随机过程报告——马尔可夫链

马尔可夫链 马尔可夫链是一种特殊的随机过程 最初由A A M arkov所研究 它的直观 背景如下 设有一随机运动的系统E 例如运动着的质点等 它可能处的状态记 为总共有可数个或者有穷个 这系统只可能在时刻t 1 2 n E E E n10 上改变它的状态 随着的运动进程 定义一列随机变量Xn n 0 1 2 其 中Xn k 如在t n时 位于Ek 定义1 1 设有随机过程 若对任意的整数和任意的 TnXn Tn 条件概率满足 110 Iiii n i iXi 1n10 0 01n1nnnnnn iXXPiXXP 则称为马尔可夫链 简称为马氏链 TnXn 实际中常常碰到具有下列性质的运动系统 如果己知它在t n时的状态 则关于它在n时以前所处的状态的补充知识 对预言在n时以后所处的状态 不起任何作用 或者说 在己知的 现在 的条件下 将来 与 过去 是 无关的 这种性质 就是直观意义上的 马尔可夫性 或者称为 无后效性 假设马尔可夫过程的参数集T是离散时间集合 即T 0 1 2 其 TnXn 相应Xn可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I 1 2 定义1 2 条件概率 P 1 iXjXp nn n ij 称为马尔可夫链在时刻n的一步转移矩阵 其中i jI 简称为 TnXn 转移概率 一般地 转移概率不仅与状态i j 有关 而且与时刻n有关 当不依 P n ij P n ij 赖于时刻n时 表示马尔可夫链具有平稳转移概率 若对任意的i jI 马尔可 夫链Xn nT 的转移概率与n无关 则称马尔可夫链是齐次的 P n ij 定义1 3 设p表示一步转移概率p 所组成的矩阵 且状态空间1 1 2 n 则 称为马尔可夫链的一步转移概率矩阵 它具有如下性质 1 0PijIji IiP Ij ij 1 2 定理1 1 设为马尔可夫链 则对任意的1 有 Tn Xn n 2 1 和Iiii n 这表明马尔可夫链的有限维分布完全由它的初始概率和一部转移概率所决定 因此 只要知道初始概率和一部转移概率 就可以知道马尔可夫链的统计特 性 定义1 4 假设 Xn n 0 是齐次马尔可夫链 其状态空间为I 转移概率为 Pij 称概率分布 为马尔可夫链的平稳分布 若它满 Ij j 足 对于不可约马尔可夫链 若它的状态是非周期 正常返的 则它是遍历的 对 于不可约马尔可夫链 若它的状态是有限且非周期的 则它是遍历的 值得注意 的是 对于一个马尔可夫链 并不是一定存在 例如设马尔 n n plim 可夫链的一部转移矩阵为 易知 单位矩阵 所以 不存在 Ip 2n pp 12n n n plim 在随机过程理论中 马尔可夫链是一类占有重要地位 具有普遍意义的随机 过程 它广泛应用于现代社会的各个领域 尤其在预测领域有着广泛的应用 马尔可夫链的预测方法分为很多种 根据指标值序列分组有3种 1 数据序列约定俗成的分组方法 根据 人 们 长久的经验进行分组 由于人们在现实生活中积累了生活经验 人们对认识的事 物有了感性的了解 就可以对现象进行分组 2 样本均值一均方差分组法 对 于数据序列 可看作是一个时间序列的前n个观测值 算出样本均值 n xxx 21 和样本均方差s 根据具体情况以样本均值为中心 s为标准进行分组 3 有x 序聚类分组法 有序聚类是对有序样品进行分类的一种方法 更加充分地考虑 序列的数据结构 使划分的区间更加合理 有序聚类实现的经典算法是Fisher 算法 其基本原理为 设时间序列的某一归类是 n xxx 21 定义其均值向量为 将公式 定义为 的直径 其含义表示该变量段内部各变量之间的差异情况 n xxx 21 其值越小 表示该段内变量之间差异越小 或说相互间越接近 反之 表示该段 内变量之间差异越大 或说相互间越分散 三种马氏链预测方法 1 基于绝对分布的马尔可夫链预测 步骤1 对历史数据进行分组 步骤2 确定观测值的状态 写出频数矩阵和一步转移矩阵 Ejiij n Ejiij f 其中 其中n为样本容量 当时 可用频数估计概率 从 1 n n f ij ij n ijij fp 而得到一步转移概率矩阵 ij1 pp 步骤3 马氏性 检验 步骤4 已知时刻l时系统取各个状态的概率可视为马尔可夫链的初始分布 比如x1取状态2 m 5 则始分布 0 1 0 0 0 于是l 1时的绝对分布 0 P 可认为时刻1 1时系统所取的状态j满足 P P P P PPPP 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 1 从而预测1 t时刻的状态 P maxP i 1 5i1 j 1 步骤5 还可以用马氏链的平稳性 遍历性对系统分析 2 叠加马氏链预测 步骤1 对历史数据进行分组 步骤2 计算各阶的一步转移矩阵 其中 2 1 P PP k21 kI Ejiij fP 2 2 其他类推 2 ij f 2 n n 2 ij 步骤3 马氏性 检验 步骤4 如果要预测时刻1 1的状态 可分别利用1 1 1 1 k 1作为初始态 l 1所处的状态j满足 列表分析 P maxP i 5i1 j 图1 叠加马氏链预测分析表 步骤5 重复步骤1 4递推预测 步骤6 进行平稳性 遍历性及其他分析 3 加权马氏链预测 步骤1 对历史数据进行分组 步骤2 计算各阶的一步转移矩阵 其中 2 1 P PP k21 kI Ejiij fP 2 2 其他类推 2 ij f 2 n n 2 ij 步骤3 马氏性 检验 步骤4 计算各阶相关系数 计算规范的相关系数 步骤5 预测n 1时刻的状态 步骤6 重复1 5 预测n 2时刻的状态 其余类推 步骤7 讨论其他性质 马尔可夫预测方法是马尔可夫链在预测领域的一种应用方法 最初这种方法 在水文 气象 地震等方面有广泛的应用 之后经济学家将其应用于研究市场 占有率 预测经营利润等方面 在马尔可夫预测方法中 一个非常重要的问题 就是对一步状态转移概率矩阵的估算 下面以实例分析马尔可夫链在现实生活中的应用 下面给出长江水域6类水质 所占的比例 现在要对长江未来10年的水质污染的发展趋势做一个总体的预测 为此可建立长江水质污染的马尔可夫链趋势预测的一步转移概率矩阵估计的 最优化模型 设枯水期长江全流域水质在第t年属于 类 类 类 类 类 劣 类这6类状态的比例向量分别为 设为6类状态矩阵的一步转9 2 1 0 6 P 2 P 1 Pt ttt t 66 ij pP 移概率 根据误差平方和达到最小的准则 建立如下最优化模型 用matlab软件求解得 由下式 可以对长江未来10年的水质污染属于 类 类 类 类 类 劣 类 这6类状态的比例向量作出预测 预测结果见下表 从预测计算结果可以看出 枯水期长江全流域水质属于 类 类 劣 类这3 类状态的比例并没有发生根本性的减少 水质污染程度依然十分严重 因此我们要采取积极措施 例如要严加控制企业废水和城市生活垃圾乱排乱 放 政府要大力推进城市发展生态农业和有机农业 综合防治面源污染 加大 宣传力度 使群众能够清醒地认识到水资源危机和保护环境的意识等 只有这 样才能保护