非稳态导热习题

1 第三章第三章 非稳态导热习题非稳态导热习题 例例 3 1 一腾空置于室内地板上的平板电热器 加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的 方式全部损失于室内 电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为 h 且为常数 室内 的空气温度和四壁 天花板及地板的温度相同 均为 tf 电热器假定为均质的固体 密度 为 比热为 c 体积为 V 表面积为 A 表面假定为黑体 因其导热系数足够大 内部温 度均布 通电时其温度为 t0 试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述 解解 根据题意 电热器内部温度均布 因此可用集中参数分析法处理 电热器以辐射换热方式散失的热量为 1 44 rf A TT 以对流换热方式的热量为 2 cf hA TT 电热器断电后无内热源 根据能量守恒定律 散失的热量应等于电热器能量的减少 若只考虑电热器的热力学能 3 rc d d T cV 因此 相应的微分方程式为 4 44 ff d d T A TThA TTcV 初始条件为 0 t t0 5 上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述 例例 3 2 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱 体 电流的热效应可视为均匀的内热源 如果仅考虑由于对流换热的散热量 保险丝表面 和温度为 tf 的周围空气之间的平均对流换热系数为 h 且为常数 试求该保险丝通电后温 度随时间的变化规律 解解 根据题意 保险丝内部温度均布 因此可用集中参数分析法处理 保险丝表面以对流换热方式散失的热量为 1 cf hA TT 保险丝的内热源为 Q0 IR2 2 式中 I 保险丝通过的电流 A R 保险丝的电阻 根据能量守恒 散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化 若只考虑保险丝的热力学能 3 c0 d d T QcV 2 因此 相应的微分方程式为 4 2 f d d T hA TTI RcV 初始条件为 0 t tf 5 上述两式即为该保险丝通电后温度随时间变化的数学描述 令 则上述微分方程改写为 2 f I R tt hA 6 d d cV hA 该微分方程的解为 7 00 exp exp Bi Fo hA cV 以温度 t 表示该解 8 22 f0f exp I RI RhA tttt hAhAcV 由初始条件 0 t0 tf 该式可写为 9 2 f 1exp I RhA tt hAcV 上式即为该保险丝通电后温度随时间的变化规律 从中可以看出内热源对保险丝的温 度变化的作用 例例 3 3 一块厚 10 mm 的纯铝板置于温度为 10 的空气中 铝板和空气之间的平均对 流换热系数 h 10 W m2 K 且为常数 求该铝板从 100 降到 20 所需时间及当时的热流密度 解解 求解瞬态导热问题 应先计算比渥准则 Bi 的数值 确定是否能采用简单的集总 参数法 查取铝的物性参数 密度 2702 kg m3 比热容 c 903 J kg 导热系数 237 W m K 1 4 100 01 Bi2 1110 2372 hVA AA Bi 0 1 可用集总参数法计算 2 0 exp hA cV 3 102 2010 10010 exp 27029030 01 A A 3 2680 s 4 铝板从 100 降到 20 时 铝板的表面温度 空气温度 铝板和空气之间的平均对流 换热系数 h 均为已知 因此热流密度可用牛顿冷却公式计算 q h t tf 10 20 10 100 W m2 5 例例 3 4 用球形热电偶接点作动态温度测量时 对热电偶的响应速度有一定要求 现要 求一个初温为 t0的球形热电偶与温度为 tf的被测流体接触后 在 1 s 内所指示的过余温度 比 现有一铜 康铜球形热电偶接点 它与被测流体之间的对流换 f 00f 95 tt tt 热表面传热系数 h 50 W m2 K 且为常数 试求该球形热电偶接点的最大允许半径 r0 解解 求解瞬态导热问题 应先计算比渥准则 Bi 查取铜的物性参数 密度 8954 kg m3 比热容 c 384 J kg 导热系数 398 W m K 查取康铜的物性参数 密度 8922 kg m3 比热容 c 410 J kg 导热系数 22 W m K 球形热电偶接点是这两种材料的熔化 物 因此取平均值 密度 8938 kg m3 比热容 c 397 J kg 导热系数 210 W m K 1 00 50 Bi 210 hrr 因半径 r0未知 比渥准则 Bi 的数值无法计算 但可假定 Bi 0 1 先用集总参数法计 算 然后进行较核 2 0 exp hA cV 3 25 0 3 00 5044 20610 0 95exp 1 exp 4 8938397 3 r rr r0 8 2 10 4 m 4 校核 r0 5 00 50 Bi0 1 210 hrr 因为比渥准则 Bi 0 1 上述分析计算合理 讨论 求解瞬态导热问题 应先计算比渥准则 Bi 一旦 Bi 0 1 就可以用简单的集总 4 参数法计算 但是 Bi 数值的确定需要先知道定型尺寸的数值 本题中定型尺寸的数值是所 求对象 因此只能先假定 Bi 0 1 能用集总参数法计算 计算完后需要根据算出的定型尺 寸校核集总参数法的应用条件 Bi 0 1 是满足的 例例 3 5 某种电路中所用的保险丝的直径为 0 5 mm 长 20 mm 导热系数 20 W m K 热扩散率 a 5 10 5 m2 s 电阻为 0 8 熔点为 900 如果仅考虑由于对流换热的散热量 保险丝表面和温度为 20 的周围空气之间的平均对流换热系数为 10 W m2 K 且为常数 试确定该保险丝通过 2 A 的电流后多少时间会熔断 解解 该保险丝因其导热系数较大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体 电流的热 效应可视为均匀的内热源 瞬态导热问题先计算比渥准则 Bi 的数值 1 2 10 4 Bi0 1 20 hVd l Adl 根据解析题 3 2 2 2 f 1exp I RhA tt hAcV 代入具体数值 3 2 2 5 20 810 90020 1exp 2010 4 510 dl dl d l 880 1 019 104 1 exp 0 2 4 0 4516 s 5 例例 3 6 将直径为 30 mm 初温为 20 的生红肠放入温度为 180 的烘箱中烤熟 假定 生红肠的密度 960 kg m3 比热容 c 5000 J kg 导热系数 0 9 W m K 仅考虑由于对 流换热的加热量 红肠和烘箱中空气之间的平均对流换热系数为 30 W m2 K 且为常数 试求生红肠放入烘箱中 10 min 时红肠的中心温度 解解 红肠可视为细长圆柱体 瞬态导热问题先计算比渥准则 Bi 的数值 1 2 300 03 4 Bi0 1 0 90 03 hVl Al 因此本题不能用集总参数法计算 只能用查计算线图 海斯勒图 的方法 2 300 015 Bi0 5 0 9 hR 3 22 0 9600 Fo0 5 96050000 015cR 查计算线图 海斯勒图 得 4 mm 0 180 0 56 20180 t 5 解得生红肠放入烘箱中 10 min 时的中心温度 tm 90 4 5 例例 3 7 直径为 400 mm 初温为 20 的钢棒放入温度为 600 的炉中加热 钢棒的密 度 7833 kg m3 比热容 c 465 J kg 导热系数 54 W m K 仅考虑由于对流换热的加 热量 钢棒与炉中气体之间的平均对流换热系数为 130 W m2 K 且为常数 试求钢棒中心温度达到 400 时所需的时间 并确定此时钢棒的表面温度 解解 钢棒可视为细长圆柱体 瞬态导热问题先计算比渥准则 Bi 的数值 1 2 1300 4 4 0 1 540 4 hVl Bi Al 因此本题不能用集总参数法计算 只能用查计算线图 海斯勒图 的方法 2 1300 2 Bi0 4814 54 hR 钢棒中心温度达到 400 时 3 m 0 400600 0 3448 20600 查计算线图 海斯勒图 得 Fo 准则的数值为 4 4 22 54 Fo1 33 70610 78334650 2cR 解得钢棒中心温度达到 400 时所需的时间 3508 s 5 6 RR m 600 0 79 400600 t 解得此时钢棒的表面温度 tR 442 例例 3 8 截面为 1 m 1 m 的耐火砖方形长柱体 初温为 20 与 600 的高温烟气接 触 仅考虑由于对流换热的加热量 柱体与燃气之间的平均对流换热系数为 20 W m2 K 且为常数 耐火砖的密度 2000 kg m3 比热容 c 960 J kg 导热系数 1 07 W m K 试求耐火砖柱体与烟气接触 120 小时时方柱体的中心温度 解解 瞬态导热问题先计算比渥准则 Bi 的数值 1 2011 Bi0 1 1 0741 hVl Al 因此本题不能用集总参数法计算 只能用查计算线图 海斯勒图 的方法 方形长柱 体的导热是二维导热问题 可用两个壁厚相同的无限大平壁的解的乘积求得 2 200 5 Bi9 346 1 07 h 3 22 1 07432000 Fo0 963 20009600 5c 6 再查计算线图 海斯勒图 得 4 m 0 0 18 因此 方形长柱体中心的过余温度比 5 mfmmm 0f00 600 0 180 18 20600 ttt tt 最后解得 120 小时时方形长柱体的中心温度 tm 581 2 例例 3 9 一块厚 300 mm 的无限大钢板 密度 7753 kg m3 比热容 c 486 J kg 导热系 数 36 W m K 初温为 900 突然置于 20 的空气气流中 空气和钢板间的对流换热 系数为 400 W m2 K 求钢板表面温度达到 200 时所需时间 解解 瞬态导热问题先计算比渥准则 Bi 的数值 1 4000 3 Bi0 1 362 hVA AA 因此不能用集总参数法 只能用查计算线图 海斯勒图 的方法 由于中心温度未知 不能用含有傅立叶数 Fo 的第一张图直接查时间 只能先用第二 张图确定中心温度 2 4000 15 Bi1 667 36 h 3 mm 20020 0 54 20t 解得中心温度 tm 353 3 4 接下来用第一张图 Bi 1 0 6 中心处的过余温度比 查得 m 0 353 320 0 3788 90020 傅立叶数 Fo 1 0 5 22 36 Fo 77534860 15c 最后解得钢板表面温度达到 200 时所需时间 2255 s 例例 3 10 一钢锭加热到 400 浸在 100 的水中冷却 钢锭的密度 7753 kg m3 比 热容 c 486 J kg 导热系数 36 W m K 试求 3 min 后深度为 5 cm 处的温度 解解 水沸腾时对流换热系数很大 若忽略钢锭表面的对流换热热阻 本题可视为半无 限大物体在恒温边界条件下的温度分布问题 相应的温度表达式为 1 w 0w erf 2 t xtx tt a 7 热扩散率 a c 36 7753 486 9 554 10 6 2 6 1000 05 erf erf 0 6029 0 6061 400100 2 9 55410180 t x 最后解得 3min 后深度为 5cm 处的温度 t 281 8 例例 3 11 若将一以余弦函数形式的周期性温度变化加在一块很大的钢筋混凝土表面 使 其温度由 35 变化到 90 的一个完整循环需要 15 min 钢筋混凝土的密度 2400 kg m3 比热容 c 840 J kg 导热系数 1 54 W m K 试求温度波动 2 小时后 距表面 5cm 处的温度 解解 本题可视为半无限大物体在周期性变化边界条件下的温度分布问题 根据已知条 件 温度波动幅度 A 90 35 2 27 5 温度波动周期 T 60 15 900 s 相应的温度表达式为 w 2 exp cos xAxx aTTaT 1 3 14 0 053 379 1 54 900 2400840 xx aT T c 2682 02o 2 2 50 243 37946 81x TaT 温度波动 2 小时后 距表面 5cm 处的温度 3 0 05 7200 27 5exp 3 379 cos 2682 02 0 891