2012年全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编

2012 年全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编年全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题专题 2 几何问题 几何问题 一 选择题一 选择题 1 2012 上海市上海市 4 分 分 如果两圆的半径长分别为 6 和 2 圆心距为 3 那么这两个圆的位 置关系是 A 外离 B 相切 C 相交 D 内含 答案答案 D 考点考点 圆与圆的位置关系 分析分析 根据两圆的位置关系的判定 外切 两圆圆心距离等于两圆半径之和 内切 两圆圆心距离等于两圆半径之差 相离 两圆圆心距离大于两圆半径之和 相交 两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差 内含 两圆圆心距离小于两圆半 径之差 因此 两个圆的半径分别为 6 和 2 圆心距为 3 6 2 4 4 3 即两圆圆 心距离小于两圆半径之差 这两个圆的位置关系是内含 故选 D 2 2012 安徽省安徽省 4 分 分 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点 分别沿斜边中点与 这两点的连线剪去两个三角形 剩下的部分是如图所示的直角梯形 其中三边长分别为 2 4 3 则原直角三角形纸片的斜边长是 A 10 B C 10 或 D 10 或5454172 答案答案 C 考点考点 图形的剪拼 直角三角形斜边上中线性质 勾股定理 分析分析 考虑两种情况 分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的 根据题意画出 图形 再根据勾股定理求出斜边上的中线 最后即可求出斜边的长 如左图 点 E 是斜边 AB 的中点 AB 2CE 10 2222 CECDDE4 3 5 如右图 点 E 是斜边 AB 的中点 AB 2CE 2222 CECDDE4 2 2 5 4 5 因此 原直角三角形纸片的斜边长是 10 或 故选 C 4 5 3 2012 广东省广东省 3 分 分 已知三角形两边的长分别是 4 和 10 则此三角形第三边的长可能 是 A 5 B 6 C 11 D 16 答案答案 C 考点考点 三角形三边关系 分析分析 设此三角形第三边的长为 x 则根据三角形两边之和大于第三边 两边之差小于 第三边的构成条件 得 10 4 x 10 4 即 6 x 14 四个选项中只有 11 符合条件 故 选 C 4 2012 广东珠海广东珠海 3 分 分 如果一个扇形的半径是 1 弧长是 那么此扇形的圆心角的大 小为 A 30 B 45 C 60 D 90 答案答案 C 考点考点 弧长的计算 分析分析 根据弧长公式 即可求解 n r l 180 设圆心角是 n 度 根据题意得 解得 n 60 故选 C n1 1803 5 2012 浙江宁波浙江宁波 3 分 分 勾股定理是几何中的一个重要定理 在我国古算书 周髀算经 中就有 若勾三 股四 则弦五 的记载 如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构 成的 可以用其面积关系验证勾股定理 图 2 是由图 1 放入矩形内得到的 BAC 90 AB 3 AC 4 点 D E F G H I 都在矩形 KLMJ 的边上 则矩形 KLMJ 的面积为 A 90 B 100 C 110 D 121 答案答案 C 考点考点 勾股定理的证明 分析分析 如图 延长 AB 交 KF 于点 O 延长 AC 交 GM 于点 P 所以 四边形 AOLP 是正方形 边长 AO AB AC 3 4 7 所以 KL 3 7 10 LM 4 7 11 因此 矩形 KLMJ 的面积为 10 11 110 故选 C 6 2012 江苏宿迁江苏宿迁 3 分 分 在平面直角坐标系中 若将抛物线 y 2x2 4x 3 先向右平移 3 个 单位长度 再向上平移 2 个单位长度 则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 A 2 3 B 1 4 C 1 4 D 4 3 答案答案 D 考点考点 坐标平移 分析分析 根据坐标的平移变化的规律 左右平移只改变点的横坐标 左减右加 上下平移 只改变点的纵坐标 下减上加 因此 将抛物线 y 2x2 4x 3 先向右平移 3 个单位长度 再向上平移 2 个单位长度 其顶点也同样变换 的顶点坐标是 1 1 2 2 y2x 4x32 x1 1 点 1 1 先向右平移 3 个单位长度 再向上平移 2 个单位长度 得点 4 3 即经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 4 3 故选 D 7 2012 福建南平福建南平 4 分 分 如图 正方形纸片 ABCD 的边长为 3 点 E F 分别在边 BC CD 上 将 AB AD 分别和 AE AF 折叠 点 B D 恰好都将在点 G 处 已知 BE 1 则 EF 的长为 A B C D 3 3 2 5 2 9 4 答案答案 B 考点考点 翻折变换 折叠问题 正方形的性质 折叠的性质 勾股定理 分析分析 正方形纸片 ABCD 的边长为 3 C 90 BC CD 3 根据折叠的性质得 EG BE 1 GF DF 设 DF x 则 EF EG GF 1 x FC DC DF 3 x EC BC BE 3 1 2 在 Rt EFC 中 EF2 EC2 FC2 即 x 1 2 22 3 x 2 解得 3 x 2 DF EF 1 故选 B 3 2 35 22 8 2012 湖北咸宁湖北咸宁 3 分 分 中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目 墙来了 选手需按墙 上的空洞造型 摆出相同姿势 才能穿墙而过 否则会被墙推入水池 类似地 有一个几何体恰好无缝隙 地以三个不同形 状的 姿势 穿过 墙 上的三个空洞 则该几何体为 A B C D 答案答案 A 考点考点 由三视图判断几何体 分析分析 一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的 姿势 穿过 墙 上的三个空洞 即要 这个几何体的三视图分别是正方形 圆和正三角形 符合此条件的只有选项 A 主视图 是正方形 左视图是正三角形 俯视图是圆 故选 A 9 2012 福建泉州福建泉州 3 分 分 如图 点 O 是 ABC 的内心 过点 O 作 EF AB 与 AC BC 分别交于点 E F 则 A EF AE BF B EF AE BF C EF AE BF D EF AE BF 答案答案 C 考点考点 三角形内心的性质 切线的性质 平行的性质 全等三角形的判定和性质 分析分析 如图 连接圆心 O 和三个切点 D G H 分别过点 E F 作 AB 的垂线交 AB 于 点 I J EF AB HEO IAE EI OD 又 OD OH EI OH 又 EHO AIE 900 EHO AIE AAS EO AE 同理 FO BF AE BF EO FO EF 故选 C 10 2012 湖南长沙湖南长沙 3 分 分 现有 3cm 4cm 7cm 9cm 长的四根木棒 任取其中三根组成 一个三角形 那么可以组成的三角形的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案答案 B 考点考点 构成三角形的三边的条件 分析分析 四条木棒的所有组合 3 4 7 和 3 4 9 和 3 7 9 和 4 7 9 根据三角形两 边之和大于第三边 两边之差小于第三边的构成条件 只有 3 7 9 和 4 7 9 能组成三 角形 故选 B 二 填空题二 填空题 1 2012 北京北京市市 4 分 分 在平面直角坐标系中 我们把横 纵坐标都是整数的点叫做xOy 整点 已知点 A 0 4 点 B 是轴正半轴上的整点 记 AOB 内部 不包括边界 x 的整点个数为 m 当 m 3 时 点 B 的横坐标的所有可能值是 当点 B 的横 坐标为 4n n 为正整数 时 m 用含 n 的代数式表示 答案答案 3 或 4 6n 3 考点考点 分类归纳 图形的变化类 点的坐标 矩形的性质 分析分析 根据题意画出图形 再找出点 B 的横坐标与 AOB 内部 不包括边界 的整点 m 之间的关系即可求出答案 如图 当点 B 在 3 0 点或 4 0 点时 AOB 内部 不包括边界 的整点 为 1 1 1 2 2 1 共三个点 当 m 3 时 点 B 的横坐标的所有可能值是 3 或 4 当点 B 的横坐标为 4n n 为正整数 时 以 OB 为长 OA 为宽的矩形内 不包括边界 的整点个数为 4n 1 3 12 n 3 对角线 AB 上的整点个数总为 3 AOB 内部 不包括边界 的整点个数 m 12 n 3 3 2 6n 3 2 2012 广东汕头广东汕头 4 分 分 如图 在 ABCD 中 AD 2 AB 4 A 30 以点 A 为圆心 AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E 连接 CE 则阴影部分的面积是 结果保留 答案答案 1 3 3 考点考点 平行四边形的性质 扇形面积的计算 分析分析 过 D 点作 DF AB 于点 F AD 2 AB 4 A 30 DF AD sin30 1 EB AB AE 2 阴影部分的面积 平行四边形 ABCD 的面积 扇形 ADE 面积 三角形 CBE 的面积 2 30211 4 12 13 36023 3 2012 广东深圳广东深圳 3 分 分 如图 Rt ABC 中 C 90o 以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE 且正方形对角线交于点 D 连接 OC 已知 AC 5 OC 6 则另一直角边 BC2 的长为 答案答案 7 考点考点 正方形的性质 全等三角形的判定和性质 矩形的判定和性质 等腰直角三角形 的判定和性质 勾股定理 分析分析 如图 过 O 作 OF 垂直于 BC 再过 O 作 OF BC 过 A 作 AM OF 四边形 ABDE 为正方形 AOB 90 OA OB AOM BOF 90 又 AMO 90 AOM OAM 90 BOF OAM 在 AOM 和 BOF 中 AMO OFB 90 OAM BOF OA OB AOM BOF AAS AM OF OM FB 又 ACB AMF CFM 90 四边形 ACFM 为矩形 AM CF AC MF 5 OF CF OCF 为等腰直角三角形 OC 6 根据勾股定理得 CF2 OF2 OC2 即 2CF2 6 2 解得 22 CF OF 6 FB OM OF FM 6 5 1 BC CF BF 6 1 7 4 2012 广东珠海广东珠海 4 分 分 如图 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 垂足为 E 如果 AB 26 CD 24 那么 sin OCE 答案答案 5 13 考点考点 垂径定理 勾股定理 锐角三角函数的定义 分析分析 如图 设 AB 与 CD 相交于点 E 则根据直径 AB 26 得出半径 OC 13 由 CD 24 CD AB 根据垂径定理得出 CE 12 在 Rt OCE 中 利用勾股定理求出 OE 5 再根据正弦函数的定义 求出 sin OCE 的度数 OE5 sin OCE OC13 5 2012 浙江宁波浙江宁波 3 分 分 如图 ABC 中 BAC 60 ABC 45 AB 2 D 是2 线段 BC 上的一个动点 以 AD 为直径画 O 分别交 AB AC 于 E F 连接 EF 则线段 EF 长度的最小值为 答案答案 3 考点考点 垂线段的性质 垂径定理 圆周角定理 解直角三角形 锐角三角函数定义 特 殊角的三角函数值 分析分析 由垂线段的性质可知 当 AD 为 ABC 的边 BC 上的高时 直径 AD 最短 此时 线段 EF 2EH 20E sin EOH 20E sin60 当半径 OE 最短时 EF 最短 如图 连接 OE OF 过 O 点作 OH EF 垂足为 H 在 Rt ADB 中 ABC 45 AB 2 2 AD BD 2 即此时圆的直径为 2 由圆周角定理可知 EOH EOF BAC 60 1 2 在 Rt EOH 中 EH OE sin EOH 1 33 22 由垂径定理可知 EF 2EH 3 6 2012 江苏泰州江苏泰州 3 分 分 如图 在边长相同的小正方形组成的网格中 点 A B C D 都在这些小正方形的顶点上 AB CD 相交于点 P 则 tan APD 的值是 答案答案 2 考点考点 正方形的性质 相似三角形的判定和性质 锐角三角函数的定义 分析分析 如图 连接 BE 交 CD 于点 F 四边形 BCED 是正方形 DF CF CD BF BE CD BE BE CD BF CF 1 2 1 2 根据题意得 AC BD ACP BDP DP CP BD AC 1 3 DP PF CF BF 1 2 1 2 在 Rt PBF 中 BF tan BPF2 PF APD BPF tan APD 2 7 2012 福建福州福建福州 4 分 分 如图 已知 ABC AB AC 1 A 36 ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D 则 AD 的长是 cosA 的值是 结果保留根 号 答案答案 5 1 2 5 1 4 考点考点 黄金分割 等腰三角形的性质 三角形内角和定理 相似三角形的判定和性质 锐角三角函数的定义 分析分析 可以证明 ABC BDC 设 AD x 根据相似三角形的对应边的比相等 即可 列出方程 求得 x 的值 过点 D 作 DE AB 于点 E 则 E 为 AB 中点 由余弦定义可求出 cosA 的值 在 ABC 中 AB AC 1 A 36 ABC ACB 72 180 A 2 BD 是 ABC 的平分线 ABD DBC ABC 36 1 2 A DBC 36 又 C C ABC BDC AC BC BC CD 设 AD x 则 BD BC x 则 解得 x 舍去 或 1 x x 1 x 5 1 2 5 1 2 x 5 1 2 如图 过点 D 作 DE AB 于点 E AD BD E 为 AB 中点 即 AE AB 1 2 1 2 在 Rt AED 中 cosA AE AD 1 2 5 1 2 5 1 4 8 2012 湖北宜昌湖北宜昌 3 分 分 已知 O 的半径为 5 圆心 O 到直线 l 的距离为 3 则反映直线 l 与 O 的位置关系的图形是 A B C D 答案答案 B 考点考点 直线与圆的位置关系 1419956 分析分析 根据直线与圆的位置关系来判定 直线 l 和 O 相交 d r 直线 l 和 O 相 切 d r 直 线 l 和 O 相离 d r d 为直线与圆的距离 r 为圆的半径 因此 O 的半径为 5 圆心 O 到直线 l 的距离为 3 5 3 即 d r 直线 L 与 O 的位置关系是相交 故选 B 9 2012 湖北襄阳湖北襄阳 3 分 分 在等腰 ABC 中 A 30 AB 8 则 AB 边上的高 CD 的长 是 答案答案 4 或或 3 4 3 3 考点考点 等腰三角形的性质 含 30 度角的直角三角形的性质 锐角三角函数定义 特殊角 的三角函数值 分析分析 根据题意画出 AB AC AB BC 和 AC BC 时的图象 然后根据 等腰三角形的性质和解直角三角形 分别进行计算即可 1 如图 当 AB AC 时 A 30 CD AC 8 4 1 2 1 2 2 如图 当 AB BC 时 则 A ACB 30 ACD 60 BCD 30 CD cos BCD BC cos30 8 4 3 3 如图 当 AC BC 时 则 AD 4 CD tan A AD tan30 4 4 3 3 综上所述 AB 边上的高 CD 的长是 4 或或 3 4 3 3 10 2012 湖南长沙湖南长沙 3 分 分 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB AD 2 B 60 则 BC 的长为 答案答案 4 考点考点 等腰梯形的性质 平行四边形的判定和性质 等边三角形的判定和性质 分析分析 过点 A 作 AE CD 交 BC 于点 E AD BC 四边形 AECD 是平行四边形 AE CD 2 AD EC 2 B 60 ABE 是等边三角形 BE AB AE 2 BC BE CE 2 2 4 三 解答题三 解答题 1 2012 山东淄博山东淄博 9 分 分 在矩形 ABCD 中 BC 4 BG 与对角线 AC 垂直且分别交 AC AD 及射线 CD 于点 E F G AB x 1 当点 G 与点 D 重合时 求 x 的值 2 当点 F 为 AD 中点时 求 x 的值及 ECF 的正弦值 答案答案 解 1 当点 G 与点 D 重合时 点 F 也与点 D 重合 矩形 ABCD 中 AC BD 四边形 ABCD 是正方形 BC 4 x AB BC 4 2 点 F 为 AD 中点 BC 4 AF 2 矩形 ABCD 中 AD BC AEF BEB AEFEAF21 CEBDCB42 矩形 ABCD 中 CE 2AEBD 2FE AC 3AEBF 3FE ABC BAF 900 在 Rt ABC 和 Rt BAF 中由勾股定理得 222222 AC AB BCBF AF AB 即 两式相加 得 22 2222 3AE x 43FE 2 x 222 9 AE FE 2x 20 又 AC BG 在 Rt ABE 中 2222 AE FE AB x 解得 已舍去负值 22 9x 2x 20 2 x 35 7 2222 12013212048132528 AE 16 FE 4 CE 4AE 4 976397636363 在 Rt CEF 中由勾股定理得 222 48528576 CF FE CE 636363 2 2 2 48 CF1 63 sinECF 576 12EF 48 3 sinECF 6 考点考点 矩形的性质 正方形的判定和性质 相似三角形的判定和性质 勾股定理 锐角 三角函数定义 分析分析 1 由点 G 与点 D 重合得出四边形 ABCD 是正方形即可求得 x 的值 2 由点 F 为 AD 中点和矩形的性质 得 AEF BEB 从而得 在 Rt ABC Rt BAF 和 Rt ABE 应用勾股定理即可求得 x 的值 AC 3AEBF 3FE 在 Rt CEF 中应用勾股定理求得 CF 根据锐角三角函数定义即可求得 ECF 的正弦值 2 2012 山西省山西省 12 分 分 问题情境 将一副直角三角板 Rt ABC 和 Rt DEF 按图 1 所 示的方式摆放 其中 ACB 90 CA CB FDE 90 O 是 AB 的中点 点 D 与点 O 重 合 DF AC 于点 M DE BC 于点 N 试判断线段 OM 与 ON 的数量关系 并说明理 由 探究展示 小宇同学展示出如下正确的解法 解 OM ON 证明如下 连接 CO 则 CO 是 AB 边上中线 CA CB CO 是 ACB 的角平分线 依据 1 OM AC ON BC OM ON 依据 2 反思交流 1 上述证明过程中的 依据 1 和 依据 2 分别是指 依据 1 依据 2 2 你有与小宇不同的思考方法吗 请写出你的证明过程 拓展延伸 3 将图 1 中的 Rt DEF 沿着射线 BA 的方向平移至如图 2 所示的位置 使点 D 落在 BA 的延长线上 FD 的延长线与 CA 的延长线垂直相交于点 M BC 的延长线与 DE 垂直 相交于点 N 连接 OM ON 试判断线段 OM ON 的数量关系与位置关系 并写出证明 过程 答案答案 1 解 等腰三角形三线合一 或等腰三角形 顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 角平分线上的点到角的两边距离相 等 2 证明 CA CB A B O 是 AB 的中点 OA OB DF AC DE BC AMO BNO 90 在 OMA 和 ONB 中 A B OA OB AMO BNO OMA ONB AAS OM ON 3 解 OM ON OM ON 理由如下 连接 CO 则 CO 是 AB 边上的中线 ACB 90 OC AB OB 1 2 又 CA CB CAB B 45 1 2 45 AOC BOC 90 2 B BN DE BND 90 又 B 45 3 45 3 B DN NB ACB 90 NCM 90 又 BN DE DNC 90 四边形 DMCN 是矩形 DN MC MC NB MOC NOB SAS OM ON MOC NOB MOC CON NOB CON 即 MON BOC 90 OM ON 考点考点 等腰三角形的性质 角平分线的性质 全等三角形的判定和性质 矩形的判定和 性质 分析分析 1 根据等腰三角形和角平分线的性质直接作答 2 利用 AAS 证明 OMA ONB 即可 3 利用 SAS 证明 MOC NOB 即可得到 OM ON MOC NOB 通过 角的等量代换即可得 MON BOC 90 而得到 OM ON 3 2012 福建厦门福建厦门 10 分 分 已知ABCD 对角线 AC 与 BD 相交于点 O 点 P 在边 AD 上 过点 P 分 别作 PE AC PF BD 垂足分别为 E F PE PF 1 如图 若 PE EO 1 求 EPF 的度数 3 2 若点 P 是 AD 的中点 点 F 是 DO 的中点 BF BC 3 4 求 BC 的长 2 答案答案 解 1 连接 PO PE PF PO PO PE AC PF BD Rt PEO Rt PFO HL EPO FPO 在 Rt PEO 中 tan EPO EO PE EPO 30 EPF 60 2 点 P 是 AD 的中点 AP DP 又 PE PF Rt PEA Rt PFD HL OAD ODA OA OD AC 2OA 2OD BD ABCD 是矩形 点 P 是 AD 的中点 点 F 是 DO 的中点 AO PF PF BD AC BD ABCD 是菱形 ABCD 是正方形 BD BC 2 BF BD BC 3 4 BC 解得 BC 4 3 42 考点考点 平行四边形的性质 角平分线的性质 三角形中位线定理 全等三角形的判定和 性质 正方形的判定和性质 锐角三角函数定义 分析分析 1 连接 PO 利用解直角三角形求出 EPO 30 再利用 HL 证明 PEO 和 PFO 全等 根据全等三角形对应角相等可得 FPO EPO 从而得解 2 根据条件证出 ABCD 是正方形 根据正方形的对角线与边长的关系列式计 算即可得解 4 2012 甘肃白银甘肃白银 10 分 分 如图 点 A B C D 在 O 上 AB AC AD 与 BC 相交于 点 E 延长 DB 到点 F 使 连接 AF AED 1 2 E FBD 1 2 B 1 证明 BDE FDA 2 试判断直线 AF 与 O 的位置关系 并给出证明 答案答案 解 1 证明 在 BDE和 FDA中 FB BD AE ED 1 2 1 2 BDED2 FDAD3 又 BDE FDA BDE FDA 2 直线AF与 O相切 证明如下 连接OA OB OC AB AC BO CO OA OA OAB OAC SSS OAB OAC AO是等腰三角形ABC顶角 BAC的平分线 AO BC BDE FDA 得 EBD AFD BE FA AO BE AO FA 直线AF与 O相切 考点考点 相似三角形的判定和性质 全等三角形的判定和性质 等腰三角形的性质 平行 的判定和性质 切线的判定 分析分析 1 因为 BDE 公共 夹此角的两边 BD DF ED AD 2 3 由相似三角形的 判定 可知 BDE FDA 2 连接 OA OB OC 证明 OAB OAC 得出 AO BC 再由 BDE FDA 得出 EBD AFD 则 BE FA 从而 AO FA 得出直线 AF 与 O 相切 5 2012 广东广州广东广州 14 分 分 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB 5 BC 10 F 为 AD 的中 点 CE AB 于 E 设 ABC 60 90 1 当 60 时 求 CE 的长 2 当 60 90 时 是否存在正整数 k 使得 EFD k AEF 若存在 求出 k 的值 若不存在 请说明理 由 连接 CF 当 CE2 CF2取最大值时 求 tan DCF 的值 答案答案 解 1 60 BC 10 sin CE BC 即 sin60 解得 CE CE3 102 5 3 2 存在 k 3 使得 EFD k AEF 理由如下 连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 G F 为 AD 的中点 AF FD 在平行四边形 ABCD 中 AB CD G DCF 在 AFG 和 CFD 中 G DCF G DCF AF FD AFG CFD AAS CF GF AG CD CE AB EF GF AEF G AB 5 BC 10 点 F 是 AD 的中点 AG 5 AF AD BC 5 AG AF 1 2 1 2 AFG G 在 AFG 中 EFC AEF G 2 AEF 又 CFD AFG CFD AEF EFD EFC CFD 2 AEF AEF 3 AEF 因此 存在正整数 k 3 使得 EFD 3 AEF 设 BE x AG CD AB 5 EG AE AG 5 x 5 10 x 在 Rt BCE 中 CE2 BC2 BE2 100 x2 在 Rt CEG 中 CG2 EG2 CE2 10 x 2 100 x2 200 20 x CF GF 中已证 CF2 CG 2 CG2 200 20 x 50 5x 1 2 1 4 1 4 CE2 CF2 100 x2 50 5x x2 5x 50 x 2 50 5 2 25 4 当 x 即点 E 是 AB 的中点时 CE2 CF2取最大值 5 2 此时 EG 10 x 10 CE 515 22 2 255 15 100 x 100 42 5 15 CG15 2 tan DCFtan G 15 EG3 2 考点考点 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 平行四边形的性质 对顶角的性质 全等三角形的判定和性质 直角三角形斜边上的中线性质 等腰三角形的性质 二次函数 的最值 勾股定理 分析分析 1 利用 60 角的正弦值列式计算即可得解 2 连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 G 利用 角边角 证明 AFG 和 CFD 全等 根据全等三角形对应边相等可得 CF GF AG CD 再利用直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半可得 EF GF 再根据 AB BC 的长度可得 AG AF 然后利用等边 对等角的性质可得 AEF G AFG 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和可得 EFC 2 G 然后推出 EFD 3 AEF 从而得解 设 BE x 在 Rt BCE 中 利用勾股定理表示出 CE2 表示出 EG 的长度 在 Rt CEG 中 利用勾股定理表示出 CG2 从而得到 CF2 然后相减并整理 再根据二次函数的最值 问题解答 6 2012 广东广东肇肇庆庆 10 分 分 如图 在 ABC 中 AB AC 以 AB 为直径的 O 交 AC 于 点 E 交 BC 于点 D 连结 BE AD 交于点 P 求证 1 D 是 BC 的中点 2 BEC ADC 3 AB CE 2DP AD 答案答案 证明 1 AB 是 O 的直径 ADB 90 即 AD BC AB AC D 是 BC 的中点 2 AB 是 O 的直径 AEB ADB 90 即 CEB CDA 90 C 是公共角 BEC ADC 3 BEC ADC CBE CAD AB AC AD CD BAD CAD BAD CBE ADB BEC 90 ABD BCE ABAD BCBE ABBC ADBE BC 2BD 即 AB2BD ADBE ABBD 2ADBE BDP BEC 90 PBD CBE BPD BCE DPBD CEBE 即 AB CE 2DP AD ABDP 2ADCE 考点考点 圆周角定理 等腰三角形的性质 相似三角形的判定和性质 分析分析 1 由 AB 是 O 的直径 可得 AD BC 又由 AB AC 由三线合一 即可证 得 D 是 BC 的中点 2 由 AB 是 O 的直径 AEB ADB 90 又由 C 是公共角 即可证得 BEC ADC 3 易证得 ABD BCE 与 BPD BCE 根据相似三角形的对应边成比 例与 BC 2BD 即可证得 AB CE 2DP AD 7 2012 贵州毕节贵州毕节 14 分 分 如图 AB 是 O 的直径 AC 为弦 D 是的中点 过点 D A BC 作 EF AC 的延长线于 E 交 AB 的延长线于 E 交 AB 的延长线于 F 1 求证 EF 是 O 的切线 2 若sin F AE 4 求 O 的半径和 AC 的长 1 3 答案答案 1 证明 连接 OD D 是的中点 BOD A A BC OD AC EF AC E 90 ODF 90 EF 是 O 的切线 2 解 在 AEF 中 E 90 sin F 1 3 AE 4 设 O 的半径为 R 则 AE AF12 sin F OD OA OB R AB 2R 在 ODF 中 ODF 90 sin F OF 3OD 3R 1 3 OF OA AF 3R R 12 R 3 连接 BC 则 ACB 90 E 90 BC EF AC AE AB AF AC 4 2R 4R AC 2 O 的半径为 3 AC 的长为 2 考点考点 弧 圆周角和圆心角的关系 圆周角定理 平行的判定和性质 切线的判定 锐 角三角函数定义 平行线分线段成比例定理 分析分析 1 连接 OD 根据圆周角定理 可得 BOD A 则 OD AC 从而得出 ODF 90 即 EF 是 O 的切线 2 先解直角 AEF 由 sin F 得出 AF 3AE 12 再在 Rt ODF 中 由 1 3 sin F 得出 OF 3OD 设 O 的半径为 R 由 AF 12 列出关于 R 的方程 解方程即 1 3 可求出 O 的半径 连接 BC 证明 BC EF 根据平行线分线段成比例定理得出 AC AE AB AF 即可求出 AC 的长 8 2012 江苏泰州江苏泰州 12 分 分 如图 已知直线 l 与 O 相离 OA l 于点 A OA 5 OA 与 O 相交于点 P AB 与 O 相切于点 B BP 的延长线交直线 l 于点 C 1 试判断线段 AB 与 AC 的数量关系 并说明理由 2 若 PC 求 O 的半径和线段 PB 的长 52 3 若在 O上存在点Q 使 QAC是以AC为底边的等腰三角形 求 O的半径r的取值 范围 答案答案 解 1 AB AC 理由如下 连接 OB AB 切 O 于 B OA AC OBA OAC 90 OBP ABP 90 ACP CPB 90 OP OB OBP OPB OPB APC ACP ABC AB AC 2 延长 AP 交 O 于 D 连接 BD 设圆半径为 r 则由 OA 5 得 OP OB r PA 5 r 又 PC 2 5 2 222222222 ABOAOB5rACPCPA2 5 5r 由 1 AB AC 得 解得 r 3 2 222 5r2 5 5r AB AC 4 PD 是直径 PBD 90 PAC DPB CPA DPB CPA 即 解得 CPAP PDBP 2 52 6BP 6 5 PB 5 3 作线段 AC 的垂直平分线 MN 作 OE MN 则 OE AC AB 1 2 1 2 22 1 5r 2 又 圆 O 要与直线 MN 交点 OE r 22 1 5r 2 r 5 又 圆 O 与直线 l 相离 r 5 O的半径r的取值范围为 r 5 5 考点考点 切线的性质 三角形内角和定理 等腰三角形的判定和性质 勾股定理 直线与 圆的位置关系 相似三角形的判定和性质 分析分析 1 连接 OB 根据切线的性质和垂直得出 OBA OAC 90 推出 OBP ABP 90 ACP CPB 90 求出 ACP ABC 根据等腰三角形的判定推出即可 2 延长 AP 交 O 于 D 连接 BD 设圆半径为 r 则 OP OB r PA 5 r 根 据 AB AC 推出 求出 r 证 DPB CPA 得出 代入求出 PB 即可 2 222 5r2 5 5r CPAP PDBP 3 根据已知得出 Q 在 AC 的垂直平分线上 作出线段 AC 的垂直平分线 MN 作 OE MN 求出 OE r 求出 r 范围 再根据相离得出 r 5 即可得出答案 9 2012 山东淄博山东淄博 9 分 分 在矩形 ABCD 中 BC 4 BG 与对角线 AC 垂直且分别交 AC AD 及射线 CD 于点 E F G AB x 1 当点 G 与点 D 重合时 求 x 的值 2 当点 F 为 AD 中点时 求 x 的值及 ECF 的正