插值法(拉格朗日插值).ppt

问题的提出拉格朗日插值埃尔米特插值曲线拟合的最小二乘法 第三章插值法 Interpolation 1问题的提出函数y f x 1 解析式未知 2 虽有解析式但表达式较复杂 通过实验计算得到的一组数据 即在某个区间 a b 上给出一系列点的函数值yi f xi 3 列表函数 问题 无法求出不在表中的点的函数值 也不能进一步研究函数的其他性质 如函数的积分和导数等 因此需寻找y f x 的近似函数p x 但要求p xi f xi 插值问题 已知精确函数y f x 在一系列节点x0 xn处测得函数值y0 f x0 yn f xn 由此构造一个简单易算的近似函数p x f x 满足条件p xi f xi i 0 n 这里的p x 称为f x 的插值函数 最常用的插值函数是 多项式 p x f x 1 1Taylor插值函数y f x 在点x0处展开有Taylor多项式 可见 Pn k x0 f k x0 k 0 1 n因此 Pn x 在点x0邻近会很好的逼近f x Taylor展开方法就是一种插值方法 泰勒插值要求提供f x 在点x0处的各阶导数 这仅仅适用于f x 相当简单的情况 设函数y f x 在区间 a b 上有定义 且给出一系列点上的函数值yi f xi i 0 1 2 n 求作n次多项式pn x 使得pn xi yi i 0 1 2 n 函数pn x 为f x 的插值函数 称x0 x1 xn称为插值节点或简称节点 插值节点所界的区间 a b 称为插值区间 pn xi yi称为插值条件 构造的n次多项式可表示为 Pn x a0 a1x a2x2 anxn 1 2Lagrange插值 证明 利用Vandermonde行列式论证 这是一个关于a0 a1 an的n 1元线性方程组 其系数行列式 由于i j时 xi xj 因此 即方程组有唯一解 2拉格朗日插值公式 n 1 可见P1 x 是过 x0 y0 和 x1 y1 两点的直线 称为拉氏基函数 直线方程的两点式 线性插值 抛物插值 l0 x l1 x l2 x n 1 N次拉格朗日插值多项式 与有关 而与无关 节点 f n次多项式 插值余项 Remainder 用简单的插值函数Ln x 代替原复杂函数f x 其精度取决于截断误差 即插值余项 拉格朗日余项定理 注 通常不能确定 而是估计 x a b 将作为误差估计上限 当f x 为任一个次数 n的多项式时 可知 即插值多项式对于次数 n的多项式是精确的 解 n 1 分别利用x0 x1以及x1 x2计算 利用 这里 而 sin50 0 7660444 外推 extrapolation 的实际误差 0 01001 利用 内插 interpolation 的实际误差 0 00596 内插通常优于外推 选择要计算的x所在的区间的端点 插值效果较好 n 2 sin50 0 7660444 2次插值的实际误差 0 00061 高次插值通常优于低次插值 但绝对不是次数越高就越好 嘿嘿 拉格朗日插值多项式编程容易 只需双重循环 如果发现当前的插值方法不够精确 就要增加插值点的个数 则拉格朗日插值基函数li x 都将重新计算 牛顿插值法将讨论该问题 例 已知数据表 试用二次插值计算f 11 75 计算过程保留4位小数 解 因为11 75更接近12 故应取11 12 13三点作二次插值 先作插值基函数 已知x0 11 y0 2 3979 x1 12 y0 2 4849 x2 13 y2 2 5649 2 x f 1