中线与中位线(培优)

精品文档 1欢迎下载 直角三角形斜边上的中线的应用直角三角形斜边上的中线的应用 知识储备 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识储备 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 根据这个性质可知 直角三角形被分割成两个顶角互补 底角互余的等腰三角形 灵活运用此性质在解 答一些与中点或中线有关的问题时 常能收到事半功倍之效 例 1 如图 1 已知 ABC中 ACB 90 OA OC 求证 OB OC O C A B 基本结论 基本结论 若若OAOA OBOB 则 则OAOA OBOB OCOC 若若OAOA OCOC 则 则OBOB OCOC 若若OBOB OCOC 则 则OAOA OCOC 例 2 1 如图 1 已知 ABC和 ABD中 ACB ADB 90 点O是AB的中点 求证 OC OD 2 在上述条件下 如图 2 1 中结论还成立吗 为什么 O C A B D O C A B D 基本结论 基本结论 若若OAOA OBOB 则 则OAOA OBOB OCOC ODOD 例 3 如图 DBC BCE 90 M为DE的中点 求证 MB MC C M D B E 例 4 如图 在 ABC中 AB AC ABC 90 点E F分别在AB AC上 且AE EF 点O M分别为 AF CE的中点 求证 1 OM CE 2 OB OM 1 2 2 O F M A BC E 例 5 如图 ABC中 AB AC ABD CBD DE BD DE交BC于E 求证 CD BE 1 2 E D C A B 例 6 如图 在 ABC中 BD AC于D CE AB于E 点M N分别是BC DE的中点 1 求证 MN DE 2 连ME MD 若 A 60 求的值 MN DE N D E M A BC 例 7 BCD和 BCE中 BDC BEC 90 O为BC的中点 BD CE交于A 1 如图 1 若 BAC 120 求证 DE OE 2 如图 2 若 BAC 135 求证 DE OE 2 3 若 BAC 则 EOD的度数为 用 表示 D E O A B C O D E A CB 图 1 图 2 图 1图 2 精品文档 2欢迎下载 构造三角形中位线构造三角形中位线 知识储备 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边 并且等于第三边的一半知识储备 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边 并且等于第三边的一半 这个定理的特点是 同一题设下 有两个结论 一个结论表明位置关系 另一个结论表明数量关系 应用这一定理时 不一定同时用到两个结论 有时用到平行关系 有时用到倍分关系 常用构造三角形中 位线的方法处理中点问题 题型一 利用角平分线和垂直构造中位线 例 1 如图 在 ABC中 AB BC ABC 90 F为BC上一点 M为AF的中点 BE平分 ABC 且 EF BE 求证 CF 2ME E M A B C F 题型二 倍长构造三角形中位线 例 2 如图 在 ABC中 ABC 90 BA BC BEF为等腰直角三角形 BEF 90 M为AF的中点 求证 ME CF 1 2 E M AB C F 题型三 取中点构造三角形中位线 例 3 如图 在 ABC中 C 90 CA CB E F分别为CA CB上的一点 CE CF M N分别为AF BE 的中点 求证 AE MN 2 N E M F B C A 题型四 连接两点构造三角形中位线 例 4 如图 在 ABC中 B 2 A CD AB于D 点E F分别为AB BC的中点 求证 DE DF ED F C B A 例 5 已知 ACB BCD 90 AC BC CD CE 1 如图 1 AE与BD的大小关系为 位置关系为 2 如图 2 点P M N分别为AB AD BE的中点 试探究 PM与PN之间的数量关系和位置关系 3 将图 2 中的 CDE绕点C旋转至如图 3 所示的位置 其余条件不变 则MN与PN的数量关系 为 E C DA B M P N CA B E D M P N C E A B D 图 1 图 3图 2 精品文档 3欢迎下载 例 7 如图 在 ABC中 B 2 C AD BC于D M是BC的中点 求证 AB 2DM D M A B C 例 5 如图 在 Rt ABC中 C 90 AD BC ABE 2 CBE 求证 DE 2AB 提示 取DE的中点