解直角三形应用举例

1 / 7解直角三形应用举例解直角三形应用举例 1.知识结构:2.重点和难点分析重点和难点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.3.教法建议本节知识与实际联系密切,这些知识可以直接用来解决一些实际问题,这在几何的许多章节中是做不到的,所以要充分发挥这一特点,通过教学,培养学生应用数学的意识,解决实际问题的能力.要解决实际问题,首先要能够把实际问题抽象为数学问题,然后运用数学知识解决这些问题,为了使学生能够处理一些简单问题,教材中配备一些比较典型的例题,这些例题的教学,要注重以下几个问题:1.帮助学生弄清实际问题的意义.由于学生接触实际较少,实践经验不足,许多实际问题的意义不清楚,许多术语不熟悉,这些在教学中要向学生说明.例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等,零件图,非凡是剖面图的意义,航行中的方位角等.学生懂得了这些常识,才能理解实际问题.2.帮助学生画出草图.把实际问题抽象为几何问题,关键是画出草图,通过图形反映问题中的已知与未知,以及已知和未知量之间的关系.这里要解决好两个问题:(1)实际问题基本上是空间三维的问题,要会把它转化为2 / 7平面问题,画出平面图形.例如飞机在空中俯看地面目标,选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图 1);机器零件大都画出横断面、纵断面(图 2);在地面上测两点距离,两个方向夹角,可以画平行地面的平面等.(2)船在海上航行,在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置,这类问题难点在于确定基准点.例如,说灯塔在船的什么方向上,这时船是基准点,假如说船在岸边某一点的什么方向上,这时岸边的这一点是基准点.有时因为船在航行中观测灯塔,基准点在转移,这些都会给画图增加困难.在第一册里,介绍过空间里的平行、垂直关系,也介绍过方向角的概念,这些都可以作为学习的基础,教学时可适当复习,帮助学生回忆.3.帮助学生根据需要作出辅助线.画出的草图,不一定有直角三角形,为了用解直角三角形的方法解决这些问题,经常需要添加辅助线.在这些问题中,辅助线经常是垂线或者平行线,例如图 3 中的几个问题中,虚线就是所要添加的辅助线.4.有了直角三角形,还要进一步分析,由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角,题目要求的是哪些边或角,这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题.一、教学目标3 / 71.使学生了解仰角、俯角的概念,能根据直角三角形的知识解决实际问题,会把实际问题转化为数学问题来解决;2.通过本节的教学,进一步把形和数结合起来,提高学生分析问题、解决实际问题的能力;3.通过本节的教学,向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养他们用数学的意识.二、重点难点疑点及解决办法1.重点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.2.难点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.3.疑点:练习中水位为+这一条件学生可能不理解,教师最好用实际教具加以说明.4.解决办法:引导学生体会实际问题中的概念,建立数学模型,从而重难点,以教具演示解决疑点.三、教学过程1.仰角、俯角当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.教学时,可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义.2.例 14 / 7如图,某飞机于空中 A 处探测到目标 c,此时飞行高度米,从飞机上看地平面控制点 B 的俯角,求飞机 A 到控制点 B 距离(精确到 1 米).解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题,利用解直角三角报知识来解决,在此之前,学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后,用数学方法来解决问题的方法,但不太熟练.因此,解决此题的关键是转化实际问题为数学问题,转化过程中着重语学生画几何图形,并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么),会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的,进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了.解:在中,(米).答:飞机 A 到控制点 B 的距离约为 4221 米.例 1小结:本章引言中的例子和例 1 正好属于应用同一关系式来解决的两个实际问题即已知和斜边,求的对边;以及已知和对边,求斜边.3.巩固练习如图,某海岛上的观察所 A 发现海上某船只 B 并测得其俯5 / 7角.已知观察所 A 的标高(当水位为 0m 时的高度)为,当时水位为+,求观察所 A 到船只 B 的水平距离 Bc(精确到 1m)为了巩固例 1,加深学生对仰角、俯角的了解,配备了练习.由于学生只接触了一道实际应用题,对其还不熟悉,不会将其转化为数学问题,因此教师在学生充分地思考后,应引导学生分析:1.谁能将实物图形抽象为几何图形?请一名同学上黑板画出来.2.请学生结合图说出已知条件和所求各是什么?答:已知,求 AB.这样,学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答.对于程度较高的学生,教师还可以将此题变式,当船继续行驶到 D 时,测得俯角,当时水位为-,求观察所 A 到船只 B的水平距离(精确到 1m),请学生独立完成.例 2 如图所示,已知 A、B 两点间的距离是 160 米,从 A 点看 B 点的仰角是 11,Ac 长为米,求 BD 的高及水平距离 cD.此题在例 1 的基础上,又加深了一步,须由 A 作一条平等于 cD 的直线交 BD 于 E,构造出,然后进一步求出 AE、BE,进而求出 BD 与 cD.设置此题,既使成绩较好的学生有足够的练习,同时对较差学生又是巩固,达到分层次教学的目的.6 / 7解:过 A 作,于是,在中,(米).(米).(米).(米).答:BD 的高及水平距离 cD 分别是米,米.练习:为测量松树 AB 的高度,一个人站在距松树 15 米的E 处,测得仰角,已知人的高度为米,求树高(精确到米).要求学生根据题意能画图,把实际问题转化为数学问题,利用解直角三角形的知识来解决它.探究活动一、望海岛如图,要测量海岛高度,立两根高度都是 3 丈的杆,两杆相距 1000 步,使前杆、后杆、海岛排成一直线。从前杆往回走 123 步