2015年考研数学一真题与解析

1 2015 年考研数学一真题 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 设函数在上连续 其二阶导数的图形如右 f x fx 图所示 则曲线在的拐点个数为 yf x A 0 B 1 C 2 D 3 详解详解 对于连续函数的曲线而言 拐点处的二阶导数等于零或者不存在 从图上可以看出有两个二阶 导数等于零的点 以及一个二阶导数不存在的点 但对于这三个点 左边的二阶导数等于零的点的0 x 两侧二阶导数都是正的 所以对应的点不是拐点 而另外两个点的两侧二阶导数是异号的 对应的点才 是拐点 所以应该选 C 2 设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解 则 2 11 23 xx yexe x yaybyce A B 321 abc 321 abc C D 321 abc 321 abc 详解详解 线性微分方程的特征方程为 由特解可知一定是特征方程的一个实根 如 2 0rarb 1 2r 果不是特征方程的实根 则对应于的特解的形式应该为 其中应该是一 2 1r x f xce x Q x e Q x 个零次多项式 即常数 与条件不符 所以也是特征方程的另外一个实根 这样由韦达定理可得 2 1r 同时是原来方程的一个解 代入可得应该选 A 2132 12 ab x yxe 1c 若级数条件收敛 则依次为级数的 1 n n a 33 xx 1 1 n n n nax 收敛点 收敛点 收敛点 发散点 发散点 收敛点 发散点 发散点 详解详解 注意条件级数条件收敛等价于幂级数在处条件收敛 也就是这个幂级数的 1 n n a 1 n n n a x 1x 收敛为 即 所以的收敛半径 绝对收敛域为1 1 1lim n n n a a 1 1 n n n nax 1 1 1 lim n n n na R na 显然依次为收敛点 发散点 应该选 B 0 2 33 xx 设 D 是第一象限中由曲线与直21 41 xyxy 2 线所围成的平面区域 函数在 D 上连续 则 3 yx yx f x y D f x y dxdy 1 32 1 422 sin sin cos sin df rrrdr 1 23 1 422 sin sin cos sin df rrrdr 1 32 1 422 sin sin cos sin df rrdr 1 23 1 422 sin sin cos sin df rrdr 详解详解 积分区域如图所示 化成极坐标方程 22 11 2121 22 sincos sinsin xyrrr 22 11 4141 2222 sincos sinsin xyrrr 也就是 D 43 11 2sinsin r 所以 所以应该选 B D f x y dxdy 1 23 1 422 sin sin cos sin df rrrdr 5 设矩阵 若集合 则线性方程组有无穷多解的充分必 22 1111 12 14 Aabd ad 1 2 Axb 要条件是 A B ad ad C D ad ad 详解详解 对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换 2222 111111111111 1201110111 140311001212 BA badadad adadaadd 方程组无穷解的充分必要条件是 也就是同时成3 r Ar A b 120120 aadd 立 当然应该选 D 6 设二次型在正交变换下的标准形为 其中 若 123 f x xxxPy 222 123 2yyy 123 Pe e e 则在下的标准形为 132 Qee e 123 f x xxxQy A B 222 123 2yyy 222 123 2yyy 3 C D 222 123 2yyy 222 123 2yyy 详解详解 132123 100100 001001 010010 Qee ee e eP 100 001 010 TT QP 2 1 1 TTTT fx Axy PAPyyy 所以 10010010021002 00100100110011 01001001010101 TT Q AQP AP 故选择 A 7 若为任意两个随机事件 则 A B A B P ABP A P B P ABP A P B C D 2 P AP B P AB 2 P AP B P AB 详解 所以故选择 C P AP ABP BP AB 2 P AP B P AB 8 设随机变量不相关 且 则 X Y213 EXEYDX 2 E X XY A B C D 3 35 5 详解详解 22 2225 E X XYE XE XYEXDXEXEXEYEX 故应该选择 D 二 填空题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 把答案填在题中横线上 9 2 0 ln cos lim x x x 详解 2 00 1 22 ln cos tan limlim xx xx xx 10 2 2 1 sin cos x x dx x 详解详解 只要注意为奇函数 在对称区间上积分为零 1 sin cos x x 4 所以 2 22 0 2 2 14 sin cos x x dxxdx x 11 若函数是由方程确定 则 zz x y 2cos z exyzxx 0 1 dz 详解详解 设 则2 cos z F x y zexyzxx 1 sin z xyz Fx y zyzx Fx y zxz Fx y zexy 且当时 所以01 xy 0z 0 10 1 0 1 0 0 1 0 10 0 1 00 1 0 y x zz F Fzz xy FF 也就得到 0 1 dz dx 12 设是由平面和三个坐标面围成的空间区域 则 1xyz 23 dxdydzxyz 详解详解 注意在积分区域内 三个变量具有轮换对称性 也就是 x y z dxdydzdxdydzdxdydzxyz 11 2 00 1 236631 4 dxdydzdxdydz z D xyzzzdzdxdyzzdz 13 阶行列式 n 2002 1202 0022 0012 详解详解 按照第一行展开 得 有 11 11 212122 nn nnn DDD 1 222 nn DD 由于 得 12 26 DD 11 1 22222 nn n DD 14 设二维随机变量服从正态分布 则 X Y1 0 11 0 N 0P XYY 详解详解 由于相关系数等于零 所以 X Y 都服从正态分布 且相互独立 110 1 XNYN 则 10 1 XN 11111 010010010 22222 P XYYP Y XP YXP YX 三 解答题 15 本题满分 10 分 设函数 在时为等价无穷小 1 ln sinf xxaxbxx 3 g xkx 0 x 5 求常数的取值 a b k 详解详解 当时 把函数展开到三阶的马克劳林公式 得0 x 1 ln sinf xxaxbxx 23 333 233 1 236 1 23 xx f xxa xo xbx xxo x aa a xb xxo x 由于当时 是等价无穷小 则有 0 x f xg x 10 0 2 3 a a b a k 解得 11 1 23 abk 16 本题满分 10 分 设函数在定义域上的导数大于零 若对任意的 曲线在点处 xfy I 0 xI xfy 00 xf x 的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为 4 且 求的表达式 0 xx x02 f f x 详解详解 在点处的切线方程为 xfy 00 xf x 000 yfxxxf x 令 得0y 0 0 0 f x xx fx 曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积为 xfy 00 xf x 0 xx x 0 000 0 1 4 2 f x Sf xxx fx 整理 得 解方程 得 由于 得 2 1 8 yy 11 8 Cx y 02 f 1 2 C 所求曲线方程为 8 4 y x 17 本题满分 10 分 设函数 曲线 求在曲线上的最大方向导数 f x yxyxy 22 3 Cxyxy f x yC 6 详解详解 显然 11 ff yx xy 在处的梯度 f x yxyxy x y 11 ff gradfyx xy 在处的最大方向导数的方向就是梯度方向 最大值为梯度的模 f x y x y 22 11 gradfyx 所以此题转化为求函数在条件下的条件极值 用拉格 22 11 F x yxy 22 3 Cxyxy 朗日乘子法求解如下 令 2222 113 L x yxyxyxy 解方程组 得几个可能的极值点 22 2 120 2 120 3 x y Fxxy Fyyx xyxy 1111211 2 进行比较 可得 在点或处 方向导数取到最大 为21 xy 12 xy 93 18 本题满分 10 分 1 设函数都可导 利用导数定义证明 u x v x u x v xu x v xu x v x 2 设函数都可导 写出的求导公式 12 n u x uxux 12 n f xu x uxux f x 详解详解 1 证明 设 xvxuy xvxuxxvxxuy u xx v xxu x v xxu x v xxu x v x vxuxxuv x u xuxxv x u x y 由导数的定义和可导与连续的关系 00 limlim xx yuu yv xxu xux v xu x vx xxx 2 12 n f xu x uxux 1121212 nnn fxu x u x uxuxu x uxuxu x uxux 7 19 本题满分 10 分 已知曲线 L 的方程为 起点为 终点为 计算曲线积分 22 2zxy zx 02 0 A02 0 B 2222 L yz dxzxy dyxydz 详解详解 曲线 L 的参数方程为2 cos sin cos xt yt zt 起点对应 终点为对应 02 0 A 2 t 02 0 B 2 t 2222 2 2 2 2222 sincos cos cos cos cos cos L yz dxzxy dyxydz tt dtt dtt dt 2 2 0 2 2 2 2 sin tdt 20 本题满分 11 分 设向量组为向量空间的一组基 123 3 R 11322333 2221 kk 1 证明 向量组为向量空间的一组基 123 3 R 2 当为何值时 存在非零向量 使得在基和基下的坐标相同 并求出所有k 123 123 的非零向量 详解详解 1 123123 201 020 201 kk 因为 且显然线性无关 所以是线性无关的 201 21 020240 21 201 kk kk 123 123 当然是向量空间的一组基 3 R 2 设非零向量在两组基下的坐标都是 则由条件 123 x xx 112233112233 xxxxxx 可整理得 所以条件转化为线性方程组 11322313 20 xkxxk 8 存在非零解 13213 20 kkx 从而系数行列式应该等于零 也就是 123123 101101 0100100 2020 kkkk 由于显然线性无关 所以 也就是 123 101 0100 20kk 0k 此时方程组化为 1 121213122 3 0 x xxxx x 由于线性无关 所以 通解为 其中为任意常数 12 13 2 0 0 xx x 1 2 3 0 xC x xC C 所以满足条件的其中为任意不为零的常数 0 C C C 21 本题满分 11 分 设矩阵相似于矩阵 023 133 12 A a 120 00 031 Bb 1 求的值 a b 2 求可逆矩阵 使为对角矩阵 P 1 P AP 详解详解 1 因为两个矩阵相似 所以有 trAtrB AB 也就是 324 235 aba abb 2 由 得 A B 的特征值都为 2 120 050150 031 EB 123 15 解方程组 得矩阵 A 的属于特征值的线性无关的特征向量为0 EA x 12 1 9 12 23 10 01 解方程组得矩阵 A 的属于特征值的线性无关的特征向量为50 EA x 3 5 3 1 1 1 令 则 123 231 101 011 P 1 100 010 005 P AP 22 本题满分 11 分 设随机变量 X 的概率密度为 220 00 ln x x f x x 对 X 进行独立重复的观测 直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止 记为次数 Y 求的分布函数 Y 1 求的概率分布 Y 2 求数学期望 EY 详解详解 1 X 进行独立重复的观测 得到观测值大于 3 的概率为 3 1 322 8 ln x P Xdx 显然 Y 的可能取值为2 3 4 且 22 1 1 11717 12 3 4 888648 kk k P YkCkk 2 设 2 2 3 222 2 11 11 nnn nnn x S xn nxxxx xx 2 22 1717 116 648648 k k