高中文科数学平面向量知识点整理

精品文档 1 欢迎下载 高中文科数学平面向量知识点整理高中文科数学平面向量知识点整理 1 1 概念概念 向量 既有大小 又有方向的量 数量 只有大小 没有方向的量 有向线段的三要素 起点 方向 长度 单位向量 长度等于 个单位的向1 量 平行向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量 零向量与任一向量平 行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 a a b b b b a a a ba b 0 0 向量表示 几何表示法AB 字母a a表示 坐标表示 a a j j 向量的模 设OAa 则有向线段OA 的长度叫做 向量a 的长度或模 记作 a 2 22222 axyaaxy 零向量 长度为的向量 a a O O a a O O 0 例题 1 下列命题 1 若 则 2 两个向量相等的充要ab ab 条件是它们的起点相同 终点相同 3 若 则是平行四边形 ABDC ABCD 4 若是平行四边形 则 5 若 则 6 若ABCDABDC ab bc ac 则 其中正确的是 ab bc ac 答 4 5 2 已知均为单位向量 它们的夹角为 那么 a b 60 3 ab 答 13 2 2 向量加法运算 向量加法运算 三角形法则的特点 首尾相连 平行四边形法则的特点 共起点 三角形不等式 ababab b a C A abCC A A 精品文档 2 欢迎下载 运算性质 交换律 结合律 abba abcabc 00aaa 坐标运算 设 则 11 ax y 22 bxy 1212 abxxyy 3 3 向量减法运算 向量减法运算 三角形法则的特点 共起点 连终点 方向指向被减向量 坐标运算 设 则 11 ax y 22 bxy 1212 abxxyy 设 两点的坐标分别为 则 A 11 x y 22 xy 1212 xxyyA 例题 1 1 ABBCCD ABADDC 答 ABCDACBD AD CB 0 2 2 若正方形的边长为 1 则ABCD ABa BCb ACc abc 答 2 2 3 3 已知作用在点的三个力 则合力 1 1 A 123 3 4 2 5 3 1 FFF 的终点坐标是 123 FFFF 答 9 1 4 4 向量数乘运算 向量数乘运算 实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘 记作 a a aa 当时 的方向与的方向相同 0 a a 当时 的方向与的方向相反 当时 0 a a 0 0a 运算律 aa aaa abab 坐标运算 设 则 ax y ax yxy 例题例题 1 1 若 M 3 2 N 6 1 且 则点 P 的坐标为 1 M PM N 3 答 7 6 3 精品文档 3 欢迎下载 5 5 向量共线定理 向量共线定理 向量与共线 当且仅当有唯一一个实数 使 0a a b 设 ba 11 ax y 22 bxy 0b 22 a ba b 例题例题 1 1 若向量 当 时与共线且方向相同 1 4 axbx xa b 答 2 2 2 已知 且 则x 1 1 4 abx 2uab 2vab uv 答 4 6 6 向量垂直 向量垂直 0 aba babab 1212 0 x xy y 例题例题 1 1 已知 若 则 1 2 3 OAOBm OAOB m 答 3 2 2 2 以原点 O 和 A 4 2 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB 90B 则点 B 的坐标是 答 1 3 或 3 1 3 3 已知向量 且 则的坐标是 na b nm nm m 答 bab a 或 7 7 平面向量的数量积 平面向量的数量积 零向量与任一向量的数量积为 cos0 0 0180a ba bab 0 性质 设和都是非零向量 则 当与同向时 a b 0aba b a b 当与反向时 或 a ba b a b a ba b 2 2 a aaa aa a a ba b 运算律 a bb a aba bab abca cb c 坐标运算 设两个非零向量 则 11 ax y 22 bxy 1212 a bx xy y 若 则 或 ax y 2 22 axy 22 axy 设 则a a b b a a b b 0 x1x2 y1y2 0 11 ax y 22 bxy 则a a b b a a b b b 0b 0 x1y2 x2y1 精品文档 4 欢迎下载 设 都是非零向量 是与的夹角 则a b 11 ax y 22 bxy a b 注 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy a ba b 例题 1 1 ABC 中 则 3 AB4 AC5 BC BCAB 答 9 2 2 已知 与的夹角为 则等 11 1 0 22 abcakb dab c d 4 k 于 答 1 3 3 已知 则等于 答 2 5 3aba b Aab 23 4 4 已知是两个非零向量 且 则的夹角为 a b abab 与aab 答 30 5 5 已知 如果与的夹角为锐角 则的取值 2 a 2 3 b a b 范围是 答 或且 4 3 0 1 3 6 6 已知向量 sinx cosx sinx sinx 1 0 abc 1 若 x 求向量 的夹角 答 150 3 ac 8 8 在在上的投影 即上的投影 即 它是一个实数 但不一定大于 0 ba cosb 例题 已知 且 则向量在向量上的投影为3 a5 b12 ba a b 答 5 12 平面向量高考经典试题平面向量高考经典试题 一 选择题 1 已知向量 则与 5 6 a 6 5 b a b A 垂直 B 不垂直也不平行 C 平行且同向 D 平行且反向 精品文档 5 欢迎下载 2 已知向量 若与垂直 则 1 1 nn ab2 abb a A B C D 4122 3 若向量满足 的夹角为 60 则 a b 1ab a b a aa b 4 在中 已知是边上一点 若 则 ABC DAB 1 2 3 ADDBCDCACB A B C D 2 3 1 3 1 3 2 3 5 若 O E F 是不共线的任意三点 则以下各式中成立的是 A B EFOFOE EFOFOE C D EFOFOE EFOFOE 6 已知平面向量 则向量 11 11 或或或ab 13 22 ab 21 或 21 或 10 或 12 或 二 填空题 1 已知向量 若向量 则实数的值是 2 411 a b ba b 2 若向量的夹角为 则 a b 601ab aab A 3 在平面直角坐标系中 正方形的对角线的两端点分别为 OABCOB 0 0 O 11 B 则 AB AC A 三 解答题 1 已知 ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A 3 4 B 0 0 C 0 c 1 若 求的值 0AB AC Ac 2 若 求 sin A 的值5c 精品文档 6 欢迎下载 2 在中 角的对边分别为 ABC ABC tan3 7abcC 1 求 cosC 2 若 且 求 5 2 CB CA A9ab c 3 在中 分别是三个内角的对边 若 ABC abc ABC 4 2 Ca 求的面积 5 52 2 cos B ABC S 4 设锐角三角形ABC的内角A B C的对边分别为a b c 2 sinabA 求B的大小 若 求b 3 3a 5c 5 在中 ABC 1 tan 4 A 3 tan 5 B 求角的大小 C 若最大边的边长为 求最小边的边长 ABC 17 答案答案 选择题 1 A 已知向量 则与垂直 5 6 a 6 5 b 30300a b a b 2 C 由与垂直可得 2 3 n ab 2 abb 精品文档 7 欢迎下载 2 3 1 303nnnn 2 a 3 解析 3 2 13 1 1 1 22 a aa b 4 A 在 ABC 中 已知 D 是 AB 边上一点 若 2 则ADDBCDCBCA 3 1 22 33 CDCAADCAABCACBCA 12 33 CACB 3 2 5 B 由向量的减法知EFOFOE 6 D 13 22 ab 12 填空题 1 解析 已知向量 量 则2 411ab 2 4 ab bab 2 4 0 实数 3 2 解析 2 1 2 211 cos601 22 aabaa baab A 3 解析 0 1 1 1 0 1 1 11 AB AC A 解答题 1 解 1 3 4 AB 3 4 ACc 由 得 3 3 162530AB ACcc A 25 3 c 2 3 4 AB 2 4 AC 6 161 cos 5 205 AB AC A AB AC A A 2 2 5 sin1 cos 5 AA 2 解 1 sin tan3 73 7 cos C C C 又 解得 22 sincos1CC 1 cos 8 C 是锐角 tan0C C 1 cos 8 C 2 5 2 CB CA A 5 cos 2 abC 20ab 又 9ab 22 281aabb 22 41ab 精品文档 8 欢迎下载 222 2cos36cababC 6c 3 解 由题意 得为锐角 3 cos 5 BB 5 4 sin B 10 27 4 3 sin sin sin BCBA 由正弦定理得 7 10 c 111048 sin2 22757 SacB A 4 解 由 根据正弦定理得 所以 2 sinabA sin2sinsinABA 1 sin 2 B 由为锐角三角形得 ABC 6 B 根据余弦定理 得 222 2cosbacacB 272545 7 所以 7b 5 本小题主要考查两角和差公式 用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理 和运算能力 满分 12 分 解 CAB 13 45 tantan 1 13 1 45 CAB 又 0 C 3 4 C 边最大 即 3 4 C AB 17AB 又 角最小 边为最小边 t