高等数学第三章课后习题答案

精品文档 1欢迎下载 第三章第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用 1 验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性 xxfln e 1 解 函数在区间上连续 在区间内可导 故在上满 lnf xx 1 e 1 e f x 1 e 足拉格朗日中值定理的条件 又 解方程 x xf 1 得 因此 拉格朗日中值定理 1 11 1 1 ee fef f 上 1 1ee 对函数在区间上是正确的 lnf xx 1 e 2 不求函数的导数 说明方程有几个实 4 3 2 1 xxxxxf0 xf 根 并指出它们所在的区间 解 函数可导 上上上上上上上上上 3 4 2 3 2 1 xf上上上上 3 4 2 3 2 1 且 由罗尔定理知 至少存在 1 2 3 4 0ffff 2 1 1 3 2 2 使即方程有至少三个实根 又因方程 4 3 3 3 2 1 0 if i 0fx 为三次方程 故它至多有三个实根 因此 方程有且只有三个实 0fx 0fx 根 分别位于区间内 1 2 2 3 3 4 3 若方程 有一个正根 证明 0 1 1 10 xaxaxa n nn 0 x 方程必有一个小于的正根 0 1 1 2 1 1 0 n nn axnanxa 0 x 解 取函数 上连续 在内可 1 011 nn n f xa xa xax 0 0 f xx在 0 0 x 导 且由罗尔定理知至少存在一点使即方程 0 0 0 ff x 0 0 x 0 f 必有一个小于的正根 12 011 1 0 nn n a nxa nxa 0 x 班级 姓名 学号 2 4 设 求证不等式 11 ba arcsinarcsinbaba 证明 取函数在 a b 上连续 在 a b 内可导 arcsin xfxxf 由拉格朗日中值定理知 至少存在一点 使 ba f af bfab 即 2 1 arcsinarcsin 1 abab 故 1 1 arcsinarcsin 2 bababa 5 设在上连续 在内可导 证明存在使 xf 0 baba ba ba 3 2 22 f baba ab afbf 证明 取函数 则在上连续 在内可导 由柯 3 g xx g x 0 a bab a b 西中值定理知 存在 使 a b 333 f bf af ba 即 22 2 3 f bf af aabb ba 6 证明恒等式 2 cotarctan xarcx 证明 取函数 则 则 arctanarccotf xxx 22 11 0 11 fx xx 因为 故 上上上ccxf 1 arctan1cot1 2 farc 1 2 ff x 7 证明 若函数在内满足关系式且 则 xf xfxf 1 0 f x exf 证明 故 0 2 xx xx x e xfxf e exfexf xF e xf xF上上 精品文档 3欢迎下载 又CxF 0 1 1 1 x x x FF xf xe e f 故即故 8 用洛必达法则求下列极限 1 nn mm ax ax ax lim 解 1 1 limlim0 mmm m n nnn xaxa xamxm aa xanxn 2 x ba xx x 0 lim 解 00 lnln limlimlnln 1 xxxx xx abaabb ab x 3 2 2 2 sinln lim x x x 解 8 1 8 csc lim 2 4 cot lim 2 sinln lim 2 22 2 2 x x x x x xxx 4 0 1 log lim a x x a x 解 0 ln 1 lim ln 1 lim log lim 1 axx ax x x xx a x 5 2ln tan 7ln tan lim 0 x x x 解 22sec 2 1 77sec 7 1 lim 22sec 2tan 1 77sec 7tan 1 lim 2ln tan 7ln tan lim 2 2 0 2 2 00 x x x x x x x x x x xxx 1 22sec7 77sec2 lim 2 2 0 x x x 班级 姓名 学号 4 6 xx x 2cotlim 0 解 2 1 2 2cos lim 22sec 1 lim tan2 lim2cotlim 2 0 2 000 x xx x xx xxxx 7 1 1 ln 1 lim 1 xx x 解 111 1 1 111ln lim limlim 1 ln1ln 1 1 ln xxx xx x xxx x xx x 11 111 limlim 1 1 ln2 1ln xx x xxx xx x 8 ln lim 1 1 0 x e x x 解 因为 而 1 ln ln 1 1 ln 1 x x ex e xe A 1lim 1 lim 1 ln ln lim 0 x0 x0 x xx x x x x xee e xe e e x 所以ex x e x 1ln 1 0 lim 9 x x x tan lim 1 0 解 因为 而 tantanln 1 xxx e x 0 sin lim csc 1 lim cot ln limlntanlim 2 2 x x x x x x xx xxxx 所以 tan 0 1 lim 1 x x x 9 验证 存在 但是不能用洛必达法则求出 x xx x sin lim 精品文档 5欢迎下载 解 由于不存在 故不能使用洛必达法则来求此极限 sin 1cos limlim 1 xx xxx x 但不表示此极限不存在 此极限可如下求得 sinsin limlim1101 xx xxx xx 10 当时 求函数的阶泰勒公式 1 0 x x xf 1 n 解 因为 1 1 1 n nn n n fxfn x 故 23 1 11 1 1111 2 3 ff ffxxx x 1 1 1 11 1 nn nn ff xx nn 211 2 111111 nnn n xxxx 其中介于x与之间 1 11 求函数的阶麦克劳林公式 x xexf n 解 因为故 0 nnx fxnx efn 1 21 00 0 0 2 1 nn xnn fff fxxeffxxxx nn 3 21 1 1 2 1 1 n n xx xxenx nn 其中介于x与 0 之间 12 确定函数的单调区间 xxx y 694 10 23 解 函数除外处处可导 且0 x 班级 姓名 学号 6 2 322322 1 120 1 10 12186 2 496 496 xx xx y xxxxxx 令 得驻点这两个驻点及点把区间分成四个部 0y 12 1 1 2 xx 0 x 分区间 11 0 0 1 1 22 当时 因此函数在 1 00 1 2 x 0y 内单调减少 1 0 0 1 2 当时 因此函数在内单调增加 1 1 2 x 0y 1 1 2 13 证明不等式 当时 0 x 1 1ln 1 22 xxxx 证明 取函数 22 1ln 1 1 0 f ttttttx 22 22 ln 1 ln 1 0 11 tt fttttttx tt 因此 函数在上单调增加 故当时 即 f t 0 x0 x 0f tf 22 1ln 1 11010 xxxx 亦即 当时 0 x 22 1ln 1 1 xxxx 14 设在时都取得极值 试确定的值 并判xbxxaxf 2 ln 2 1 21 xxba 断在是取得极大值还是极小值 xf 21 x x 解 在取得极值 则 1 21fxabx x fx 12 1 2xx 精品文档 7欢迎下载 故 1210fab 1 2 410 2 fab 21 36 ab 又因 故 所以 2 1 2fxab x 1111 220 4636 fab 在时取得极大值 所以在 fx 2 2x 211 120 333 fab fx 时取得极小值 1 1x 15 求函数在闭区间上的最大值与最小值 32 1 xxxf 1 1 解 函数除外处处可导 令 得驻0 x 1 3 2 3 2 1 3 fxxxx 0fx 点又因 2 5 x 12f 00f 3 234 5525 f 10f 故 最小值为 最大值为 2 0 16 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆 截面的面积为问底宽为多少时 5 2 mx 才能使截面的周长最小 从而使建造时所用的材料最省 解 设界面周长为 已知及即l2 2 x lxy 2 5 22 x xy 5 8 x y x 故 1040 0 4 x lxx x 23 1020 1 4 ll xx 令 得驻点由知为极小值点 0l 40 4 x 3 40 2 4 20 0 40 4 x l 40 4 x 又因为驻点唯一 故极小值点就是最小值点 所以 当截面的底宽为时 40 4 x 才能使截面的周长最小 从而使建造时所用的材料最省 班级 姓名 学号 8 17 求函数图形的拐点及凹或凸的区间 1ln 2 xy 解 2 22222 22 1 222 1 1 1 1 1 xxxxxx yy xxx A 令 得 0y 12 1 1xx 当时 因此函数在内是凸的 1x 0y 1 当时 因此函数在内是凹的 1 1x 0y 1 1 当时 因此函数在内是凸的 1 x 0y 1 曲线有两个拐点 分别为 1 ln2 1 ln2 18 利用函数图形的凹凸性 证明 1 0 0 2 2 1 nyxyx yx yx n nn 证明 取函数则 0 n f ttt 12 1 0 nn ftntftn ntt 当时 故函数在上是凹的 故对任何1n 0 0 f tt 0 恒有0 0 xyxy 1 22 xy fxfyf 即 1 0 0 1 22 nnn xy xyxyxy n 19 试决定曲线中的 使为驻点 为拐 dcxbxaxy 23 dcba2 x 10 1 点 且通过 44 2 精品文档 9欢迎下载 解 由题设知 即 0 0 10 44 1 2 1 2 x x x x y y y y 026 0412 10 44248 ba cba dcba dcba 解得 16 24 3 1 dcba 20 描绘函数的图形 2 1 12 x x xf 解 1 定义域 1 1 2 43 1 21 2 1 2 x x xf x x xf 00 xxf上上 2 1 0 xxf上上 3 列表如下 x x 2 1 2 1 0 2 1 0 0 1 1 1 x f 0 不 存 在 x f 0 不 存 在 上上上 xfy 拐点 9 8 2 1 极小值 1 0 f 4 2 1 1 12 lim x x x 0 1 12 lim 2 x x x x 1 是垂直渐近线 y 0 是水平渐近线 班级 姓名 学号 10 5 取辅助点 4 3 1 0 2 1 3 2 6 作图 0 234 5 x 2 x x 2 21 求椭圆在点处的曲率及曲率半径 44 22 yx 2 0 解 两边对x求导得 从而 44 22 yx028 yyx y x y 4 两边对再x求导得 028 yyx y y y 2 4 把代入得 2 0 yx y x y 4 0 0 y 把代入 2 0 yx0 0 y 2 0 yy 上 因此椭圆在点处的