2012年高三教学测试(二) 理科数学试题卷 注意事项：

2012 年温州市高三第一次适应性测试 数学 理科 试题 2012 2 本试题卷分选择题和非选择题两部分 全卷共 4 页 选择题部分 1 至 2 页 非选择题部分 3 至 4 页 满 分 150 分 考试时间 120 分钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 选择题部分 共 50 分 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮 擦干净后 再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 参考公式 如果事件 A B互斥 那么 棱柱的体积公式 P ABP AP B VSh 如果事件 A B相互独立 那么 其中S表示棱柱的底面积 h表示棱柱的 高 P A BP AP B 棱锥的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p 那么 1 3 VSh n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积 h表示棱锥的高 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 棱台的体积公式 球的表面积公式 3 1 2211 SSSShV 2 4SR 其中 S1 S2分别表示棱台的上 下底面积 球的体积公式 h表示棱台的高 3 3 4 RV 其中R表示球的半径 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项符合题目要求 1 已知i是虚数单位 则 11 11ii A i B i C 1 D 1 2 设集合 A B 则AB 是ABA I成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 已知 i r j r 是互相垂直的单位向量 设43 34aij bij rrr rrr 则a b r r 开 始 i 1 s 0 s s 1 2i i i 1 输出 S 结 束 否 是 A 25 B 24 C 5 D 0 4 如图给出的是计算 1111 2462012 L的值的一个 程序框图 则判断框内应填入的条件是 A 1005i B 1005i C 1006i D 1006i 5 已知数列 n a满足 11 5 2n nn aa a 则 7 3 a a A 2 B 4 C 5 D 5 2 6 已知实数 x y满足 0 10 240 y yx yx 若zyax 取得最大值时的最优解 x y有无数个 则a的值为 A 2 B 1 C 0 D 1 7 若圆 22 4260 xyxmym 与y轴的两交点 A B位于原点的同侧 则实数 m的取值范围是 A 6m B 3m 或62m C 2m 或61m D 3m 或1m 8 将 9 个相同的小球放入 3 个不同的盒子 要求每个盒子中至少有 1 个小球 且每个 盒子中的小球个数都不同 则共有 种不同放法 A 15 B 18 C 19 D 21 9 一个直角三角形的周长为l 面积为 S 给出 6 2 25 5 10 6 2 32 2 其中可作为 Sl取值的实数对的序号是 A B C D 10 如图 直线l 平面 垂足为O 正四面体ABCD的棱长为 4 C在平面 内 B是直线l上的动点 则当O到AD的距离为最大时 正四面体在平面 上的射影面积为 A 42 2 B 2 22 C 4 D 4 3 第 4 题 l O D C B A 非选择题部分 共 100 分 注意事项 1 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上 不能答在试题卷上 2 在答题纸上作图 可先使用 2B 铅笔 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 4 分 共 28 分 11 已知展开式 66 016 1 xaa xa x L 则 06 aa 的值为 12 如图 若一个几何体的正视图 侧视图 俯视图相同 且均为 面积等于 2 的等腰直角三角形 则该几何体的体积为 13 函数 sin sin 3 f xxx 的最小正周期为 14 已知双曲线 22 2 10 4 xy b b 的离心率为 2 则它的一焦点到其 中一条渐近线的距离为 15 已知 f x是定义在R上的奇函数 且当0 x 时 x f xea 若 f x在R上是 单调函数 则实数a的最小值是 16 某高校进行自主招生面试时的程序如下 共设 3 道题 每道题答对给 10 分 答错 倒扣 5 分 每道题都必须回答 但相互不影响 设某学生对每道题答对的概率都为 2 3 则该 学生在面试时得分的期望值为 分 17 若不等式 2 11axbxc 的解集为 1 3 则实数a的取值范围是 三 解答题 本大题共 5 小题 共 72 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本题满分 14 分 如图 在ABC 中 ADBC 垂足为 D 且 2 3 6BD DC AD 求BAC 的大小 设E为AB的中点 已知ABC 的面积为 15 求CE的长 19 本题满分 14 分 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 152 2 243 0 at SSt t 求数列 n a的通项公式 设 n n baqn 若 1155 ba ba 试比较 3 a与 3 b的大小 E D CB A 第 12 题 第 18 题 A G E D C B 第 10 题 20 本题满分 14 分 如图 在三棱锥ABCD 中 90ABCBCDCDA 6 3 6ACBCCD 设顶点A在底面BCD上的射影为E 求证 CEBD 设点G在棱AC上 且2CGGA 试求二面角CEGD 的余弦值 21 本题满分 15 分 如图 在矩形ABCD中 8 4 ABBCE F G H 分别为四边 的中点 且都在坐标轴上 设 0 OPOF CQCF uu u ruuu r uuu ruu u r 求直线EP与GQ的交点M的轨迹 的方程 过圆 222 xyr 02 r 上一点N 作圆的切线与轨迹 交于 S T两点 若 2 0NS NTr uur uuu r 试求出r的值 22 本题满分 15 分 已知函数 2 2lnf xxax 若4a 求函数 f x的极小值 设函数 cos2g xx 试问 在定义域内是否存在三个不同的自变量 1 2 3 i x i 使得 ii f xg x 的值相等 若存在 请求出a的范围 若不存 在 请说明理由 2012 年温州市高三第一次适应性测试 数学 理科 试题参考答案 2012 2 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 分 共 5 分 题号 10 答案ACDCBBBBDA 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 分 共 28 分 11 2 12 4 3 13 14 2 3 15 1 16 15 17 11 22 a y xo M Q P H G F E D C BA 第 20 题 第 21 题 三 解答题 本大题共 5 小题 共 72 分 18 本小题满分 4 分 解 I 由已知得 11 tan tan 32 BADCAD 2 分 则 11 32 tantan 1 11 1 32 BACBADCAD 5 分 又 0 BAC 故 4 BAC 7 分 II 设2 0 BDt t 则3 6DCt ADt 由已知得 2 1515t 则1t 故2BD 3 6DCAD 10 分 则10 3 5 2 AB AEAC 12 分 由余弦定理得5CE 14 分 19 本小题满分 14 分 解 I 方法一 设等差数列 n a的公差为d 则 521 39243SSadt 2 分 又 1 2at 则2d 4 分 故2 n ant 6 分 方法二 523454 3243SSaaaat 则 4 8at 得2d II 方法一 由已知可得 5 10 5aqtaqt 8 分 相加得 5 1 3 2 taqaq 10 分 又 54 1 4aqaqaq q 则 4 1q 得 2 1q 13 分 E D CB A 则 322 33 3 1 0 2 aq abtaqq 故 33 ab 14 分 方法二 设 n cnt n n daq 则 n c为等差数列 n d为等比数列 由题意得 1155 0 0cdcd 且 15 dd 则 1515 3153 22 ccdd cd dd 故 33 ab 20 本小题满分 4 分 证明 I 方法一 由AE 平面BCD得AE CD 又AD CD 则CD 平面AED 故CDDE 3 分 同理可得CBBE 则BCDE为矩形 又BCCD 则BCDE为正方形 故CEBD 6 分 方法二 由已知可得6 2ABBDAD 设O为BD的中点 则 AOBD COBD 则BD 平面AOC 故平面BCD 平面AOC 则顶点A在底 面BCD上的射影E必在OC 故CEBD II 方法一 由 I 的证明过程知OD 平面AEC 过O作OFEG 垂足为F 则易证得DFEG 故OFD 即为二面角CEGD 的平面角 9 分 由已知可得6AE 则 2 AEAG AC 故EGAC 则2 3 2 CG OF 又3 2OD 则30DF 12 分 故 10 cos 5 OFD 即二面角CEGD 的余弦值为 10 5 14 分 方法二 由 I 的证明过程知BCDE为正方形 如图建立坐 标系 则 0 0 0 0 6 0 0 0 6 6 0 0 6 6 0 EDABC 可得 2 2 4 G 则 0 6 0 EDEG uuu ruuu r 2 2 4 易知平面CEG 的一个法向量为 6 6 0 BD uuu r 设平面DEG的一个法向量为 1 nx y r 则由 0 0 n ED n EG r uuu r r uuu r 得 2 0 1 n r 则 10 cos 5 BD n BD n BDn uuu r r uuu r r uuu rr 即二面角CEGD 的余弦值为 10 5 21 本小题满分 5 分 解 I 设 M x y 由已知得 4 0 4 22 PQ 则直线EP的方程为2 2 x y 直线GQ的方程为2 2 x y 4 分 消去 即得M的轨迹 的方程为 22 1 0 164 xy x 6 分 II 方法一 由已知得 2 NS NTON 又ONST 则OSOT 8 分 设直线 2 STykxm m 代入 22 1 164 xy 得 222 14 84160kxkmxm 设 1122 S x yT xy 则 2 1212 22 8416 1414 kmm xxx x kk 10 分 由OSOT 得 1212 0 x xy y 即 22 1212 1 0km xxkx xm 则 22 516 1 mk 12 分 又O到直线ST的距离为 2 1 m r k 故 4 5 0 2 5 r 经检验当直线ST的斜率不存在时也满足 15 分 方法二 设 00 N xy 则 222 00 xyr 且可得直线ST的方程为 2 00 x xy yr 代入 22 1 164 xy 得 222242 0000 4 84160yxxr x xry 由 2 NS NTON 得 2 2 0 2001 2 0 1 x xxxxr y 即 2 01212 x xxx xr N T S y xoH G F E D C BA 则 2242 2 00 22 00 8416 4 r xry r yx 故 4 5 0 2 5 r 22 本小题满分 5 分 解 I 由已知得 2 44 1 4 x fxx xx 2 分 则当01x 时 0fx 可得函数 f x在 0 1 上是减函数 当1x 时 0fx 可得函数 f x在 1 上是增函数 5 分 故函数 f x的极小值为 1 2f 6 分 II 若存在 设 1 2 3 ii f xg xm i 则对于某一实数m方程 f xg xm 在 0 上有三个不等的实根 8 分 设 2 2lncos2F xf xg xmxaxxm 则 42sin2 0 a F xxx x x 有两个不同的零点 10 分 方法一 2 42 sin2 0 axxx x 有两个不同的解 设 2 42 sin2 0 G xxxx x 则 82sin24 cos22 2sin2 4 1 cos2 G xx