河南省2019届中考数学专题复习专题五解直角三角形的实际应用训练

精品文档 1欢迎下载 专题五专题五 解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用 类型一 母子型 20152015 河南 如图所示 某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度 他们在斜坡上 D 处测 得大树顶端 B 的仰角是 30 朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处 在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48 若坡角 FAE 30 求大树的高度 结果保留整数 参考数据 sin 48 0 74 cos 48 0 67 tan 48 1 11 1 73 3 例 1 题图 分析 根据所求构造直角三角形 在直角三角形中 利用锐角三角函数的性质求解问题即可 自主解答 如解图 延长 BD 交 AE 于点 G 过点 D 作 DH AE 于点 H 例 1 题解图 由题意 得 DAE BGH 30 DA 6 GD DA 6 GH AH DA cos 30 3 GA 6 33 设 BC x 米 在 Rt GBC 中 GC x BC tan BGC3 在 Rt ABC 中 AC BC tan BAC x tan 48 精品文档 2欢迎下载 GC AC GA x 6 3 x tan 48 3 解得 x 13 即大树的高度约为 13 米 1 1 20182018 泰州 日照间距系数反映了房屋日照情况 如图 当前后房屋都朝向正南时 日照间距系数 L H H1 其中 L 为楼间水平距离 H 为南侧楼房高度 H1为北侧楼房底层窗台至地面高度 如图 山坡 EF 朝北 EF 长为 15 m 坡度为 i 1 0 75 山坡顶部平地 EM 上有一高为 22 5 m 的楼房 AB 底部 A 到 E 点的距离为 4 m 1 求山坡 EF 的水平宽度 FH 2 欲在 AB 楼正北侧山脚的平地 FN 上建一楼房 CD 已知该楼底层窗台 P 处至地面 C 处的高度为 0 9 m 要使该楼的日照间距系数不低于 1 25 底部 C 距 F 处至少多远 图 图 精品文档 3欢迎下载 2 2 20182018 商丘模拟 如图 兰兰站在河岸上的 G 点 看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来 此时 测得小船 C 的俯角是 FDC 30 若兰兰的眼睛与地面的距离是 1 5 米 BG 1 米 BG 平行于 AC 所在的直线 迎水坡的坡度 i 4 3 坡高 BE 8 米 求小船 C 到岸边的距离 CA 的长 参考数据 1 7 结果保留一位小数 3 3 3 如图 某校一幢教学大楼的顶部竖有一块 传承文明 启智求真 的宣传牌 CD 小明在山坡的坡脚 A 处测得宣传牌底部 D 的仰角为 60 沿山坡向上走到 B 处测得宣传牌顶部 C 的仰角为 45 已知山坡 AB 的坡度 i 1 AB 10 米 AE 15 米 求这块宣传牌 CD 的高度 测角器的高度忽略不计 结果精 3 确到 0 1 米 参考数据 1 414 1 732 23 精品文档 4欢迎下载 4 4 20182018 新乡一模 如图 为探测某座山的高度 AB 某飞机在空中 C 处测得山顶 A 处的俯角为 31 此时飞机的飞行高度为 CH 4 千米 保持飞行高度与方向不变 继续向前飞行 2 千米到达 D 处 测得山 顶 A 处的俯角为 50 求此山的高度 AB 参考数据 tan 30 0 6 tan 50 1 2 5 5 20182018 烟台 汽车超速行驶是交通安全的重大隐患 为了有效降低交通事故的发生 许多道路在事故 易发路段设置了区间测速 如图 学校附近有一条笔直的公路 l 其间设有区间测速 所有车辆限速 40 千米 小时 数学实践活动小组设计了如下活动 在 l 上确定 A B 两点 并在 AB 路段进行区间测速 在 精品文档 5欢迎下载 l 外取一点 P 作 PC l 垂足为点 C 测得 PC 30 米 APC 71 BPC 35 上午 9 时测得一汽车 从点 A 到点 B 用时 6 秒 请你用所学的数学知识说明该车是否超速 参考数据 sin 35 0 57 cos 35 0 82 tan 35 0 70 sin 71 0 95 cos 71 0 33 tan 71 2 90 6 6 20182018 河南说明与检测 如图 在电线杆 CD 上的 C 处引拉线 CE CF 固定电线杆 拉线 CE 和地面所 成的角 CED 60 在离电线杆 6 米的 B 处安置高为 1 5 米的测角仪 AB 在 A 处测得电线杆上 C 处的仰 角为 30 求拉线 CE 的长 参考数据 1 41 1 73 结果保留一位小数 23 精品文档 6欢迎下载 7 7 20182018 河南说明与检测 某数学兴趣小组在学习 锐角三角函数 以后 开展测量物体高度的实践活 动 他们在河边的一点 A 处测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶 C 的仰角为 66 塔底 B 的仰角为 60 已知铁塔的高度 BC 为 20 m 如图 你能根据以上数据求出小山的高 BD 吗 8 8 20182018 河南说明与检测 太阳能光伏发电因其清洁 安全 便利 高效等特点 已成为世界各国普遍 关注和重点发展的新兴产业 如图是太阳能电池板支撑架的截面图 其中的粗线表示支撑角钢 太阳能 电池板与支撑角钢 AB 的长度相同 均为 300 cm AB 的倾斜角为 30 BE CA 50 cm 支撑角钢 CD EF 与底座地基台面接触点分别为 D F CD 垂直于地面 FE AB 于点 E 两个底座地基高度相同 即点 D F 到地面的垂直距离相同 均为 30 cm 点 A 到地面的垂直距离为 50 cm 求支撑角钢 CD 和 EF 的长 度各是多少厘米 结果保留根号 精品文档 7欢迎下载 9 9 20182018 遵义 如图 吊车在水平地面上吊起货物时 吊绳 BC 与地面保持垂直 吊臂 AB 与水平线的夹 角为 64 吊臂底部 A 距地面 1 5 m 计算结果精确到 0 1 m 参考数据 sin 64 0 90 cos 64 0 44 tan 64 2 05 1 当吊臂底部 A 与货物的水平距离 AC 为 5 m 时 吊臂 AB 的长为 m 2 如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20 m 那么从地面上吊起货物的最大高度是多少 吊钩的长度与货 物的高度忽略不计 精品文档 8欢迎下载 类型二 背靠背型 20182018 河南 高低杠 是女子体操特有的一个竞技项目 其比赛器材由高 低两根平行杠及若干 支架组成 运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高 低两杠间的距离 某兴趣小组根据高 低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题 请你解答 如图所示 底座上 A B 两点间的距离为 90 cm 低杠上点 C 到直线 AB 的距离 CE 的长为 155 cm 高杠上 点 D 到直线 AB 的距离 DF 的长为 234 cm 已知低杠的支架 AC 与直线 AB 的夹角 CAE 为 82 4 高杠的 支架 BD 与直线 AB 的夹角 DBF 为 80 3 求高 低杠间的水平距离 CH 的长 结果精确到 1 cm 参考数 据 sin 82 4 0 991 cos 82 4 0 132 tan 82 4 7 500 sin 80 3 0 983 cos 80 3 精品文档 9欢迎下载 0 168 tan 80 3 5 850 例 2 题图 分析 利用锐角三角函数 在 Rt ACE 和 Rt DBF 中 分别求出 AE BF 的长 计算出 EF 通过矩形 CEFH 的性质得到 CH 的长 自主解答 解 在 Rt ACE 中 AE 20 7 CE tan 82 4 155 tan 82 4 在 Rt BDF 中 BF 40 DF tan 80 3 234 tan 80 3 在矩形 CEFH 中 CH EF CH EF AE AB BF 20 7 90 40 151 cm 答 高低杠间的水平距离 CH 的长为 151 cm 1 1 20182018 驻马店一模 小明利用寒假进行综合实践活动 他想利用测角仪和卷尺测量自家所住楼 甲楼 与对面邮政大楼 乙楼 的高度 现小明用卷尺测得甲楼宽 AE 是 8 m 用测角仪在甲楼顶 E 处与 A 处测得 乙楼顶部 D 的仰角分别为 37 和 42 同时在 A 处测得乙楼底部 B 处的俯角为 32 请根据小明测得数 据帮他计算甲 乙两个楼的高度 精确到 0 01 m cos 32 0 85 tan 32 0 62 cos 42 0 74 tan 42 0 90 cos 37 0 80 tan 37 0 75 精品文档 10欢迎下载 2 2 20182018 甘肃省卷 随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高 中国高铁正迅速崛起 高铁大 大缩短了时空距离 改变了人们的出行方式 如图 A B 两地被大山阻隔 由 A 地到 B 地需要绕行 C 地 若打通穿山隧道 建成 A B 两地的直达高铁 可以缩短从 A 地到 B 地的路程 已知 CAB 30 CBA 45 AC 640 公里 求隧道打通后与打通前相比 从 A 地到 B 地的路程将约缩短多少公里 参 考数据 1 7 1 4 32 精品文档 11欢迎下载 3 3 20182018 常州 京杭大运河是世界文化遗产 综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽 岸沿是平行 的 如图 在岸边分别选定了点 A B 和点 C D 先用卷尺量得 AB 160 m CD 40 m 再用测角仪测 得 CAB 30 DBA 60 求该段运河的河宽 即 CH 的长 精品文档 12欢迎下载 4 4 20182018 眉山 知识改变世界 科技改变生活 导航装备的不断更新极大方便了人们的出行 如图 某 校组织学生乘车到黑龙滩 用 C 表示 开展社会实践活动 车到达 A 地后 发现 C 地恰好在 A 地的正北方 向 且距离 A 地 13 千米 导航显示车辆应沿北偏东 60 方向行驶至 B 地 再沿北偏西 37 方向行驶一 段距离才能到达 C 地 求 B C 两地的距离 参考数据 sin 53 cos 53 tan 53 4 5 3 5 4 3 5 5 20182018 河南说明与检测 如图 B 地在 A 地的北偏东 56 方向上 C 地在 B 地的北偏西 19 方向上 原来从 A 地到 C 地的路线为 A B C 现在沿 A 地北偏东 26 方向新修了一条直达 C 地的公路 路程比 原来少了 20 千米 求从 A 地直达 C 地的路程 结果保留整数 参考数据 1 41 1 73 23 精品文档 13欢迎下载 6 6 20182018 河南说明与检测 如图 某数学活动小组为测量学校旗杆 AB 的高度 从旗杆正前方 2米处 3 的点 C 出发 沿斜面坡度 i 1 的斜坡 CD 前进 4 米到达点 D 在点 D 处安置测角仪 测得旗杆顶部 3 A 的仰角为 37 量得仪器的高 DE 为 1 5 米 已知 A B C D E 在同一平面内 AB BC AB DE 求 旗杆 AB 的高度 参考数据 sin 37 cos 37 tan 37 计算结果保留根号 3 5 4 5 3 4 精品文档 14欢迎下载 7 7 20182018 河南说明与检测 中国南海是中国固有领海 我方渔政船经常在此海域执勤巡察 一天我方渔 政船停在小岛 A 北偏西 37 方向的 B 处 观察 A 岛周边海域 据测算 渔政船距 A 岛的距离 AB 长为 10 海里 此时位于 A 岛正西方向 C 处的我方渔船遭到某国军舰的袭扰 船长发现在其北偏东 50 的方向上 有我方渔政船 便发出紧急求救信号 渔政船接警后 立即沿 BC 航线以每小时 30 海里的速度前往救助 问渔政船大约需要多少分钟能到达渔船所在的 C 处 参考数据 sin 37 0 60 cos 37 0 80 sin 50 0 77 cos 50 0 64 sin 53 0 80 cos 53 0 60 sin 40 0 64 cos 40 0 77 精品文档 15欢迎下载 8 8 20182018 河南说明与检测 如图 在一笔直的海岸线 l 上有 A B 两个观测站 A 在 B 的正东方向 AB 2 km 有一艘小船在点 P 处 从 A 测得小船在北偏西 60 的方向 从 B 测得小船在北偏东 45 的方 向 1 求点 P 到海岸线 l 的距离 2 小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后 到点 C 处 此时 从 B 测得小船在北偏西 15 的方 向 求点 C 与点 B 之间的距离 上述两小题的结果都保留根号 精品文档 16欢迎下载 9 9 20182018 衡阳 一名徒步爱好者来衡阳旅行 他从宾馆 C 出发 沿北偏东 30 的方向行走 2 000 米到达 石鼓书院 A 处 参观后又从 A 处沿正南方向行走一段距离 到达位于宾馆南偏东 45 方向的雁峰公园 B 处 如图所示 1 求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离 2 若这名徒步爱好者以 100 米 分的速度从雁峰公园返回宾馆 那么他在 15 分钟内能否到达宾馆 精品文档 17欢迎下载 参考答案 类型一 针对训练 1 解 1 iEF 1 0 75 4 3 EH FH 设 EH 4x 则 FH 3x EF 5x 15 3x 2 4x 2 x 3 FH 3x 9 即山坡 EF 的水平宽度 FH 为 9 m 第 1 题解图 2 如解图 延长 BA FH 交于点 G 则 AG EH 4 3 12 GH AE 4 BG BA AG 22 5 12 34 5 设 CF y 则 CG CF FH GH y 9 4 y 13 由题知 CG BG CP 1 25 1 25 解得 y 29 y 13 34 5 0 9 精品文档 18欢迎下载 底部 C 距 F 处至少 29 m 远 2 解 如解图 延长 DG 交 CA 于点 H 得 Rt ABE 和矩形 BEHG i BE AE 4 3 第 2 题解图 BE 8 AE 6 DG 1 5 BG 1 DH DG GH 1 5 8 9 5 AH AE EH 6 1 7 在 Rt CDH 中 C FDC 30 DH 9 5 CH 9 5 DH tan 30 3 又 CH CA AH 即 9 5 CA 7 3 CA 9 2 米 答 CA 的长约是 9 2 米 3 解 如解图 过点 B 作 BF AE 交 EA 的延长线于点 F 作 BG DE 于点 G Rt ABF 中 i tan BAF 1 3 3 3 第 3 题解图 精品文档 19欢迎下载 BAF 30 BF AB 5 AF 5 1 23 BG AF AE 5 15 3 Rt BGC 中 CBG 45 CG BG 5 15 3 Rt ADE 中 DAE 60 AE 15 DE AE tan 60 AE 15 33 CD CG GE DE 5 15 5 15 20 10 2 7 m 333 答 宣传牌 CD 高约 2 7 米 4 解 如解图 延长 BA 交 CD 的延长线于点 E 则 BE CE CH BE 4 千米 设 AE x 千米 第 4 题解图 Rt ADE 中 ADE 50 DE x AE tan 50 x 1 2 5 6 CE x 2 5 6 Rt ACE 中 ACE 31 AE CE tan 31 即 x 0 6 x 2 5 6 解得 x 2 4 精品文档 20欢迎下载 AB BE AE 4 2 4 1 6 千米 答 山的高度 AB 约为 1 6 千米 5 解 在 Rt APC 中 AC PC tan APC 30 tan 71 30 2 90 87 米 在 Rt BPC 中 BC PCtan BPC 30 tan 35 30 0 70 21 米 则 AB AC BC 87 21 66 米 该汽车的平均速度为 11 m s 40 km h 11 1 m s 66 6 该车没有超速 6 解 如解图 过点 A 作 AH CD 垂足为点 H 由题意知 四边形 ABDH 为矩形 CAH 30 第 6 题解图 AB DH 1 5 BD AH 6 在 Rt ACH 中 CH AH tan CAH CH 6 tan 30 2 米 3 DH 1 5 CD 2 1 5 米 3 在 Rt CDE 中 CED 60 CE 4 5 7 米 CD sin 60 3 答 拉线 CE 的长约为 5 7 米 7 解 能求出小山的高 精品文档 21欢迎下载 设小山的高 BD 为 x m 在 Rt ABD 中 AD x tan 60 同理 在 Rt ACD 中 AD CD tan 66 x 20 tan 66 即 x tan 60 x 20 tan 66 解得 x 67 4 答 小山的高 BD 约为 67 4 m 8 解 如解图 过点 A 作 AG CD 垂足为点 G 则 CAG 30 在 Rt ACG 中 第 8 题解图 CG CA sin 30 50 25 1 2 由题意得 GD 50 30 20 则 CD CG GD 25 20 45 连接 FD 并延长与 BA 的延长线交于点 H 由题意得 H 30 在 Rt CDH 中 CH 2CD 90 CD sin 30 EH EC CH AB BE AC CH 300 50 50 90 290 精品文档 22欢迎下载 在 Rt EFH 中 EF EH tan 30 290 3 3 2903 3 支撑角钢 CD 的长度为 45 cm EF 的长度为 cm 2903 3 9 解 1 11 4 解法提示 在 Rt ABC 中 BAC 64 AC 5 m AB 5 0 44 11 4 m AC cos 64 第 9 题解图 2 如解图 过点 D 作 DH 地面于 H 交水平线于点 E 在 Rt ADE 中 AD 20 m DAE 64 EH 1 5 m DE sin 64 AD 20 0 9 18 m 即 DH DE EH 18 1 5 19 5 m 答 如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20 m 那么从地面上吊起货物的最大高度是 19 5 m 类型二 针对训练 1 解 如解图 过点 A 作 AN BD 于点 N 第 1 题解图 精品文档 23欢迎下载 在 Rt DNE tan 37 0 75 DN EN 3 4 设 DN 3x 则 EN 4x 在 Rt DNA 中 有 DN 3x AN 4x 8 tan42 0 90 DN AN 3x 4x 8 解得 x 12 DN 3 12 36 AN 4 12 8 40 在 Rt BNA 中 由题意知 NAB 32 tan 32 BN AN BN tan 32 AN 24 8 DB DN BN 36 24 8 60 8 AC BN 24 8 答 甲楼的高为 60 8 m 乙楼的高为 24 8 m 2 解 如解图 过点 C 作 CD AB 于点 D 在 Rt ADC 和 Rt BCD 中 CAB 30 CBA 45 AC 640 CD AC 320 AD 320 1 23 BD CD 320 BC 320 2 AC BC 640 320 1088 2 AB AD BD 320 320 864 3 1088 864 224 公里 答 隧道打通后与打通前相比 从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里 精品文档 24欢迎下载 第 2 题解图 3 解 如解图 过 D 作 DE AB 于点 E 可得四边形 CHED 为矩形 HE CD 40 m 设 CH DE x m 在 Rt BDE 中 DBA 60 BE x m 在 Rt ACH 中 BAC 30 DE tan 60 3 3 AH x m CH tan 30 3 由 AH HE EB AB 160 m 得x 40 x 160 3 3 3 解得 x 30 即 CH 30 m 33 答 该段运河的河宽为 30 m 3 第 3 题解图 4 解 如解图 过点 B 作 BD AC 于点 D 则 BAD 60 DBC 90 37 53 第 4 题解图 设 AD x 在 Rt ABD 中 BD ADtan BAD x 3 在 Rt BCD 中 CD BDtan DBC x x 3 4 3 43 3 精品文档 25欢迎下载 由 AC AD CD 可得 x x 13 解得 x 4 3 4 333 则 BC 4 3 20 5 BD cos DBC 3x 3 5 53 333 即 BC 两地的距离为 20 5 千米 3 5 解 如解图 过点 B 作 BD AC 垂足为 D 设 BD x 第 5 题解图 在 Rt ABD 中 BAD 56 26 30 AB 2x AD x BD sin 30 BD tan 30 3 在 Rt BCD 中 C 26 19 45 BC x CD x BD sin 45 2 BD tan 45 AC x x 3 由题意得 AB BC AC 20 2x x x x 20 解得 x 29 4 23 AC 2 73 29 4 80 262 80 千米 从 A 地直达 C 地的路程约为 80 千米 6 解 如解图 延长 ED 交 BC 延长线于点 F 则 CFD 90 精品文档 26欢迎下载 第 6 题解图 tan DCF i DCF 30 1 3 3 3 CD 4 DF CD 2 CF CD cos DCF 4 2 1 2 3 23 BF BC CF 2 2 4 333 过点 E 作 EG AB