第二章函数陕西省示范高中渭南中学欢迎您

第二章 函 数 引 言 函数是中学数学的主体内容 它与中学数学很多内容都密切相关 初中代数中的 函数及其图象 就属于函数的内容 高中我们将要学习的指数函数 对数函数 三 角函数等都是函数内容的主体 那么 如何进一步深入理解函数的概念 一般的函数具 有哪些性质 本章我们在初中学习的函数及其图象的基础上 逐步来学习探讨这些问 题 并且学习应用较为广泛的指数与指数函数 对数与对数函数 教材分析 1 教材的地位和作用 函数是中学数学中最重要的基本概念之一 在中学数学教材中 函数的教学大致 可分为三个阶段 第一阶段 在初中代数课本内初步探讨了函数的概念 函数关系的表示法以及函 数图象的绘制等 并具体讨论了正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数等最 简单的函数 通过计算函数值 研究正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数的 概念和性质 理解函数概念 并用描点法可以绘制相应函数的图象 第二阶段 在高一数学中第二章 函数 及第四章 三角函数 的内容 这一阶 段是对函数概念的再认识阶段 即用集合 映射的思想理解函数的一般定义 加深对 函数概念的理解 在此基础上研究指数函数 对数函数和三角函数等基本初等函数的 概念 图象和性质 从而使同学们获得较为系统的函数知识 并初步培养同学们对函 数的应用意识 为今后学习打下良好的基础 第三阶段 在高三数学选修课中安排 选修 的内容有极限与导数 选修 的内 容有极限 导数与微分 积分 这些内容是函数及其应用研究的深化和提高 也是进 一步学习 参加生产和实际生活中需要具备的基础知识 本章主要讲述映射与函数 指数与指数函数 对数与对数函数 函数的应用等内 容 函数知识主要讲述函数的概念 函数关系的表示法 函数的单调性和奇偶性 以 后还要学习周期性和连续性等 等 它是函数的基础 映射是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念 它是这种对应关系中 的一种特殊对应关系 学习集合的映射概念的主要目的是为了给函数下定义 本章的 函数定义是用映射刻画的近代定义 初中学习的函数概念是用 对应 来描述的 这 两个函数定义反映了函数概念发展的不同阶段 函数概念的形成发展在历史上大体分 三个阶段 第一阶段把函数定义为 解析表达式 在 17 18 世纪 由于工程技术和天体力 学研究的需要 引进了变量 研究变量必然涉及到变量与变量之间是关系 于是函数 概念就逐渐形成了 1784 年欧拉在 无穷小分析引论 中把单变量的函数定义为 由 该变量与数字一起以任意方式构成一种解析表达式 第二阶段把函数定义为 变量之间的单值对应 随着研究函数的发展和应用广泛 只停留在把函数理解为解析表达式显然不够全面 例如由列表法 图象法所表示的函 数关系就不包含在上述定义中 于是产生了把函数定义为 变量之间的单值对应 柯西 给出的定义是 对于 x 的每一个值 如果 y 有完全确定的值与之对应 那么 y 叫做 x 的函数 现在初中数学中的函数概念就接近这个定义 这样就把函数的概念扩大了 第三阶段把函数定义为 映射 为了更深入研究函数 不仅仅限制在数的范围 在集合映射的概念的基础上 把函数定义为映射是函数概念的第三个发展阶段 现在 高中数学中的函数概念 就是按第三阶段的函数概念来讲述的 但是 由于中学研究 的函数还主要是数值函数 而且又以连续函数为主 所以课本中的函数概念也仅限于 以集合 映射的概念来解释数值函数的概念 还不能称之为任意集合之间的单值对应 的近代函数定义 2 教学要求 了解映射的概念 在此基础上加深对函数概念的理解 了解函数的单调性和奇偶性的概念 掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性 的方法 并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程 了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系 会求一些简单函数的反 函数 理解分数指数的概念 掌握有理指数幂的运算性质 掌握指数函数的概念 图象和性质 理解对数的概念 掌握对数的运算性质 掌握对数函数的概念 图象和性质 能够运用函数的性质 指数函数 对数函数的性质解决某些简单 的实际问题 通过以函数应用为内容的实习作业 培养学生应用函数知识解决实际问题的能 力 通过运用有关的概念和函数的性质解题 证题 培养学生的思维能力和运算能 力 通过揭示互为反函数的两个函数之间的内在关系 以及指数与对数 指数函数与 对数函数之间的内在联系 对学生进行辨证唯物主义观点的教育 通过联系实际的引 入问题和解决带有实际意义的某些问题 培养学生分析解决问题的能力和运用数学的 意识 3 重点难点 重点 映射的概念 在映射基础上理解函数的概念 函数的单调性和奇偶性的有 关概念 反函数的概念 分数指数幂的概念和分数指数的运算性质 指数函数的图象 的性质 对数的定义和运算性质 对数函数的图象和性质 培养学生应用数学的意识 以及分析解决问题的能力 培养学生理论联系实际 运用函数知识分析解决实际问题 的能力 难点 映射的概念 函数的概念 证明和判断函数的单调性和奇偶性 求反函数 的方法 根式的概念和分数指数幂的概念 指数函数中的底数 a 对于函数值变化的影 响的理解 对数的概念 利用对数函数是指数函数的反函数来理解其图象和性质 将 实际问题抽象为函数问题 一 映射与函数 2 1 映 射 教学目的 使学生了解映射的概念及表示方法 了解象 原象的概念 了解一一映射的概念 重点难点 重点难点 映射的概念 教学设想 1 教法 直观演示 引导发现法 2 学法 启发学生观察 思考 分析和讨论 3 课时 2 课时 教学过程 2 1 1 映射的概念和性质 教学目的 使学生了解映射的概念 表示方法及性质 了解象 原象的概念 会判断一些简单 的对应是否是映射 会求象或原象 重点难点 重点难点 映射的概念 教学过程 一 复习引入 在上一章里 我们较系统地学习了集合的初步知识 学习了元素与集合的关系 属于或不属于 集合与集合的包含关系 以及集合的交 并 补运算等 在初中我们已学过一些对应的例子 例如 对于任何一个实数 a 数轴上都有唯一 的一点 P 和它对应 对于坐标平面内任何一个点 M 都有唯一的一个有序实数对 x y 和它对应 对于任意一个三角形 都有唯一的一个确定的面积和它对应 本节我们将学 习一种特殊的对应 映射 二 学习 讲解新课 映射的概念 先看下面一些对应的例子 图 2 1 是投飞标的画面 请同学们注意观察 每一支飞标 射到盘上时 是射到盘上的一点还是多点上 答 唯一的一点上 于是 如果我们把 A 看作是飞标组成的集合 B 看作是盘 上的点组成的集合 那么 刚才的投飞标相当于集合 A 到集合 B 的对应 且 A 中的元 素对应 B 中唯一的元素 是特殊的对应 同样 如果我们把 A 看作是实数组成的集合 B 看作是数轴上的点组成的集合 或把 A 看作是坐标平面内的点组成的集合 B 看作是有序实数对组成的集合 那么 这两个对应也都是集合 A 到集合 B 的对应 并且和上述投飞标一样 也都是 A 中元素 对应 B 中唯一元素的特殊对应 我们再看下面的对应 下列图 2 2 中哪些是 A 中元素对应 B 中唯一元素的特殊对应 A B A B A B A B 开平方 求正弦 求平方 乘以 2 1 2 3 4 图 2 2 A B C D 答案 D 从上述几个例子的对应 图 2 2 1 除外 中 你能归纳出它们的共同特点吗 上述对应 图 2 2 1 除外 的共同特点是 对于集合 A 中任何一个元素 在集合 B 中 都有唯一的元素和它对应 这种 A 中元素对应 B 中唯一元素的特殊对应 我们把它叫做 3 3 2 2 1 1 9 4 1 1 2 3 1 2 3 4 5 6 1 4 9 1 1 2 2 3 3 300 450 600 900 1 2 2 2 2 3 1 集合 A 到集合 B 的映射 一般地 设 A B 是两个集合 如果按照某种对应法则 f 对于集合 A 中的任何一 个元素 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应 那么这样的对应 包括集合 A B 以及 A 到 B 的对应法则 f 叫做集合 A 到集合 B 的映射 记作 f A B 其中与 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象 a 叫做 b 的原象 这样 上述 除图 2 2 1 外 的对应 都是集合 A 到集合 B 的映射 而图 2 2 1 的 对应则不是集合 A 到集合 B 的映射 为是么 在图 2 2 2 的映射中 1 2 2 2 1 分别是 300 450 600 900的象 23 300 450 600 900分别是 1 2 2 2 1 的原象 23 你能举出日常生活中的一些有关映射的例子吗 如照相 如果把 看作是我们班的全体同学和老师组成的集合 看作是我们班 全体同学和老师所照的相上的人像组成的集合 那么我们班的全体同学和老师都是原 象 所照的相片上的人像都是象 另外 当大家都没有被遮住时 每个同学和老师都有 自己对应的象 这是一对一的映射 当有些同学被前面的同学遮住时 那么这些同学 和他前面的同学就只能对应他前面同学的象 这是多对一的映射 下面我们再来分析一下定义中的一些关键字词 以便更好地理解映射的概念 A 到 B 映射是有方向的 A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个 映射 比如图 2 2 中 A 到 B 是求平方 B 到 A 则是开平方 因此映射是有序的 都有 就是说对集合 A 中任何一个元素 集合 B 中都有元素和它对应 这 是映射的存在性 唯一 对于集合 A 中的任何一个元素 集合 B 中都是唯一的元素和它对应 这是映射的唯一性 在集合 B 中 也就是说 A 中元素的象必在集合 B 中 这是映射的封闭性 映射的性质 任意性 映射中的两个集合 A B 可以是数集 点集或由图形组成 的集合等 有序性 映射是有方向的 A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射 存在性 映射中集合 A 的每一个元素在集合 B 中都有它的象 唯一性 映射中集合 A 的任一元素在集合 B 中的象是唯一的 封闭性 映射中集合 A 的任一元素的象都必须是 B 中的元素 即 A 中元素的象 集是 B 的子集 怎样理解映射 从 A 到 B 的映射 f A B 可以形象地比喻为 无脱靶的射箭 即 可以 一对一 也可以 多对一 但不能 一对多 A 中任一元素在 B 中均有唯一的一个元素和它对应 但允许 B 中有某些元素不 是 A 中任一元素的象 例如 上面的无脱靶投飞标 可能 一箭一标 多箭一标 但不可能 一箭多 标 同时箭袋中的箭可以射完且箭箭中标 但标不一定被射完 又如 图 2 2 中 是一对一的映射 是多对一的映射 若把 看作是自变 量组成的集合 看作是因变量组成的集合 那么我们初中学过的一次函数 反比例 函数都是一对一的映射 而二次函数是多对一的映射 例题评价 例 已知下列集合 A 到 B 的对应 请判断哪些是 A 到 B 的映射 并说明理由 A N B Z 对应法则 取相反数 A 1 0 2 B 1 0 1 2 对应法则 取倒数 A 1 2 3 4 5 B R 对应法则 求平方根 A 00900 B x 0 x 1 对应法则 取正弦 答案 是 不是 因为 A 中元素 0 没有倒数 不是 因不满足唯一性 若 对应法则改为 求平方 则是 是 例 2 集合 A N B m m n N f x y x A y B 请计算在 f 12 12 n n 12 12 x x 作用下 象 9 11 11 13 的原象分别是多少 分析 求象 9 11 的原象只需解方程 2x 1 2x 1 9 11 求出 x 即可 同理 可求 11 13 的原象 答案 象 9 11 11 13 的原象分别是 5 6 目标检测 课本 P49练习 1 2 4 直接做在课本上 判断题 在从集合 A 到集合 B 的映射中 下列说法正确的是 A 中的每一个元素在 B 中都有象 A 中的两个不同元素在 B 中的象必不同 B 中的元素在 A 中可以没有原象 B 中的某一元素在 A 中是原象可能不止一个 A 中元素象的集合即为 B A B C D 答案 课本练习 1 略 2 有 2 个 即2 有 1 个 即 1 2 有一个 即 1 有一个 即 6 4 600的象是 的原象是 450 2 3 2 2 判断题 B 三 小 结 对应 对多的对应 不成为映射的对应 一 多对一的对应 一对一的对应 映射 每一对唯一 映射的三要素 两个集合 A B 以及 A 到 B 的对应法则 f 映射是特殊的对应 A 中任一元素对应 B 中唯一元素 简言之 每元有象 象唯一 四 布置作业 一 复习 课本 P46 48的内容 二 书面 课本 P49 50习题 2 1 1 2 4 直接做在课本上 补充题 自己设计两个映射的例子 要求一个是 一对一 一个是 多对一 已知 x y 在映射 f 作用下的象是 x y x y 求在 f 作用下象 1 2 的原象 求从集合 A a b 到集合 B x y 所能建立的所有映射 答案 课本习题 1 左图 9 0 4 1 右图 2 3 1 2 2 1 2 3 2 2 与 2 9 与 7 与 5 1 与 1 3 0 1 3322 4 中图 1 1 3 5 7 9 右图 8 2 4 10 16 22 补充题 例如 f A B 其中 A R B y y 3x 2 x A 是 一 对一 的映射 f A B 其中 A R B y y x2 1 x A 是 多对一 的映射 设 1 2 在 f 作用下的原象为 x y 则由 x y 1 且 x y 2 解得 x 3 2 y 1 2 即在 f 作用下象 1 2 的原象是 3 2 1 2 从集合 A 到集合 B 可以建立如下四个映射 三 思考题 已知 A a b B x y z 则从 A 到 B 的所有不同映射有多少 个 分析 从集合 A 到集合 B 可以建立如下九个映射 四 预习 P48 49的一一映射及相关的练习题 a b x y a b x y a b x y a b x y a b x y z a b a b a b a b a b a b a b a b x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 2 1 2 一一映射 教学目的 使学生了解一一映射的概念 会判断一些简单对应是否是一一映射 重点难点 重点 一一映射的概念 难点 判断所给对应是否是一一映射 教学过程 一 复习引入 复习从集合 A 到集合 B 的映射的概念 然后指出以下两点 映射是特殊的对应 它的特点是 在集合 A 中的任一元素在集合 B 中有唯一的 元素与它对应 对集合 B 中的元素 在集合 A 中可以有几个元素和它对应 即对集合 B 中的元 素 在集合 A 中的原象没有提出个数上的限定 问题引入 如果 f 是集合 A 到 B 的映射 B 中任一元素在 A 中原象的个数可能 有几种情况 举例说明 答 有三种情况 集合 B 中的某一元素在 A 中没有原象 如图 1 集合 B 中的任何一个元素在 A 中都有一个原象 如图 2 集合 B 中的某一元素在 A 中有两个或两个以上的原象 如图 3 f 乘以2 f 加 3 f 乘方 g 除以2 g 减 3 g 开方 图 1 图 2 图 3 进一步提问 在对应法则 f 下 可以由 A 中的元素 a 求出 a 在 B 中的对应元素 b 就上述三例 如果要由 B 中的元素 b 在 A 中求出它在 f 下的原象 应怎样求 答 就是找出由 b 求 a 的对应法则 易知它们的对应法则分别是 除以 2 减 1 2 3 2 4 6 5 1 2 3 4 5 6 1 1 2 2 1 4 3 和 开方 我们记 B A 的对应法则为 g 再问 g B A 是不是从 B 到 A 的映射 为什么 答 图 2 中的 g B A 是映射 图 1 图 3 中的 g B A 不是映射 小结 对任一个 f A B 的映射来说 由 B 到 A 的对应 g 都存在 但对应 g 有 的是映射 有的不是映射 可见要使对应 g 成为映射 必须对原来的 f 提出更多的条件 引导学生分析图 1 图 3 两种情况 图 1 中 g 不是映射的原因是因为 B 中存在 元素 5 它在 A 中没有原象 图 3 中 g 不是映射的原因是因为 B 中的元素 1 和 4 它们在 A 中有两个原象 从而得出结论 如果 f A B 是映射 要使 g B A 成为映射 必须排除这两种情况 而对映射提出更多的条件 为了排除这两种情况 映射 f 还应满足什么条件呢 B 中任何一个元素在 A 中都有原象 B 中任何一个元素在 A 中都有唯一的原象 换句话说 A 中的不同元素在 B 中 有不同的象 我们把满足上述两个条件的映射 f A B 叫做一一映射 二 学习 讲解新课 一一映射的概念 设 A B 是两个集合 f A B 是从集合 A 到集合 B 的映射 如果在这个映射下 对于集合 A 中的不同元素 在集合 B 中有不同的象 而且 B 中每一个元素都有原象 那么这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射 所以 一一映射是特殊的映射 而且如果 f A B 是一一映射 那么 g B A 是 映射 一一映射的判断 有限集合 例 1 集合 A 的元素是 a 集合 B 的元素是 b 判断下面的映射是不是从 A 到 B 的 一一映射 为什么 a234 解 是从 A 到 B 的一一映射 因它符合定义 不是 因为它不满足定义中的 对于集合 A 中的不同元素在 B 中有不同的象 这一条 问 如何作最小的改动 使上述 中的一一映射变为非一一映射 答 只要将 B 的元素改成有两个相同 或再加进一个元素 就可使 中的一一映 射变为非一一映射 无限集合 例 2 设 M 3 2 1 0 1 2 3 N 0 1 2 3 f 是从 M 到 N 的对应 x y x 这个对应是不是映射 是不是一一映射 为什么 答 这个对应是映射 因它满足映射的定义 但它不是一一映射 因为 M 中不同 的元素