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精品文档 1欢迎下载 质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零 晋江一中物理组 庄新恭 2013 6 5 证明如下 如图 质量均匀分布的球壳 绿色部分 在其内部任放一质点 P 过 P 作一条直线 A1A2 以这条直线为母线 以很小的 为立体角旋转一周得两圆锥 两圆锥截得 两块 球皮 A1A1 和 A2A2 现证明这 两块 球皮 对质点 P 的引力的合力为零 首先 由于两块 球皮 很小 而且 立体角 很小 或者说圆锥的顶角很小 所以由图易知 P 所受两 球皮 的引力 的方向必相反 故只须再证明 P 所受两 球皮 的引力大小相等 为此 设 P 点所放质点的质量为 m 两 球皮 的面积分别为 S1和 S2 球壳的质量面密度为 两 球皮 到 P 点的距离分别为 r1和 r2 由万有引力定律 可得 P 点所放质点 m 受到的两个引力大小分别为和 1 1 2 1 mS FG r A A 2 2 2 2 mS FG r A A 过 P 点沿两圆锥轴线作虚线 蓝色 分别交两 球皮 于 A1 和 A2 两点 这条直 线与两半径的夹角均为 为什么 如图所示 现将 S1投影到与直线 A1 A2 垂直的 平面上 即投影到图中过 A1点且与直线 A1 A2 垂直的平面上 因立体角 圆锥顶角 很小 所以投影平面面积与球冠面积相等 所以投影得到一球冠 面积为 S1 cos 为什么 自己想想 同样的 将 S2投影到过 A2点的平面上 得到另一 球冠 它的面积为 S2 cos 根据球冠的面积公式可得与球冠 2 22cos21 cosSRhR RRR 对应 的圆锥的 立体角为 显然 这一立体角与球的半径 R 2 21 cos S R 球冠的高度 h 均无关 仅与圆锥的顶角的一半有关 对比平面弧度角与圆的半径无关 可以更好地加以理解 万事具备 只欠 1 1 1 1 1 22 cos coscos mSmm FGGG rr S AA AA AA A A1 A1 A1 A2 A2 A2 P O r1 r2 精品文档 2欢迎下载 2 2 2 2 2 22 cos coscos mSmm FGGG rr S AA AA AA A 因为两个圆锥的顶角相等 从而两个立体角 相等 从而 F1与 F2大小相等 这样 我 们就证明了两块 球皮 S1和 S2对放在 P 点质点 m 的引力的合力为零 而整个球壳可分解成这样一对对的 球皮 每一对 球皮 对放在任意点 P 的质点 的引力的合力均为零 所以 质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力 为零 为零 OK 呼呼 附录 附录 球冠面积 与 立体角 将下图立体想象起来 R h 2 22cos21 cosSRhR RRR 2 21 cos S R 式中 R 为球的半径 h 为球冠的高度 为与球冠对应的圆锥的半顶角 精品文档 3欢迎下载 精品文档 4欢迎下载 欢迎
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