2013届高三数学二轮复习 专题一 第4讲不等式教案

1 第第 4 4 讲讲 不等式不等式 真题感悟 1 2012 浙江 若正数x y满足x 3y 5xy 则 3x 4y的最小值是 A B 24 5 28 5 C 5 D 6 解析 将已知条件进行转化 利用基本不等式求解 x 0 y 0 由x 3y 5xy得 1 1 5 1 y 3 x 3x 4y 3x 4y 1 5 1 y 3 x 1 5 3x y 4 9 12y x 13 5 1 5 3x y 12y x 2 5 当且仅当x 2y时取等号 3x 4y的最小值为 5 13 5 1 5 3x y 12y x 答案 C 2 2012 江西 某农户计划种植黄瓜和韭菜 种植面积不超过 50 亩 投入资金不超过 54 万元 假设种植黄瓜和韭菜的产量 成本和售价如下表 年产量 亩年种植成本 亩每吨售价 黄瓜4 吨1 2 万元0 55 万元 韭菜6 吨0 9 万元0 3 万元 为使一年的种植总利润 总利润 总销售收入 总种植成本 最大 那么黄瓜和韭菜的种植面 积 单位 亩 分别为 A 50 0 B 30 20 C 20 30 D 0 50 解析 线性规划问题利用可行域求最优解 设种植黄瓜x亩 韭菜y亩 则由题意可知Error 求目标函数z x 0 9y的最大值 根 据题意画可行域如图阴影所示 当目标函数线l向右平移 移至点E 30 20 处时 目标取得最大值 即当黄瓜 30 亩 韭菜 20 亩时 种植总利润最大 2 答案 B 考题分析 利用基本不等式求最值是高考考查的重点 可单独命题 以选择题或填空题的形式出现 也 可以是解答题的一部分 解答这部分题目有时需要一定的技巧 线性规划的题目一般不难 单独命题 只要掌握基本方法即可 网络构建 高频考点突破 考点一 不等式的解法 例 1 1 2012 扬州模拟 函数f x Error 则不等式f 2 x2 f x 的解集是 2 在 R R 上定义运算 x y x 1 y 若不等式 x a x b 0 的解集是 2 3 则a b的值是 A 1 B 2 C 4 D 8 审题导引 1 利用函数f x 的单调性 脱掉 f 转化为二次不等式求解 2 根据新定义的运算 求出不等式 由不等式解集的端点与对应方程的根的关系可求a b 规范解答 1 作出函数y f x 的图象可知函数y f x 在 上单调递增 f 2 x2 f x 2 x2 x 解得 2 x 1 故不等式f 2 x2 f x 的解集为 2 1 2 不等式 x a x b 0 即不等式 x a 1 x b 0 即不等式 x a x b 1 0 因为该不等式的解集为 2 3 说明方程 x a x b 1 0 的两根之和等于 5 即a b 1 5 即a b 4 故选 C 答案 1 2 1 2 C 规律总结 不等式的解法 1 求解一元二次不等式的基本思路是 先化为一般形式ax2 bx c 0 a 0 或 ax2 bx c 0 a 0 即保证不等式的二次项系数为正值 在这种情况下写出的解集不易 出错 再求相应一元二次方程ax2 bx c 0 的根 写出不等式的解集 2 分式不等式 对数或指数不等式一般利用相关的性质转化为一元二次不等式求解 变式训练 3 1 2012 威海模拟 f x Error 若f x0 1 则x0的取值范围 解析 原不等式等价于Error 或Error 解之得x0 1 或x0 1 答案 1 1 2 2012 宿州模拟 若函数f x Error 是奇函数 则满足f x a的x的取值范围是 解析 f x 是奇函数 f 1 f 1 即 1 a 1 2 a 2 则不等式f x 2 等价于 Error 或Error 解得x 0 或 1 x 0 3 即x 1 3 答案 1 3 考点二 线性规划 例 2 已知变量x y满足条件Error 若目标函数ax y 其中a 0 仅在点 3 0 处取得 最大值 则a的取值范围是 A B 1 2 1 2 0 C D 0 1 2 1 2 审题导引 根据目标函数中参数a的几何意义 结合可行域 可求a的范围 规范解答 画出x y满足条件的可行域如图所示 要使目标函数z ax y仅在点 3 0 处取得最大值 则直线y ax z的斜率应小于直线x 2y 3 0 的斜率 即 a 1 2 所以a 故选 D 1 2 答案 D 规律总结 线性规划问题中参变量的特点与求解方法 含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点 由于参数的引入 提高了思维的技巧 增加了解题的难度 参变量的设置形式通常有如下两种 1 条件不等式组中含有参变量 由于不能明确可行域的形状 因此增加了解题时画图分析 的难度 求解这类问题时要有全局观念 结合目标函数逆向分析题意 整体把握解题的方向 2 目标函数中设置参变量 旨在增加探索问题的动态性和开放性 从目标函数的结论入手 4 对图形的动态分析 对变化过程中的相关量的准确定位 是求解这类问题的主要思维方法 变式训练 3 铁矿石A和B的含铁率a 冶炼每万吨铁矿石的 CO2排放量b及购买每万吨铁矿石的价格 c如下表 a b 万吨 c 百万元 A50 13 B70 0 56 某冶炼厂至少要生产 1 9 万吨 铁 若要求 CO2的排放量不超过 2 万吨 则购买铁矿石的 费用最少为 A 14 百万元 B 15 百万元 C 20 百万元 D 以上答案都不对 解析 设购买A种铁矿石x万吨 B种铁矿石y万吨 则由题意 可知x y所满足的条 件为Error 整理 得Error 则购买费用z 3x 6y 百万元 如图 作出不等式组所表示的可行域 目标函数z的几何意义是直线z 3x 6y在y轴上的 截距的 6 倍 故当直线z 3x 6y在y轴上的截距最小时 目标函数取得最小值 显然直线 经过点B 1 2 时 目标函数取得最小值 最小值为z 3 1 2 6 15 百万元 故选 B 答案 B 考点三 基本不等式及应用 例 3 1 2012 梧州模拟 a b R R a b且ab 1 则的最小值等于 a2 b2 a b 2 2012 郴州模拟 若正实数x y满足 则x y的取值范围为 1 1 x 1 1 y 1 2 审题导引 1 解题的关键是把原式变形 使两项的积为定值 然后利用基本不等式求解 2 把条件中的等式利用基本不等式转化为含x y的不等式并求解 规范解答 1 a2 b2 a b a2 b2 2ab 2 a b a b 2 a b a b a b 0 则a b 2 2 a b2 当且仅当a b 即a b 时等号成立 2 a b2 5 2 由 得xy 3 x y 1 1 x 1 1 y 1 2 又x y 2 xy 3 2 xyxy 即 2 2 3 0 3 1 0 xyxyxyxy 3 0 xy 9 xy 答案 1 2 2 xy 9 2 规律总结 利用基本不等式求最值的技巧 在利用基本不等式求最值时 要特别注意 拆 拼 凑 等技巧 使其满足基本不等式中 正 即条件要求中字母为正数 定 不等式的另一边必须为定值 等 等号取得 的条件 的条件才能应用 否则会出现错误 而 定 条件往往是整个求解过程中的一个难 点和关键 解题时应根据已知条件适当进行添 拆 项 创造应用基本不等式的条件 变式训练 4 2012 海淀模拟 已知函数f x mx 1 1 其中m 0 且m 1 的图象恒过定点A 而点A恰好在直线 2ax by 2 0 上 其中ab 0 则 的最小值为 1 a 4 b 解析 已知点A的坐标为 1 2 据题意知 2a 2b 2 0 即a b 1 a b 5 5 2 9 当且仅当 即 1 a 4 b 1 a 4 b b a 4a b b a 4a b b a 4a b a b 时等号成立 1 3 2 3 5 2012 兰州模拟 在平面直角坐标系xOy中 已知点P在曲线xy 1 x 0 上 点P 在x轴上的射影为M 若点P在直线x y 0 的下方 当取得最小值时 点P的坐标为 OP2 OM MP 解析 设P M x 0 x 1 x 点P在直线x y 0 的下方 x 即x 1 1 x OP2 OM MP x2 1 x2 x 1 x x2 1 x2 2 2 x 1 x x 2 2 1 x 2 x 1 x x 1 x 2 x 1 x 2 当且仅当x 1 x 2 x 1 x 6 即x 时 等号成立 6 2 2 x 2 6 2 舍去 故P 6 2 2 6 2 2 答案 6 2 2 6 2 2 名师押题高考 押题 1 若关于x的不等式 x m 2x 1 在 R R 上恒成立 则实数m的取值为 解析 由不等式 x m 2x 1 恒成立得 x m 2 2x 1 2恒成立 即 3x2 2m 4 x 1 m2 0 于是应有 2m 4 2 12 1 m2 0 即 2m 1 2 0 因此必有m 1 2 答案 1 2 押题依据 不等式的解法是高考的必考内容之一 要求不高 但需熟练掌握 本题涉及绝 对值不等式 二次不等式的恒成立问题 同时考查了转化与化归的数学思想 综合性较强 但难度较小 故押此题 押题 2 2012 湘西模拟 已知向