3 2 n n a 法一 法一 2 132 a aa 3 1232 8a a aa 2 2a 从而解之得 或 13 13 5 4 aa a a 1 1a 3 4a 1 4a 3 1a 当时 当时 1 1a 2q 1 4a 1 2 q 故或 1 2n n a 3 2 n n a 法二法二 由等比数列的定义知 21 aa q 2 31 aa q 代入已知得 2 111 2 111 7 8 aa qa q a a q a q 2 1 33 1 1 7 8 aqq a q 2 1 1 1 7 1 2 2 aqq a q 将代入 1 得 1 2 a q 2 2520qq 解得或2q 1 2 q 由 2 得或 以下同方法一 1 1 2 a q 1 4 1 2 a q 类型二 类型二 等比数列的前等比数列的前 n n 项和公式项和公式 例例 2 2 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S3 S6 2S9 求数列的公比 q 解析 解析 若 q 1 则有 S3 3a1 S6 6a1 S9 9a1 因 a1 0 得 S3 S6 2S9 显然 q 1 与题设矛盾 故 q 1 由得 369 2SSS 369 111 1 1 2 1 111 aqaqaq qqq 整理得 q3 2q6 q3 1 0 由 q 0 得 2q6 q3 1 0 从而 2q3 1 q3 1 0 精品文档 10欢迎下载 因 q3 1 故 所以 3 1 2 q 3 4 2 q 举一反三 举一反三 变式 1 求等比数列的前 6 项和 1 1 1 3 9 答案答案 364 243 1 1a 1 3 q 6n 6 6 6 1 11 3 31364 1 1 23243 1 3 S 变式 2 已知 an 为等比数列 a1a2a3 27 S3 13 求 S5 答案答案 121 121 9 或 则 a1 1 或 a1 9 3 22 273aa 3 1 1 1 133 13 aq qq q 或 5 5 55 1 91 1 31213 121S 1 1 39 1 3 S 或 变式 3 在等比数列中 求和 n a 1 66 n aa 21 128 n aa 126 n S nq 答案答案 或 2 1 2 q 6n 211nn aaa a 1 128 n a a 解方程组 得 或 1 1 128 66 n n a a aa 1 64 2 n a a 1 2 64 n a a 将代入 得 1 64 2 n a a 1 1 n n aa q S q 1 2 q 由 解得 1 1 n n aa q 6n 将代入 得 1 2 64 n a a 1 1 n n aa q S q 2q 由 解得 1 1 n n aa q 6n 精品文档 11欢迎下载 或 2 1 2 q 6n 类型三 类型三 等比数列的性质等比数列的性质 例例 3 3 等比数列中 若 求 n a 56 9aa 3132310 loglog logaaa 解析 解析 是等比数列 n a 11029384756 9a aaaaaaaaa 1032313 logloglogaaa 55 3123103563 log log log 910a aaaaa 举一反三 举一反三 变式 1 正项等比数列中 若 a1 a100 100 则 lga1 lga2 lga100 n a 答案答案 100 lga1 lga2 lga3 lga100 lg a1 a2 a3 a100 而 a1 a100 a2 a99 a3 a98 a50 a51 原式 lg a1 a100 50 50lg a1 a100 50 lg100 100 变式 2 在和之间插入三个数 使这五个数成等比数列 则插入的三个数的乘积为 8 3 27 2 答案答案 216 法一 法一 设这个等比数列为 其公比为 n aq 1 8 3 a 44 51 278 23 aa qq 4 81 16 q 2 9 4 q 2336 2341111 aaaa q a qa qaq 33 3 89 6216 34 法二 法二 设这个等比数列为 公比为 则 n aq 1 8 3 a 5 27 2 a 加入的三项分别为 2 a 3 a 4 a 由题意 也成等比数列 故 1 a 3 a 5 a 2 3 827 36 32 a 3 6a 23 234333 216aaaaaa 类型四 类型四 等比数列前等比数列前 n n 项和公式的性质项和公式的性质 例例 4 4 在等比数列中 已知 求 n a48 n S 2 60 n S 3n S 思路点拨 思路点拨 等差数列中也有类似的题目 我们仍然采用等差数列的解决办法 即等比数列中前 k 项和 第 2 个 k 项和 第 3 个 k 项和 第 n 个 k 项和仍然成等比数列 解析 解析 法一 法一 令 b1 Sn 48 b2 S2n Sn 60 48 12 b3 S3n S2n 观察 b1 a1 a2 an b2 an 1 an 2 a2n qn a1 a2 an b3 a2n 1 a2n 2 a3n q2n a1 a2 an 精品文档 12欢迎下载 易知 b1 b2 b3成等比数列 22 2 3 1 12 3 48 b b b S3n b3 S2n 3 60 63 法二 法二 2 2 nn SS 1q 由已知得 1 2 1 1 48 1 1 60 1 n n aq q aq q 得 即 5 1 4 n q 1 4 n q 代入 得 1 64 1 a q 3 1 3 3 1 1 64 1 63 14 n n aq S q 法三 法三 为等比数列 也成等比数列 n a n S 2nn SS 32nn SS 2 232 nnnnn SSSSS 22 2 32 6048 6063 48 nn nn n SS SS S 举一反三 举一反三 变式 1 等比数列中 公比 q 2 S4 1 则 S8 n a 答案答案 17 S8 S4 a5 a6 a7 a8 S4 a1q4 a2q4 a3q4 a4q4 S4 q4 a1 a2 a3 a4 S4 q4S4 S4 1 q4 1 1 24 17 变式 2 已知等比数列的前 n 项和为 Sn 且 S10 10 S20 40 求 S30 n a 答案答案 130 法一 法一 S10 S20 S10 S30 S20构成等比数列 S20 S10 2 S10 S30 S20 即 302 10 S30 40 S30 130 法二 法二 2S10 S20 1q 10 1 1 10 1 10 q qa S 20 1 20 1 40 1 aq S q 10 20 11 14 q q 10 3q 5 1 1 q a 130 31 5 1 1 3 30 1 30 q qa S 变式 3 等比数列的项都是正数 若 Sn 80 S2n 6560 前 n 项中最大的一项为 54 求 n n a 答案答案 否则 6560 80 2 n n S S 1q 2 1 2 n n S S 精品文档 13欢迎下载 80 1 1 1 1 n n aq S q 6560 2 2 1 2 1 1 n n aq S q 2 1 得 1 qn 82 qn 81 3 该数列各项为正数 由 3 知 q 1 an 为递增数列 an为最大项 54 an a1qn 1 54 a1qn 54q 81a1 54q 4 代入 1 得 1 542 813 aqq 2 1 81 80 1 3 qq q 3 n 4 变式 4 等比数列中 若 a1 a2 324 a3 a4 36 则 a5 a6 n a 答案答案 4 令 b1 a1 a2 a1 1 q b2 a3 a4 a1q2 1 q b3 a5 a6 a1q4 1 q 易知 b1 b2 b3成等比数列 b3 4 即 a5 a6 4 1 2 2 b b 324 362 变式 5 等比数列中 若 a1 a2 a3 7 a4 a5 a6 56 求 a7 a8 a9的值 n a 答案答案 448 an 是等比数列 a4 a5 a6 a1 a2 a3 q3 q3 8 a7 a8 a9 a4 a5 a6 q3 56 8 448 类型五 等差等比数列类型五 等差等比数列的综合应用的综合应用 例例 5 5 已知三个数成等比数列 若前两项不变 第三项减去 32 则成等差数列 若再将此等差数列的第 二项减去 4 则又成等比数列 求原来的三个数 思路点拨 思路点拨 恰当地设元是顺利解方程组的前提 考虑到有三个数 应尽量设较少的未知数 并将其设为 整式形式 解析 解析 法一 法一 设成等差数列的三数为 a d a a d 则 a d a a d 32 成等比数列 a d a 4 a d 成等比数列 2 4 1 32 2 2 dadaa dadaa 由 2 得 a 3 8 16 2 d 由 1 得 32a d2 32d 4 3 代 4 消 a 解得或 d 8 8 3 d 当时 当 d 8 时 a 10 8 3 d 26 9 a 原来三个数为 或 2 10 50 9 2 9 26 9 338 法二 法二 设原来三个数为 a aq aq2 则 a aq aq2 32 成等差数列 a aq 4 aq2 32 成等比数列 精品文档 14欢迎下载 2 32 4 1 322 22 2 aqaaq aqaaq 由 2 得 代入 1 解得 q 5 或 q 13 2 4 a q 当 q 5 时 a 2 当 q 13 时 2 9 a 原来三个数为 2 10 50 或 9 2 9 26 9 338 总结升华 总结升华 选择适当的设法可使方程简单易解 一般地 三数成等差数列 可设此三数为 a d a a d 若三数成等比数列 可设此三数为 x xy 但还要就问题而言 这里解法二中采用首项 a 公比 y x q 来解决问题反而简便 举一反三 举一反三 变式 1 一个等比数列有三项 如果把第二项加上 4 那么所得的三项就成为等差数列 如果再把 这个等差数列的第三项加上 32 那么所得的三项又成为等比数列 求原来的等比数列 答案答案 为 2 6 18 或 210 50 999 设所求的等比数列为 a aq aq2 则 2 aq 4 a aq2 且 aq 4 2 a aq2 32 解得 a 2 q 3 或 q 5 2 9 a 故所求的等比数列为 2 6 18 或 210 50 999 变式 2 已知三个数成等比数列 它们的积为 27 它们的平方和为 91 求这三个数 答案答案 1 3 9 或 1 3 9 或 9 3 1 或 9 3 1 设这三个数分别为 a a aq q 由已知得 2 222 2 27 91 a a aq q a aa q q 22 2 3 1 1 91 a aq q 得 所以或 42 98290qq 2 9q 2 1 9 q 即或3q 1 3 q 故所求三个数为 1 3 9 或 1 3 9 或 9 3 1 或 9 3 1 变式 3 有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 并且第一个数与第四个数的 和是 16 第二个数与第三个数的和为 12 求这四个数 答案答案 0 4 8 16 或 15 9 3 1 设四个数分别是 x y 12 y 16 x 精品文档 15欢迎下载 2 16 12 1 122 2 xyy yxy 由 1 得 x 3y 12 代入 2 得 144 24y y2 y 16 3y 12 144 24y y2 3y2 28y 4y2 52y 144 0 y2 13y 36 0 y 4 或 9 x 0 或 15 四个数为 0 4 8 16 或 15 9 3 1 类型六 类型六 等比数列的判断与证明等比数列的判断与证明 例例 6 6 已知数列 an 的前 n 项和 Sn满足 log5 Sn 1 n n N 求出数列 an 的通项公式 并判断 an 是何种数列 思路点拨 思路点拨 由数列 an 的前 n 项和 Sn可求数列的通项公式 通过通项公式判断 an 类型 解析 解析 log5 Sn 1 n Sn 1 5n Sn 5n 1 n N a1 S1 51 1 4 当 n 2 时 an Sn Sn 1 5n 1 5n 1 1 5n 5n 1 5n 1 5 1 4 5n 1 而 n 1 时 4 5n 1 4 51 1 4 a1 n N 时 an 4 5n 1 由上述通项公式 可知 an 为首项为 4 公比为 5 的等比数列 举一反三 举一反三 变式 1 已知数列 Cn 其中 Cn 2n 3n 且数列 Cn 1 pCn 为等比数列 求常数 p 答案答案 p 2 或 p 3 Cn 1 pCn 是等比数列 对任意 n N 且 n 2 有 Cn 1 pCn 2 Cn 2 pCn 1 Cn pCn 1 Cn 2n 3n 2n 1 3n 1 p 2n 3n 2 2n 2 3n 2 p 2n 1 3n 1 2n 3n p 2n 1 3n 1 即 2 p 2n 3 p 3n 2 2 p 2n 1 3 p 3n 1 2 p 2n 1 3 p 3n 1 整理得 解得 p 2 或 p 3 1 2 3 230 6 nn pp 显然 Cn 1 pCn 0 故 p 2 或 p 3 为所求 变式 2 设 an bn 是公比不相等的两个等比数列 Cn an bn 证明数列 Cn 不是等比数列 证明证明 设数列 an bn 的公比分别为 p q 且 p q 为证 Cn 不是等比数列 只需证 2 132 CCC 222222 211111 1 2Ca pbqa pb qab pq 22222222 131111111 1 CCaba pbqa pb qab pq 22 1321 1 CCCab pq 又 p q a1 0 b1 0 即 2 132 0CCC 2 132 CCC 数列 Cn 不是等比数列 变式 3 判断正误 1 an 为等比数列a7 a3a4 2 若 b2 ac 则